dr in. Grzegorz Bocewicz, prof. dr hab. in. Zbigniew Banaszak, dr in. Irena Bach Wydzia Elektroniki i Informatyki, Politechnika Koszaliska.
ZASTOSOWANIE TECHNIK PROGRAMOWANIA
Z OGRANICZENIAMI DO PLANOWANIA ZADA
W RODOWISKACH WIELOPROJEKTOWYCH
Efektywne wykorzystanie zdolnoci produkcyjnych stanowi o konkurencyjnoci dysponujcego nimi przedsibiorstwa. W tym kontekcie istotnego znaczenia nabieraj badania zwizane z planowaniem zada w przedsiwziciach. Przedstawiony model referencyjny problemu decyzyjnego czy oczekiwania uytkownika z moliwociami wykorzystania dostpnych zdolnoci realizacji przedsiwzi. Z kolei jego specyfikacja, w terminach problemu speniania ogranicze, pozwala na ocen alternatywnych wariantów przebiegu przedsiwzi w systemach programowania z ograniczeniami.
CP-DRIVEN PRODUCTION PROCESS PLANNING
IN MULTIPROJECT ENVIRONMENT
The way enterprise capabilities are used decides about its competitiveness among other ones. In that context modeling aimed at production tasks allocation planning plays a crucial role especially at concurrently executed production orders. The introduced reference model employing constraint programming (CP) paradigm describes both an enterprise and a set of project-like production orders. Moreover, encompassing consumer orders requirements and available production capabilities, the model provides the formal framework allowing one to develop a class of decision support systems aimed at interactive production process planning subject to multiproject environment constraints.
1. WPROWADZENIE
Podstawowe potrzeby maych i rednich przedsibiorstw (MP) wi si bd to z utrzymaniem dotychczasowej pozycji, bd te osigniciem przewagi na konkurencyjnym rynku producenta. W tym te kontekcie oczekiwania MP wi si z wykorzystaniem technologii informacyjnych (ang. Information Technology – IT), z zaspokajaniem potrzeb monitorowania i archiwizacji, a przede wszystkim dotycz przetwarzania danych na potrzeby wspomagania decyzji, na przykad planowania przedsiwzi produkcyjnych [1], [8].
W przypadku przedsibiorstw produkcyjnych osignicie przewagi nad konkurencj jest pochodn efektywnego sterowania i planowania produkcj. Typow ze wzgldu na skal oraz rónorodno oferowanych usug i zwizanymi z nimi czstymi zmianami procesu produkcyjnego w MP jest jednoczesna wieloasortymentowa produkcja jednostkowa. Produkcja tego typu zwizana zwykle z pojedynczymi krótkimi seriami wyrobów bd te prototypami, nosi zwykle charakter innowacyjny, odpowiadajcy w aspekcie organizacyjnym realizacji portfela przedsiwzi . Oznacza to, e przyjcie lub odrzucenie okrelonych zlece produkcyjnych mona rozwaa w kategoriach planowania/wariantowania przedsiwzi [3], gdzie produkcja okrelonej partii asortymentów jest traktowana jako realizacja pojedynczego projektu, a z kolei produkcja wieloasortymentowa jako realizacja portfela projektów.
W przedstawionym kontekcie, obszar wspomagania decyzji obejmuje zagadnienia zwizane bd to z planowaniem realizacji pojedynczego zlecenia produkcyjnego (przedsiwzicia, bd te z wariantowaniem portfela przedsiwzi (zbioru zlece produkcyjnych). W szczególnoci wymusza on konieczno wspomagania – wykorzystania interakcyjnych dedykowanych, dla problemów wariantowania projektów, systemów wspomagania decyzji. Budowa takiego systemu zwizana jest z uwzgldnianiem zakóce, niepewnoci danych, decyzji integrujcych róne problemy czstkowe (rozmieszczania, alokacji, porcjowania, marszrutowania i harmonogramowania) itp.
Najczciej stawiane pytania, na które tego typu systemy winny udziela odpowied, nale do poniszych dwóch kategorii pyta typu [2]:
x w przód
Czy istniej, a jeeli tak to jakie, terminy ukoczenia portfela projektów/projektu implikuj dostpne zdolnoci wytwórcze przedsibiorstwa (ilo pracowników, maszyn, pomieszcze, itp.) oraz dopuszczalne warianty alokacji zasobów?
x wstecz
Czy istniej, a jeeli tak, to które wartoci jakich zmiennych decyzyjnych zagwarantuj, e podjty portfel projektów zostanie zrealizowany przy utrzymaniu planowanych korzyci w postaci np. okrelonego poziomu wskaników efektywnoci?
Rónica midzy prezentowanymi kategoriami sprowadza si do tego, czy w ramach problemu poszukiwane s wartoci parametrów opisujcych harmonogram realizacji projektów (pytania typu w przód), czy poszukiwane s wartoci parametrów opisujcych MP gwarantujcych realizacj portfela projektów (pytania typu wstecz).
Naturalnym w tej sytuacji, z uwagi na sposób specyfikacji modeli ograniczajcy si do specyfikacji zbiorów: zmiennych, dziedziny zmiennych oraz ogranicze narzucanych na podzbiory zmiennych, jest zakwalifikowanie ich do klasy Problemów Spenienia Ogranicze (PSO) [4]. Konsekwencj tej kwalifikacji jest ich implementacja w komercyjnie dostpnych pakietach jzyków programowania z ograniczeniami takich jak np. CHIP, ILOG [10], a take ogólnie dostpnych, jak np. OZ Mozart [11].
Celem ilustracji proponowanego podejcia dalsze rozwaania ograniczaj si do modelu referencyjnego problemu decyzyjnego czcego oczekiwania uytkownika (w zakresie wsparcia obejmujcego dany zbiór pyta rutynowych) z moliwociami wykorzystania dostpnych zdolnoci produkcyjnych.
2. MODEL REFERENCYJNY
2.1. Problem decyzyjny
W prezentowanym podejciu, zorientowanym na implementacj technik programowania z ograniczeniami, rozwaania koncentruj si na problemach decyzyjnych, w których dla przyjtych zaoe poszukiwane s w szczególnoci odpowiedzi na pytanie: Czy dany plan produkcji moe by wykonany w horyzoncie H? W ogólnoci, pytane to moe by rozszerzone o szereg innych, jak np.: Czy dany plan produkcji moe by wykonany w horyzoncie H przynoszc zysk t Z? lub Czy dany plan produkcji moe by wykonany w horyzoncie H z zadan efektywnoci ekonomiczn poszczególnych projektów NPV > 0 ? [1].
W przedstawionym kontekcie, problem planowania/wariantowania projektów sprowadza si do wyboru takich wartoci zmiennych decyzyjnych i/lub funkcji celu, które speniaj
wyraone w pytaniach rutynowych oczekiwania projektanta. Rozwizanie tego problemu poszukiwane jest w terminach zaoe poniszego modelu referencyjnego.
2.2. Model referencyjny problemu decyzyjnego
Dalsze rozwaania koncentruj si na modelu referencyjnym problemu planowania/warian-towania portfela projektów; modelu obejmujcym zbiór zmiennych decyzyjnych, opisujcych przedsibiorstwo i realizowane w nim procesy produkcyjne, dyskretne dziedziny zmiennych decyzyjnych, a take zbiór ogranicze czcych zmienne decyzyjne, zbiór ogranicze specyfikujcych pytania rutynowe oraz zbiór ogranicze odnoszcych si do pyta rutynowych. W takim ujciu model referencyjny stanowi charakterystyk okrelonej klasy portfeli projektów. Jego instancje (uzyskane w wyniku ukonkretnienia okrelonej liczby zmiennych) prowadz do uzyskania charakterystyki zadanego przez uytkownika portfela.
Zmiennedecyzyjne
Przedsibiorstwo (obiekt). Dany jest zbiór zasobów odnawialnych (np. pracowników, maszyn, narzdzi, itp.): Ro = {ro1, ro2, …, rolz}, gdzie lz – liczba zasobów odnawialnych, roi
– i-ty zasób odnawialny. Kademu zasobowi roi odpowiada sekwencja zoi = (zoi,1, zoi,2, …,
zoi,h+1), gdzie zoi,k – dopuszczalna warto i-tego zasobu w k-tej jednostce czasu horyzontu H:
H = {0,1,…,h}, zoi tworz sekwencje Zo= (zo1, zo2, …, zolz). Znane s czasy trwania
czynnoci oraz iloci zasobów niezbdnych do ich wykonania.
Dany jest zbiór zasobów odnawialnych (np. pienidzy): Rn = {rn1, rn2, …, rnln}, gdzie ln –
liczba zasobów nieodnawialnych, rni – i-ty zasób nieodnawialny. Kademu zasobowi rni
odpowiada wielko zni okrelajca dostpn w momencie rozpoczcia projektu (pierwsza
jednostka horyzontu czasu H) ilo zasobu. Wielkoci zni tworz sekwencj Zn = (zn1, …,
znln).
Projekty (przedsiwzicia). Dany jest zbiór projektów rezprezenotwanych przez: P ={P1, P2,
..., Plp}, i-ty projekt charakteryzowany jest przez wielko Pi, która skada si z loi czynnoci
Pi= {Oi,1,Oi,2,Oi,3,…,Oi,loi}, gdzie:
Oi,j= (xi,j, ti,j, Tpi,j, Tzi,j, Dpi,j, Tri,j, Tsi,j, Cri,j, Csi,j), (1)
xi,j– termin rozpoczcia czynnoci Oi,j liczony wzgldem pocztku horyzontu H,
tij – czas trwania czynnoci Oi,j,
Tpi,j = (tpi,j,1, tpi,j,2, ... , tpi,j,lz) – sekwencja terminów pobrania przez czynno Oi,j kolejnych
zasobów odnawialnych: tpi,j,k – termin liczony wzgldem xi,j pobrania przez czynno Oi,j,
k-tego zasobu odnawialnego w iloci dpi,j,k.
Tzi,j = (tzi,j,1, tzi,j,2, ... , tzi,j,lz) – sekwencja terminów zwracania przez czynno Oi,j kolejnych
zasobów odnawialnych: tzi,j,k – termin liczony wzgldem xi,j zwrócenia przez czynno
Oi,j, k-tego zasobu odnawialnego w iloci dpi,j,k.
Dpi,j = (dpi,j,1, dpi,j,2,..., dpi,j,lz) oznacza sekwencj iloci pobieranych przez czynnoci Oi,j
zasobów odnawialnych: dpi,j,k – ilo k-tego zasobu pobieranego przez czynno ,
Tri,j = (tri,j,1, tri,j,2, ..., tri,j,ln) – sekwencja terminów pobrania przez czynno Oi,j okrelonej
iloci kolejnych zasobów nieodnawialnych: tri,j,k – termin liczony wzgldem xi,j pobrania
przez czynno Oi,jk-tego zasobu nieodnawialnego w iloci cri,j,k.
Tsi,j = (tsi,j,1, tsi,j,2, ..., tsi,j,ln) – sekwencja terminów generowania przez czynno Oi,j okrelonej
iloci kolejnych zasobów nieodnawialnych: tsi,j,k – termin liczony wzgldem xi,j
Cri,j = (cri,j,1, cri,j,2,...,cri,j,ln) – sekwencja iloci pobieranych kolejnych zasobów
nieodnawialnych przez czynno Oi,j: cri,j,k – ilo k-tego zasobu pobieranego przez
czynno Oi,j,
Csi,j = (csi,j,1, csi,j,2,...,csi,j,ln) – sekwencja iloci generowanych przez czynno Oi,j kolejnych
zasobów nieodnawialnych: csi,j,k– ilo k-tego zasobu generowanego przez czynno Oi,j.
Warto i xi,j, ti,j, N {0}, s elementami nastpujcych sekwencji:
x terminów rozpoczcia czynnoci marszruty technologicznej Pi:
Xi= (xi,1, xi,2,…,xi,loi), 0 d xi,j< h; i = 1, 2,…, lp; j = 1, 2,…,loi,
x czasów trwania czynnoci marszruty Pi: Ti= (ti,1, ti,2,…,ti,loi),
Ograniczenia
Przedsibiorstwo. Dany portfel projektów P, dopuszczalne wartoci zasobów odnawialnych Zo, i stan pocztkowy zasobów nieodnawialnych Zn.
Produkcja: Dany jest horyzont H = {0, 1, …, h}, okrelajcy przedzia czasowy realizacji czynnoci P. Czynnoci s niepodzielne w czasie oraz mog rezerwowa dowoln liczb zasobów. Przyjmuje si, e:
x kady zasób w danej czynnoci moe by wykorzystany tylko jednokrotnie,
x ilo danego zasobu odnawialnego wykorzystywanego przez dan czynno nie moe ulec zmianie, nie moe te zosta przydzielona do innej czynnoci,
x warunkiem rozpoczcia czynnoci jest dostp do danej liczby zasobów odnawialnych w zadanych terminach Tpi,j, Tzi,j i nieodnawialnych Tri,j i Tsi,j.
Dana jest sie czynnoci projektu, wierzchoki, której to czynnoci Oi,j, a uki wskazuj
porzdek ich realizacji. Odpowiednie ograniczenia kolejnociowe maj posta :
x dla czynnoci wystpujcy po sobie: xi,j+ tijd xi,k, (2)
x dla wielu poprzedników:
xi,j+ti,jd xi,k, xi,j+1+ti,j+1d xi,k, xi,j+2+ti,j+2d xi,k,..., xi,j+n+ti,j+nd xi,k, (3)
x dla wielu nastpników:
xi,k+ ti,kd xi,j, xi,k + ti,kd xi,j+1, xi,k+ti,kd xi,j+2,..., xi,k+ti,k + d xi,j+n. (4)
W ogólnym przypadku, w zalenoci od kontekstu pyta rutynowych rozwaane s róne modele referencyjne problemów decyzyjnych, modele skojarzone z typowymi klasami pyta rutynowych zwizanych z wyznaczaniem:
x wartoci funkcji celu implikowanych przez przyjte wartoci zmiennych decyzyjnych; x wartoci zmiennych decyzyjnych gwarantujcych oczekiwane wartoci funkcji celu; x parametrów i/lub ogranicze systemu gwarantujcych, ze dane wartoci zmiennych
decyzyjnych implikuj oczekiwane wartoci funkcji celu [4]. 3. PROBLEM SPENIANIA OGRANICZE
Programowanie z ograniczeniami jest obszarem technologii oprogramowania bazujcym na specyfikacji ogranicze zmiennych decyzyjnych rozwizywanych problemów. Istotn cech ogranicze stanowi ich deklaratywny charakter. Oznacza to, e ograniczenia specyfikuj jedynie posta wymaganych relacji, nie podaj natomiast sposobu gwarantujcego ich zachodzenie. W tym kontekcie, specyfikacj problemu stanowi zbiory zmiennych i ich
dziedzin oraz zbiór ogranicze wicych wybrane zmienne decyzyjne. Poszukiwanym rozwizaniem jest zbiór wartoci zmiennych speniajcych przyjte ograniczenia.
Problem speniania ogranicze CS = ((V, D),C) okrela skoczony zbiór zmiennych V = {v1,
v2, ..., vn}, rodzina dziedzin zmiennych D = {Dq | Dq = (dq,1,...,dq,j,...,dq,m), q = 1 ... n} oraz
skoczony zbiór ogranicze C = {Cq|q = 1...L} limitujcych wartoci zmiennych
decyzyjnych. Poszukiwane jest rozwizanie bd to dopuszczalne, tzn. rozwizanie w którym wartoci wszystkich zmiennych speniaj wszystkie ograniczenia (zwykle jedno – najwczeniej uzyskane), bd te rozwizanie optymalne ekstremalizujce funkcj celu okrelon na wybranym podzbiorze zmiennych decyzyjnych.
Rozwizanie CS uzyskiwane jest w wyniku systematycznego przeszukiwania moliwych przyporzdkowa wartoci zmiennych decyzyjnych. Wykorzystywane metody poszukiwania rozwiza dziel si na te, w których przeszukiwana jest caa przestrze wszystkich moliwych przyporzdkowa (wykorzystywane s tutaj zarówno techniki przeszukiwania systematycznego jak i metody stochastyczne) oraz na te, w których przeszukiwana jest tylko cz tej przestrzeni. Metody te implementowane s w jzykach klasy CP, np. Oz Mozart [11], ILOG [10].
4. WARUNKI DOPUSZCZALNEJ ALOKACJI ZASOBÓW
4.1 Ograniczenia zabezpieczajce przed powstawaniem blokad zasobów odnawialnych atwo zauway , e ograniczona pula zasobów moe prowadzi do wystpowania konfliktów zasobowych, zwizanych z koniecznoci rozstrzygania pierwszestwa przydziau limitowanych zasobów. Sytuacje tego typu wystpuj w chwilach, gdy kontynuacja równolegle realizowanych operacji wymaga przydziau danego zasobu w iloci przekraczajcej jego limit. Konieczne jest zatem posiadanie ogranicze gwarantujcych, e w rozwaanym horyzoncie H nigdy nie dojdzie do wystpowania konfliktów zasobowych. Tego typu ograniczenia zostay przedstawione w pracach [6], [7] i przyjmuj posta ukadu nierównoci (5):
>
@
>
@
>
@
° ° ° ° ¯ °° ° ° ® d d d ¦ ¦
¦ ¦
¦ ¦
1 , , , , , , , , , , 1 1 , , 1 , , , , , , , , 2 , 1 2 , 1 1 1 , , 1 , , , , , , , , 1 , 1 1 , 1 1 1 , , , , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 1 , 1 ) , , ( 1 ... ) , , ( 1 ) , , ( 1 lp lo lp lp lo lp lp lp i i i tp x k k j i j i k j i j i k lo lp lo lp lp i lo j k j i tp x k k j i j i k j i j i k lp i lo j k j i tp x k k j i j i k j i j i k lp i lo j k j i zo tz x tp x tp x dp zo tz x tp x tp x dp zo tz x tp x tp x dp (5)gdzie vgk,i– to i-ty punkt charakterystyczny funkcji gk(u) .
Mona wykaza [6], e wprowadzenie do CS ogranicze (5), gwarantuje, e w procesie poszukiwania harmonogramów realizacji portfela projektów wygenerowane harmonogramy nie bd prowadziy do blokady zasobów odnawialnych.
4.2. Ograniczenia zabezpieczajce przed powstawaniem blokad zasobów nieodnawialnych
Kolejnym etapem, w którym mog wystpi sytuacje blokadowe jest planowanie przydziau zasobów nieodnawialnych. W planowaniu realizacji portfela projektów zwizane jest to z zagwarantowaniem nieprzekroczenia zaoonego budetu (zasoby nieodnawialne najczciej traktowane s jako zasoby finansowe). Oznacza to konieczno utrzymania
poziomu rodków finansowych na poziomie równym lub wikszym od zadanego minimalnego ich stanu w kadym momencie realizacji projektów.
Przykad sytuacji przekroczenia budetu przedstawia rys. 1 a). Trzy czynnociͳǡͳǡͳǡʹǡͳǡ͵, w i-tej chwili do realizacji wymagaj odpowiednio 2, 4, 2 jednostek pienidzy. Stan portfela wynosi 6 jednostek. Czynno ͳǡ͵, po swoim ukoczeniu pozyskuje 10 jednostek pienidzy, pozostae czynnoci nie przynosz dochodów. W rozwaanej chwili czasu moliwa jest realizacja tylko dwóch czynnoci. Jeli posiadane zasoby rozdzielone zostan na czynnoci
ͳǡͳǡͳǡʹǡ to powstanie stan blokady systemu – brak pienidzy by zrealizowa czynno ͳǡ͵. Jeli zasoby przydzielone zostan do czynnoci ͳǡʹǡͳǡ͵, (rys. 1b) to czynno ͳǡͳ bdzie moga si rozpocz w j-tej chwili, zwizanej z uzyskaniem przychodu czynnoci ͳǡ͵ co spowoduje, e blokada nie wystpi.
Rys. 1. Gospodarowanie zasobami nieodnawialnymi a) stan blokady, b) stan bezblokadowy
Konieczne jest zatem posiadanie ogranicze gwarantujcych, e w rozwaanym horyzoncie H nigdy nie dojdzie do sytuacji blokadowej, zwizanej z przydzieleniem zasobów nieodnawialnych.
W celu opracowania takich ogranicze przyjto zaoenie, e iloci danych i pozyskanych jednostek k-tego zasobu nieodnawialnego s opisane przez funkcje bk(v, X), mk(v, X):
x bk(v,X) 0, v H – funkcja okrelajca sumaryczn ilo danych jednostek k-tego
zasobu do momentu v, w zalenoci od przyjtych terminów X = (X1, X2, …, Xlp)
rozpoczcia czynnoci.
x mk(v, X) 0, v H – funkcja okrelajca sumaryczn ilo generowanych jednostek
k-tego zasobu do momentu v, w zalenoci od przyjtych terminów X = (X1, X2, …, Xlp)
rozpoczcia czynnoci.
Rys. 2 przedstawia funkcje bk, mk, odpowiadajce operacjom z rys. 1.
atwo zauway , e stan blokady odpowiada sytuacji gdy wartoci funkcji bk(v, X)
przekraczaj wartoci mk(v): bk(v, X) > mk(v, X). Z tak sytuacj mamy do czynienia w chwili
(i + 1) zilustrowanej na rys. 2 a. Z kolei rys. 2 b odpowiada sytuacij z rys. 1b. Prezentowana kolejno realizacji czynnoci nie prowadzi do blokady, co odpowiada sytuacji, gdy bk(v, X)
mk(v, X) dla kadej chwili v horyzontu H (v H).
Z przedstawionych rozwaa, wynika, e wystpowanie w realizacji czynnoci portfela przedsiwzi blokady zasobów nieodnawialnych implikuje spenienie nierównoci bk(vb, X)
> mk(vb, X) dla vb H. Spostrzeenie to prowadzi do poniszej wasnoci:
Wasno 1. Spenienie warunku bk(vb, X) > mk(vb, X) jest warunkiem koniecznym
Rys. 2. Ilustracja funkcji b1 i m1 odpowiadajcych przykadowi z rys. 1
Prawdziwy jest równie poniszy lemat:
Lemat 1. Jeeli alokacja zasobów nieodnawialnych przydzielanych w danej chwili v do czynnoci projektów, przy zaoonych X, Ti, , H, spenia warunek bk(v,X) mk(v, X) dla
k {1, 2, ..., lz}, to realizacja tych czynnoci nie prowadzi do ich blokady.
Dowód: Dowód wynika bezporednio z Wasnoci 1. Zgodnie z Wanoci 1 blokada moe wystpi , gdy w chiwli v conajmniej dla jednego zasobu speniony bdzie warunek bk(v,X) >
mk(v,X). Jeeli wic dla kadego z zasobów (k {1, 2, ..., lz}) Wasno 1 nie bdzie
speniona (tzn. warunek bk(v, X) > mk(v, X) jest niespeniony) to blokada nie wystpi.
Niespenienie Wasnoci 3 jest równowane ze spenieniem warunku bk(v, X) mk(v, X).
Z powyszego wynika, e blokada dla zasobów nieodnawialnych nie wystpi, gdy dla kadego z zasobów (k {1, 2, ..., lz}) speniony bdzie warunek bk(v, X) mk(v, X).
Wasno 2. Jeeli w kadej chwili rozwaanego horyzontu H speniony jest warunek bk(v, X)
mk(v, X) dla k {1, 2, ..., lz}, to blokady czynnoci wystpujcych przy realizacji
planowanego portfela projektów nie bd wystpoway.
Zgodnie z przyjtymi zaoeniami modelu referencyjnego [5] funkcje wystpujce w nierównoci bk(v,X) mk(v,X) przyjmuj posta :
x funkcja bk(v,X) przyjmuje posta :
>
1( )@
) , ( , , i,j i,j,k lp i lo j k j i k v X cr v x tr b i ¦¦
1 1 , (6)gdzie: tri,j,k – termin liczony wzgldem xi,j pobrania przez czynno k-tego zasobu
nieodnawialnego, lp – liczba projektów, loi – liczba czynnoci w i-tym projekcie, cri,j,k –
liczba jednostek k-tego zasobu nieodnawialnego rezerwowana przez czynno Oi,j, 1(v)
– funkcja jednostkowa.
Wielko a, funkcji 1(va) nazywana jest punktem charakterystycznym. W wyraeniu (6) sumowane s funkcje jednostkowe czasu rezerwacji zasobu, których punkty charakterystyczne oznaczaj momenty dania (xi,j+ tri,j,k) przez czynnoci okrelonej
iloci zasobu k. Punkty te w dalszej czci nazywane bd punktami charakterystycznymi funkcji bk(v, X). Zmiana wartoci funkcji bk(v, X) na wiksz moe odbywa si tylko
w jej punktach charakterystycznych, x funkcja mk(v,X) przyjmuje posta :
>
i j i jk@
k lp i lo j k j i k v X cs v x ts zn m i ¦¦
) ( 1 ) , ( , , , , , 1 1 (7) b1(v,X), m1(v,X) 0 1 i+1 i+2 6 m1(v,X b1(v,X) - obszar gdzie: bi(v,X) > mi(v,X) - mi(v,X) - bi(v,X) 0 i v b1(v,X), m1(v,X) 0 1 6 m1(v,X b1(v,X) 0 v a) b)gdzie: tsi,j,k –termin liczony wzgldem xi,j pozyskania przez czynno k-tego zasobu, lp –
liczba projektów, loi – liczba czynnoci w i-tym projekcie, csi,j,k – liczba jednostek k-tego
zasobu pozyskiwana przez czynno Oi,j,1(v) – funkcja jednostkowa.
Analogicznie do bk(v,X) wartoci (xi,j + tsi,j,k) nazywane s punktami charakterystycznymi
funkcji mk(v,X).
Dla przyjtych postaci funkcji bk(v, X), mk(v ,X) (wyraenia (6), (7)) oraz zgodnie
z wasnoci 2 warunek bk(v, X) mk(v, X) przyjmuje posta :
>
@
>
@
0 1 1 1 1 t ¦¦
¦¦
) ( 1 ) ( 1 , , , , , , , , , , i j i jk lp i lo j k j i k j i j i lp i lo j k j i k cr v x tr cs v x ts zn i i (8) v Hgdzie: lp – liczba projektów, loi – liczba czynnoci w i-tym projekcie, 1(v) – funkcja
jednostkowa.
Zgodnie z Lematem 1, aby nie dopuci do blokady, wyraenie (8) musi by spenione dla kadej chwili v horyzontu H. Z przyjtych postaci funkcji bk(v, X), mk(v, X) (wyraenia (6),
(7)) wida , e ich wartoci zmieniaj si na wiksze tylko dla argumentów odpowiadajcych punktom charakterystycznym. Zmienna v w wyraeniu (8) moe wic zosta zastpiona odpowiednimi punktami charakterystycznymi. Rozwaane s tylko punkty charakterystyczne funkcji ሺǡሻǡ gdy tylko dla nich warto lewej strony nierównoci maleje. Zgodnie
z powyszym suszne jest Twierdzenie 2.
Twierdzenie 1. Dany jest portfel projektów , spenione s zaoenia modelu referencyjnego (czynnoci opisane s przez: X, Ti, H), funkcje bk(v, X), mk(v, X) s wyraane odpowiednio
przez (6), (7). Jeeli dla kadej chwili horyzontu H oraz dla kadego k {1, 2, …, ln}, warunki wyraone ukadem nierównoci (9) s spenione, to realizacja planowanego portfela projektów jest bezblokadowa.
Dowód: Ukad (9) jest rozwiniciem nierównoci (8) w przypadku, gdy argument v przyjmuje wartoci punktów charakterystycznych funkcji ሺǡ ሻǡ ሺǡ ሻ. Zgodnie
z wyraeniami (6) i (7) tylko w tych punktach moe nastpi zmiana stanu portfela projektów . Jeli wic nierówno (8) jest speniona w punktach charakterystycznych (punkt funkcji
ሺǡሻ), które odpowiadaj momentom, gdy lewa strona nierównoci (8) zmniejsza swoj
warto , to jest ona speniona dla wszystkich co zgodnie z wasnoci 2 (a tym samym z Lematem 1) gwarantuje brak blokady zasobów nieodnawialnych.
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
° ° ° ° ¯ °° ° ° ® t t t ¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
0 ) ( 1 ) ( 1 ... 0 ) ( 1 ) ( 1 0 ) ( 1 ) ( 1 , , , , 1 1 , , , , , 1 1 , , , , 2 , 1 1 1 , , , , , 2 , 1 1 1 , , , , , 1 , 1 1 1 , , , , , 1 , 1 1 1 , , k j i j i lo lp lp i lo j j i k j i j i lo lp lp i lo j j i k k j i j i lp i lo j k j i k j i j i lp i lo j k j i k k j i j i lp i lo j k j i k j i j i lp i lo j k j i k s t x x cs r t x x cr zn s t x x cs r t x x cr zn s t x x cs r t x x cr zn lp i lp i i i i i (9)Gwarancja utrzymania zadanego poziomu iloci zasobów nieodnawialnych, poprzez wprowadzenie do CS opracowanych ogranicze (9) jest podstawowym warunkiem braku blokad.
Podusmowujc zaproponowany model referencyjny planowania/waraiantowania przedsiwzi charakteryzuj: czynnoci (ich ilo i determinujce ich wykonanie graniczenia kolejnociowe i zasobowe), zasoby (ich ilo i charakter), a take czce je zwizki (okrelajce jakie zasoby i w jakiej iloci s niezbdne do wykonania poszczególnych czynnoci, ograniczenia np. zakadajce niewywaszczalno i/lub wspódzielenie zasobów, cigy lub dyskretny sposób zuycia zasobów, itp.). Model stanowi podstaw do budowy systemów komputerowo wspomaganego podejmowania decyzji, na etapie planowania/wariantowania portfeli projektów.
5. PRZYKAD ILUSTRACYJNY
Dany jest portfel projektów reprezentowany przez rodzin ൌሼͳǡʹǡ͵ǡͶሽǤCzynnoci Oi,j
w projektach charakteryzowane s odpowiednio [2]:ͳ ൌ ሼͳǡͳǡ ǥǡͳǡͳͲሽǡʹ ൌ ሼʹǡͳǡǥǡ
ʹǡͳʹሽǡ͵ൌሼ͵ǡͳǡǥǡ͵ǡͳͳሽǡͶൌሼͶǡͳǡǥǡͶǡͳ͵ሽǤ Sieci czynnoci projektów zilustrowano na
rys. 3.
Rys. 3. Sieci czynnoci portfela P
Dany jest horyzont planowania realizacji wszystkich projektów H α ȓͲǡ ͳǡ ǥǡ ͶͲȔ. Dla poszczególnych czynnoci, kolejno dla projektów ͳǡʹǡ͵ǡͶǡdanes sekwencje czasów trwania: T1ൌሺͳǡʹǡ͵ǡͶǡͶǡͺǡ͵ǡʹǡͳǡሻǡʹൌሺ͵ǡͳǡǡ͵ǡʹǡͷǡͳǡͷǡʹǡͶǡʹǡͳሻǡ T3ൌሺ͵ǡǡʹǡǡ
ʹǡ ͳǡͺǡ ͵ǡ ͵ǡ Ͷǡ ͺሻǡͶൌ ሺ͵ǡ ͵ǡ ʹǡ ͺǡ ͵ǡ ͳǡ Ͷǡ ͳǡ ͺǡ Ͷǡ ͵ǡ ͵ǡ ͺሻǤ Do realizacji czynnoci
wykorzystywane s trzy rodzaje zasobów odnawialnych ͳǡʹǡ͵. Dane s dopuszczalne wartoci zasobów odnawialnych, które kolejno wynoszͳͳǡͳͶǡͳʹu.j.m (umowna jednostka miary) dla caego horyzontu H: zo1 = (11, 11, 11, …, 11), || zo1|| = 41, zo2 = (14, 14, 14, …,
14), ||zo2|| = 41, zo3 = (12, 12, 12, …, 12), ||zo3|| = 41. Dopuszczalne wartoci zasobów s
niezmienne w czasie. Przyjto, e dla wszystkich czynnoci zasoby s rezerwowane wraz z rozpoczciem czynnoci i zwalniane w momencie jej ukoczenia.
Wymagana ilo zasobów dla czynnoci projektów ͳǡʹǡ͵ǡͶǡ jest wyraana w postaci
sekwencji iloci pobieranego zasobu odnawialnego. Potrzebne iloci zasobów zestawiono poniej.
DP1,1={3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1}, DP1,2= {2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1}, DP1,3 ={2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2}
DP2,1 = {4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2}, DP2,2 = {1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1}, DP2,3 = {2, 1, 1, 1, 3, 1,
DP3,1 ={2, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 3}, DP3,2 ={2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2}, DP3,3={2, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2,
1, 3}
DP4,1 ={1, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 4}, DP4,2={1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 2}, DP4,3={1, 2, 2, 1, 1,
2, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 2}
Do realizacji czynnoci wymagana jest okrelona liczba zasobów nieodnawialnych ͳǡʹǤ
Pocztkowa warto zasobu nieodnawialnego ͳ wynosi 10 u.j.m. a zasobu nieodnawialnego
i 7 j 10 7
ʹ wynosi 7 u.j.m.: zn1= 10, zn2 = 7.
Czynnoci pobieraj i/lub generuj okrelon ilo zasobów nieodnawialnych ͳ i ʹ. Przyjto, e dla wszystkich czynnoci zasoby s pobierane wraz z rozpoczciem czynnoci i generowane w momencie ich ukoczenia. Ilo pobieranego/generowanego zasobu ͳ
okrelaj odpowiednio sekwencjeǡǡǡ zestawione poniej.
CR1,1 ={1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1}, CR1,2 ={1, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1},CS1,1 = {3, 2, 0, 2, 4, 4, 2, 0, 2, 4},CS1,2={1 , 2, 3, 2, 2, 2, 0, 2, 1, 2},CR2,1 ={ 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 1}, CR2,2={ 3, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2},CS2,1={ 3, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 1}, CS2,2={ 3, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2},CR3,1={ 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 1}, CR3,2={ 0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 0},CS3,1={ 2, 3, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2}, CS3,2 ={ 3, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 2, 2, 2, 1},CR4,1={ 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 1, 1, 1},CR4,2={ 0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 1},CS4,1={ 2, 3, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2},CS4,2={ 3, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 2}
Poszukiwana jest odpowied na pytanie: Czy istnieje, a jeeli tak, to jaki jest harmonogram
gwarantujcy ukoczenie portfela projektów w zadanym horyzoncie , speniajcy ograniczenia zwizane z dostpnoci zasobów odnawialnych i nieodnawialnych oraz oczekiwan efektywnoci ekonomiczn poszczególnych projektów NPV > 0?
Tak sformuowany problem jest problemem typu w przód, w którym to dla zadanych parametrów portfela projektów poszukiwany jest harmonogram realizacji czynnoci. Udzielenie odpowiedzi na postawione pytanie zwizane jest zatem z wyznaczeniem wartoci zmiennych opisujcych poszukiwany harmonogram, co w rozwaanym przypadku sprowadza si do wyznaczenia wartoci momentów rozpoczcia czynnocixi,jȏȐ,[7]. Postawione pytanie wymaga wic wyznaczenia elementów sekwencji: ͳൌሺͳǡͳǡǥǤǡͳǡͳͲሻǡʹൌሺʹǡͳǡǥǤǡʹǡͳʹሻǡ
͵ൌሺ͵ǡͳǡǥǡ͵ǡͳͳሻǡͶൌሺͶǡͳǡǥǡͶǡͳ͵ሻ.
Poszukiwane wartoci elementów sekwencji X1, X2, X3, X4, powinny spenia ograniczenia
kolejnociowe z rys. 3, oraz ograniczenia zwizane z przydziaem zasobów odnawialnych
DPi,j, i nieodnawialnych CSi,j, CRi,j (gwarantujce brak blokady). Ograniczenia te kolejno
opisywane s w postaci zalenoci: (2), (3), (4), (5), (9). Sekwencje otrzymane zostay w wyniku implementacji instancji przedstawionego modelu referencyjnego dla rozwaanego przykadu w rodowisku OzMozrat [11].Pierwsze rozwizanie dopuszczalne uzyskano po czasie 10 s. Sekwencje momentów rozpoczcia czynnoci s nastpujce:
X1αȋͲǡͳǡͳǡͶǡͳͳǡͳͷǡͺǡͳͳǡʹ͵ǡʹͶȌǡX2αȋͲǡ͵ǡǡͳͲǡͳ͵ǡͳͷǡʹͲǡͳǡʹ͵ǡʹͷǡʹͷǡʹͻȌǡ
X3αȋͲǡ͵ǡ͵ǡͳͲǡͳǡͷǡͳͻǡͳǡʹͲǡʹǡ͵ͳȌǡX4αȋͲǡͲǡ͵ǡͷǡͷǡ͵ǡ͵ǡͳ͵ǡͺǡǡͳͶǡͳǡͳͻȌǤ
Otrzymane wartoci wspóczynników NPV [3] dla harmonogramu opisanego przez X1ǡX2ǡX3ǡ
X4kolejno dla projektów P1,P2,P3,P4 wynosz:
Rys. 4. Plan realizacji portfela projektów
Harmonogram realizacji portfela projektów odpowiadajcy otrzymanemu rozwizaniu przedstawiony zosta na rys. 4. Spenia on wszystkie zadane ograniczenia wynikajce tak z moliwoci przedsibiorstwa, jak i z wymaga narzuconych na realizacj poszczególnych projektów.
Na rys. 5a) przedstawiono dodatkowo przykadowy wykres obcienia zasobu ͳ
z zaznaczonym limitem dopuszczalnej jego iloci. W caym horyzoncie czasu dopuszczalny limit zasobu odnawialnego nie zosta przekroczony, podobna sytuacja wystpuje dla pozostaych zasobów ʹǡ͵.
Rys. 5b) przedstawia przykadowy wykres zmiany poziomu zasobu nieodnawialnego zn2
w badanym horyzoncie czasu. atwo dostrzec, e ograniczenie okrelajce minimalny, dopuszczalny poziom zasobów odnawialnych równy 0 jest spenione dla zn2 w caym
horyzoncie realizacji projektów. Ograniczenie to spenione jest równie dla zasobu zn1.
Przedstawiony przykad ilustruje moliwo wykorzystania prezentowanego podejcia w zakresie wielokryterialnej (np. termin realizacji poszczególnych projektów, termin realizacji caego portfela projektów, limitowana dostpno si wytwórczych, itp.) oceny planowanych projektów, a take poszukiwania odpowiedzi na problemy decyzyjne definiowane dla podejcia „w przód” w trybie interakcyjnym (wynik dla rozwaanego przykadu uzyskano w czasie poniej 5 minut).
Rys. 5. Obcienie a) zasobu odnawialnego zo1b) zasobu nieodnawialnego zn2
6. WNIOSKI
Przyjty model referencyjny problemu decyzyjnego, umoliwia specyfikacj rozwaanych obiektów obejmujc ich: czynnoci, zasoby, czce je zwizki. W takim ujciu model referencyjny moe by postrzegany jako swoista baza wiedzy [2], tzn. znany jest zbiór formu specyfikujcych zwizki wystpujce pomidzy wybranymi parametrami, a take formuy specyfikujce zgromadzone dowiadczenie, wiedz ekspertów itp. Tak rozumiana baza wiedzy, poprzez moliwo jej bezporedniej reprezentacji w kategoriach problemu spenienia ogranicze [4] stanowi naturaln platform dla formuowania pyta oraz wypracowywania stosowanych odpowiedzi. W tym kontekcie warto zauway , e techniki programowania w logice ogranicze stanowi jdro obliczeniowe wielu komercyjnych rozwiza. Przykadem tego typu pakietów s m.in. produkty takich firm jak proALPHA S.A. Polska [9] oraz IFS.
Przedstawione w Rozdziale 5 przykad ilustrujcy moliwoci wykorzystania zaproponowanego modelu referencyjnego sugeruj jego przydatno do budowy zadaniowo zorientowanych, interakcyjnych systemów wspomagania decyzji, m.in. w zadaniach planowania/wariantowania portfeli projektów . Pene potwierdzenie takiej przydatnoci wie si oczywicie z koniecznoci wykazania i dana baza wiedzy umoliwia wypracowanie odpowiedzi na zadany zbiór pyta rutynowych, a take i dla rozwaanej klasy obiektów odpowiedzi te uzyskiwane s w trybie „on-line”.
Wykorzystywany model referencyjny umoliwia budow bardziej zaawansowanych, zadaniowo zorientowanych, systemów interakcyjnego wspomagania decyzji, np. systemów sterowania dyspozytorskiego w elastycznych systemach produkcyjnych. Kontynuowane badania wi si z moliwociami rozwizywania zada alokacji zasobów odnawialnych i nieodnawialnych realizowanych w systemach produkcyjnych, w warunkach wystpowania zmiennych zadanych w sposób niepewny lub nieprecyzyjny.
LITERATURA
[1] Bach I., Tomczuk-Piróg I., Bzdyra K., Banaszak Z., Zarzdzanie wiedz MP (wspomaganie decyzji). W: Komputerowo Zintegrowane Zarzdzanie, T. I, Knosla R., Oficyna Wydawnicza PTZP, Opole 2007; 22-31.
[2] Bach I., Bocewicz G., Banaszak Z.: Constraint programming approach to time-window and multiresource-constrained projects portfolio prototyping. In: Industrial, Engineering and Other Applications of Applied Intelligent Systems, IEA/AIE 2008, N.T. Nguyen et
al. (Eds.):, Lecture Notes in Artificial Intelligence 5027, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008, pp. 767–776.
[3] Bach I., Wójcik R. Bocewicz G.: Projects portfolio prototyping subject to imprecise activities specification, In: Conference proceedings of 14th International Congress of Cybernetics and Systems of WOSC – ICCS’08, Wroclaw, Poland, 2008; 261-272.
[4] Banaszak Z., CP-based decision support for project-driven manufacturing. In: Perspectives in Modern Project Scheduling, (Józefowska J. and J. Wglarz (Ed)), International Series in Operations Research and Management Science, Vol. 92, Springer Verlag, New York, 2006; 409-437.
[5] Barták R. Incomplete Depth-First Search Techniques: A Short Survey, Proceedings of the 6th Workshop on Constraint Programming for Decision and Control, Ed. Figwer J., 2004; 7-14.
[6] Bocewicz G., Muszyski W., Banaszak Z.: Planowanie pracy zespou robotów wielofunkcyjnych w systemach potokowej produkcji wieloasortymentowej (Model referencyjny). W: Problemy Robotyki, Prace naukowe, Elektronika, z. 166, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2008, str. 635-646.
[7] Bocewicz G., Wójcik R., Banaszak Z.: Planowanie pracy zespou robotów wielofunkcyjnych w systemach potokowej produkcji wieloasortymentowej (Interakcyjne wspomaganie decyzji). W: Problemy Robotyki, Prace naukowe, Elektronika, z. 166, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2008, 647-660. [8] Bocewicz G., Banaszak Z., Wójcik R.: Design of admissible schedules for AGV
systems with constraints: a logic-algebraic approach, In: Agent and Multi-Agent Systems: Technologies and Applications, Nguyen N.T., Grzech A., Howlett R.J., Jain L.C. (Eds.), Lecture Notes in Artificial Intelligence 4496, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2007; 578-587.
[9] Bzdyra K., Kudowicz P.: proALPHA - studium przypadku, W: Systemy wspomagania inynierii zarzdzania.- Koszalin: Wyd. Politechniki Koszaliskiej, 2005 s. 177-197 [10] Puget J-F.: A C++ Implementations of CLP, Proceeding of SPICS 94, 1994.
[11] Schulte CH., Smolka G., Wurtz J.: Finite Domain Constraint Programming in Oz, DFKI OZ documentation series, German Research Center for Artificial Intelligence, Stuhlsaltzenhausweg 3, D-66123 Saarbrucken, Germany, 1998.
