Tensor momentu bezwładności

Janusz Typek

TENSOR

MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

Temat pracy: Tensor momentu bezwładności

Cel pracy: Obliczenie tensora momentu bezwładności dla układu składającego się z kilku mas punktowych oraz jego wykorzystanie do

wyznaczenia momentu bezwładności dla dowolnej osi.

Wymagania

programowe: Obliczanie wartości własnych i wektorów własnych macierzy.

Kolejność

czynności: 1. Ustalić współrzędne przestrzenne i masy minimum czterech mas

punktowych (liczby całkowite w zakresie do kilkunastu). Sporządzić schematyczny rysunek układu tych punktów.

2. Wyznaczyć współrzędne środka masy układu i

przetransformować do układu środka masy współrzędne rozpatrywanych mas punktowych. Obliczyć kąty, jakie tworzą wektory wodzące tych mas z osiami układu środka mas.

3. Obliczyć składowe tensora momentu bezwładnosci (rów.(17)). 4. Obliczyć wartości własne i wektory własne tego tensora (rów.(18)

i (19)).

5. Sporządzić rysunek przedstawiający połoŜenie osi głównych

tensora na tle mas punktowych.

6. Obliczyć długość osi elipsoidy (rów. (26)) będącej

geometrycznym przedstawieniem tensora. Naszkicować tą elipsoidę.

7. Obliczyć wartość momentu bezwładności względem dowolnej

Tensor momentu bezwładności T

_ij

Niech Lr będzie wektorem momentu pędu punktu materialnego: v m r p r Lr =r×r=r× r (1)

gdzie rr jest wektorem wodzącym punktu z k y j x i r r r r r + + = (2)

zaś pr jest jego pędem:

v m

pr = r (3).

W równaniu (3) m oznacza masę punktu, a vr jego prędkość liniową.

JeŜeli zamiast punktu materianego mamy do czynienia z bryłą sztywną, to ∑ ⋅ × = ∫ × = i V i i i r v r v d V m Lr r r ρ r r (4)

gdzie ρ jest gęstością jednorodnej bryły.

ZałóŜmy, Ŝe bryła wykonuje ruch obrotowy wokół pewnej osi z prędkością kątową ϖr . Wiadomo, Ŝe wektory Lr i ϖr związane są ze sobą następującym równaniem:

ωr

r ⋅ = I

L ˆ (5)

Nie zawsze wektory Lr i ϖr leŜą na jednej prostej, zatem wielkość I)nie moŜe być ani skalarem, ani teŜ wektorem. Jest ona tensorem drugiego rzędu (bo łączy dwa wektory) i nazwana została tensorem momentu bezwładności .

Tensor momentu bezwładności jest tensorem symetrycznym, który moŜna przedstawić w postaci macierzy 3 na 3:           = Ι I I I I I I I I I zz zy zx yz yy yx xz xy xx ) (6)

Równanie (5) zapisane w postaci macierzowej ma postać:

          ω ω ω ⋅           =           z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x I I I I I I I I I L L L (7)

Niech bryła sztywna będzie złoŜona z n punktów materialnych, kaŜdy o masie mi, umieszczonych w przestrzeni na końcach wektorów wodzących ri:

z k y j x i ri= ⋅ i+ ⋅ i+ ⋅ i r r r r (8)

PoniewaŜ wektor prędkości liniowej vr punktu wykonującego ruch obrotowy moŜna przedstawić w postaci r v r r r × ω = (9)

zatem równanie (4) zapiszemy następująco:

(

)

(

)

∑ ⋅ × × = i i i i r r m Lr r ωr r (10)

Stosując do powyŜszego równania toŜsamość wektorową

(

b c

)

b

(

a c

)

c

(

a b

)

ar× r×r =r r⋅r −r r⋅r (11) otrzymamy:

(

)

[

_r r r i

]

m L i 2 i i i r r r r r ⋅ ω − ⋅ ω ∑ = (12) PoniewaŜ z y x ri=ωx⋅ +ωy⋅ +ωz⋅ ⋅ ωr r (13)

dlatego równanie (12) przyjmie postać:

(

)

(

)

(

)

∑         ω + ω + ω − ω + ω + ω − ω + ω + ω − ω + ω + ω = + + i z y x z y x z y x 2 i z 2 i y 2 i x i z y x z y x z k z y x y j z y x x i r k r j r i m L k L j L i r r r r r r r r r (14)

Porównując wyraŜenia występujące przy odpowiednich wersorach po obu stronach równania (14) otrzymamy:

(

)

[

]

∑ ω − ω +ω +_ω = i i z i y i x i 2 i x i x m r x x y z L =∑

[

ω

(

−

)

−ω −ω

]

i i i z i i y 2 i 2 i x i r x x y x z m

(

)

[

]

∑ ω − ω +ω +_ω = i z y x 2 i y i y m r y x y z L =∑

[

−ω +ω

(

−

)

−ω

]

i i i z 2 i 2 i y i i x i xy r y yz m (15)

(

)

[

]

∑ ω − ω +ω +_ω = i z y x 2 i z i z m r z x y z L =∑

[

− ω −ω +ω

(

−

)

]

i 2 i 2 i z i i y x i i i zx zy r z m

Rozpisując równanie (7) dostaniemy:

ω + ω + ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω = z zz y zy x zx z z yz y yy x yx y z xz y xy x xx x I I I L I I I L I I I L (16)

Porównanie stronami równań (15) i (16) pozwala otrzymać ostateczne wyraŜenie na składowe tensora momentu bezwładności:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∑ − = ∑ − = ∑ − = ∑ − = ∑ + = ∑ + = ∑ − =∑ + = i i i i yz i i i i xz i i i i i i i i xy i 2 i 2 i i zz i 2 i 2 i i yy i i 2 i 2 i i 2 i 2 i i xx z y m I z x m I y x m y x m I y x m I z x m I z y m x r m I (17)

PowyŜsze równania moŜna zapisać w zwięzłej postaci stosując tzw. symbol Kroneckera δkl:    ≠ = = δ l k gdy 0 l k gdy 1 kl K K K K

Wtedy wszystkie równania (17) zapiszą się tak:

(

r 2_kl kl xkxl

)

_i

i mi

I kl=∑ δ −

Wartości własne i wektory własne tensora

Równanie na wartości własne λ tensora Tij ma postać:

0 T T T T T T T T T 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = λ − λ − λ − (18)

Rozwiązując to równanie trzeciego stopnia otrzymujemy trzy (w ogólności róŜne) wartości własne λ₁, λ₂, λ_3. W przypadku tensora momentu bezwładności są to główne momenty

bezwładności względem trzech wzajemnie prostopadłych osi zwanych osiami głównymi. Osie główne czyli wektory własne tensora wi obliczymy z równania:

0 w w w T T T T T T T T T 3 i 2 i 1 i i 33 32 31 23 i 22 21 13 12 i 11 =           ⋅           λ − λ − λ − (19) dla i=1,2,3.

Geometryczna interpretacja tensora

1 2 3 α β γ

Niech wektor qr tworzy z osiami układu Ox1x2x3 kąty α, β i γ. Jego składowe są zatem )) cos( q ), cos( q ), cos( q (

qr ⋅ α ⋅ β ⋅ γ .MoŜna je symbolicznie zapisać jako q⋅c_k, gdzie c_k jest odpowiednim cosinusem kierunkowym. ZałóŜmy ponadto, Ŝe wektor pr powstaje skutkiem działania tensora Tik na wektor qr. Wtedy

c T q c q T c q T p k ik k ik k k ik i=∑ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ = ⋅ (20)

gdzie zastosowano umowę sumacyjną Einsteina: jeŜeli w wyraŜeniu dany wskaźnik występuje dwa razy (tutaj k), to naleŜy wykonać po nim sumowanie.

Przyjmijmy następującą definicję:

JeŜeli wielkość fizyczna jest określona funkcją p_i=T_ikq_k, to tensor [T_ik] ma w obranym kierunku qr wartość równą składowej p równoległej do qr podzielonej przez

bezwzględną wartość q:

[ ]

q p

Tqr= (21)

Składowa p jest równa iloczynowi skalarnemu wektora pr oraz wektora jednostkowego w kierunku wektora qr a ma on składowe (c1, c2, c3). Dlatego

c T c q p c p = i⋅ i= ⋅ i⋅ ik⋅ k

Zgodnie z definicją (21) otrzymamy:

[ ]

c T c q p T_ccc i ik k 3 2 1 ⋅ ⋅ = = (22)

Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe tensor T ma w kierunku osi x₁(czyli dla c₁=1, c₂=c₃=0 wartość T₁₁, w kierunku osi x₃ wartość T₃₃ itp.). Równanie (22) w pełnej postaci wygląda następująco:

[ ]

T_ccc T c T c T c 2 T12c1c2 2 T23c2c3 2T31c3c1 2 3 33 2 2 22 2 1 11 3 2 1 + + + + + = (23)

Tensor w układzie osi głównych ma zatem jedynie 3 składowe: T11,T22,T33. Rozpatrzmy następnie równanie powierzchni drugiego stopnia:

1 x x T 2 x x T 2 x x T 2 x T x T x T 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 3 33 2 2 22 2 1 11 + + + + + = (24)

Niech punkt P leŜy na tej powierzchni, w odległości r=OP od początku okładu odniesienia i niech cosinusy kierunkowe wektora jednostkowego prostej OP wynoszą odpowiednio ci. Zatem

xi=r⋅_{ci. Podstawiając te wartości do równania (24) dostaniemy:}

[

T c T c T c 2 T c c 2 T c c 2T cc

]

1 r 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 _{+ + + + + =} (25)

Uwzględniając (23), wzór (25) moŜna zapisać tak:

[ ]

T_ccc 1 r 3 2 1 2 ₌ czyli

[ ]

r 1 T_{ccc 2} 3 2 1 = (26)

To ostatnie równanie moŜna zapisać w bardziej zwięzłej postaci 1

x T

xi ik k= (27)

Nazywamy je kwadryką tensora Tik.

JeŜeli własność fizyczna ma stale wartość dodatnią, jak to ma miejsce np. dla momentu bezwładności, to kwadrykę tensora Tik stanowi elipsoida. Promień wodzący r wyprowadzony ze środka kwadryki do dowolnego punktu na powierzchni jest równy odwrotności pierwiastka kwadratowego własności reprezentowanej przez kwadrykę i mierzonej w kierunku promienia wodzącego r:

[ ]

T 1 r r r = (28) PRZYKŁAD 1. Współrzędne punktów (układ OXYZ) oraz ich masy:

Zakładam, Ŝe badanym układem będzie zbiór czterech mas punktowych o następujących współrzędnych przestrzennych podanych w układzie OXYZ (patrz rysunek 1) oraz o masach mi:

Punkt _{Xi Yi Zi mi}

P1 4 7 -1 8

P2 -3 2 4 4

P3 -7 -1 8 3

2. Wyznaczenie współrzędnych (xs,ys,zs) środka masy układu: ∑ ∑ ⋅ = ∑ ⋅ ∑ = ∑ ∑ ⋅ = i i i i i s i i i i i s i i i i i s m Z m z m Y m y m X m x

Dla układu punktów P1...P4 obliczone współrzędne środka masy wynoszą: xs=0.272727 ys=0.545454 zs=0.818181

3. Obliczenie współrzędnych punktów w układzie środka masy (układ Oxyz)

x=X-xs y=Y-ys z=Z-zs Punkt xi yi zi P1 3.727272 6.454545 -1.818181 P2 -3.272727 1.454545 3.181818 P3 -7.272727 -1.545454 7.181818 P4 0.727272 -7.545454 -2.818181

Kąty (w stopniach), jakie tworzą wektory wodzące tych punktów z osiami układu współrzędnych Oxyz wynoszą:

Punkt Ox Oy Oz

P1 60,9 32,7 103,7

P2 133,1 72,3 48,4

P3 134,7 98,6 46,0

P4 84,8 158,9 110,4

Obliczone one zostały z równania:

z y x n z n y n x z y x n r ) ( cos ₂ i 2 i 2 i kz i ky i kx i 2 i 2 i 2 i k i ik + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ = α r r

gdzie rr_ijest wektorem wodzącym wybranego punktu, a nr wersorem (wektorem jednostkowym) odpowiedniej osi układu współrzędnych. Np. wersor osi Oy to wektor (0, 1, 0).

4. Obliczenie składowych tensora momentu bezwładności Iij:

Obliczenia wykonujemy w oparciu o wzory (17). Otrzymano następujące wyniki:

Ixx=1024.727 Iyy=593.6363 Izz=1063.818 Ixy=-168.7273 Ixz=266.9091 Iyz=-40.18182

PoniewaŜ tensor zawiera elementy pozadiagonalne, przyjęty układ odniesienia Oxyz nie jest układem osi głównych tensora momentu bezwładności.

5. Obliczenie wartości własnych i wektorów własnych tensora momentu bezwładności.

Wartości własne obliczymy rozwiązując następujące równanie trzeciego stopnia względem I (równanie (18)): 1024 727 168 7273 266 9091 168 7273 593 6363 40 18182 266 9091 40 18182 1063 818 0 . . . . . . . . . − −− − −−−− − − − − −−−− −−−− − −− − −−−− = = = = I I I

Otrzymuje się następujące wartości liczbowe dla głównych momentów bezwładności:

I1=1340.41 I2=812.23 I3=529.544

Trzy wektory własne wr (osie główne), odpowiadające poszczególnym wartościom własnym i

0 z y x I 818 . 1063 18182 . 40 9091 . 266 18182 . 40 I 6363 . 593 7273 . 168 9091 . 266 7273 . 168 I 727 , 1024 i i i i i i =           ⋅           − − − − − − −

Otrzymano poniŜsze wartości liczbowe na składowe wektorów własnych:

          − =           − − =           − − = 145061 . 0 11561 . 1 45832 . 0 w 58979 . 0 287311 . 0 512682 . 0 w 687807 . 0 191535 . 0 683918 . 0 w1 2 3

Punkty P1...P4 tworzą następujące kąty (w stopniach) z osiami układu osi głównych Ow1w2w3:

Punkt Ow₁ Ow₂ Ow₃ P1 90.5 79.8 10.2 P2 86.0 174.8 93.3 P3 91.5 150.9 119.1 P4 90.0 51.4 141.4 Obliczone zostały one z równania

w w w z y x w z w y w x w w w z y x w r ) ( cos ₂ kz 2 ky 2 kx 2 i 2 i 2 i kz i ky i kx i 2 kz 2 ky 2 kx 2 i 2 i 2 i k i ik + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ + + ⋅ = δ r r

6. Kwadryka tensora momentu bezwładności:

Osie elipsoidy, będącej geometrycznym przedstawieniem tensora momentu bezwładności mają następujące długości (równanie (28)):

043456 , 0 I 1 3 e 035088 , 0 I 1 2 e 027314 , 0 I 1 1 e 3 2 1 = = = = = =

7. Obliczenie momentu bezwładności względem dowolnie wybranej osi.

Rozpatrzmy dowolną prostą, której wektor jednostkowy w układzie środka masy Oxyz ma następujące cosinusy kierunkowe:(0,45; 0,30; -0,84113). (Suma kwadratów musi być równa jeden). Ta prosta tworzy następujące kąty z osiami głównymi (w stopniach):

α=70.6 β=39,7 γ=56,9

Moment bezwładności względem tej osi wynosi (równanie (23)):

(

0,45

)

1340,41

(

0,30

)

812,23

(

0,84113

)

529,544 719,186