6.4. RÓWNANIE WYMIERNE
Równanie wymierne jest to równanie postaci
0
)
(
)
(
=
x
P
x
W
,
gdzie
W
(x
)
i
P
(x
)
są wielomianami
i
P
(x
)
nie jest wielomianem zerowym.
Równanie wymierne rozwiązujemy korzystając z twierdzenia:
0
)
(
0
)
(
)
(
=
⇔
=
x
W
x
P
x
W
i
P
(
x
)
≠
0
.
Przykład 6.4.1 RozwiąŜ równanie:
2
3
2
3
=
−
+
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
ZałoŜenie:3
−
x
≠
0
( )
3
1
:
/
3
≠
−
−
≠
−
x
x
{ }
3
\
:
x
R
D
∈
Określamy dziedzinę równania.
(
x
)
x
x
−
⋅
=
−
+
3
/
2
3
2
3
(
x
)
x
+
2
=
2
3
−
3
x
x
2
6
2
3
+
=
−
2
6
2
3
x
+
x
=
−
5
:
/
4
5
x
=
5
4
=
x
Doprowadzamy równanie do równania wielomianowego mnoŜąc obie strony równania przez
3
−
x
.Rozwiązujemy otrzymane równanie wielomianowe.
D
x
=
∈
5
4
Odp. Równanie ma jedno
rozwiązanie:
5
4
Sprawdzamy , czy otrzymany wynik naleŜy do dziedziny równania
Przykład 6.4.2 RozwiąŜ równanie:
3
6
3
3
−
=
−
+
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
ZałoŜenie:x
−
3
≠
0
x
≠
3
{ }
3
\
:
x
R
D
∈
Określamy dziedzinę równania.
(
3
)
/
3
6
3
3
−
⋅
−
=
−
+
x
x
x
x
6
3
=
+
x
3
6
−
=
x
3
=
x
Doprowadzamy równanie do równania wielomianowego mnoŜąc obie strony równania przez
x
−
3
.Rozwiązujemy otrzymane równanie wielomianowe.
D
x
=
3
∉
Odp. Równanie nie ma rozwiązania.
Sprawdzamy , czy otrzymany wynik naleŜy do dziedziny równania
Przykład 6.4.3 RozwiąŜ równanie:
4
3
10
5
2
2−
−
=
+
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
ZałoŜenia:5
x
+
10
≠
0
x
2−
4
≠
0
5
x
≠
−
10
/
:
5
a
=
1
,
b
=
0
,
c
=
−
4
x
≠
−
2
∆
=
0
2−
4
⋅
0
⋅
( )
−
4
=
16
2
2
4
1
2
16
0
1=
−
−
=
⋅
−
=
x
2
2
4
1
2
16
0
2⋅
=
=
+
=
x
{
2
,
2
}
\
:
x
∈
R
−
D
Określamy dziedzinę równania. Przy rozwiązywaniu załoŜenia
0
4
2−
≠
x
korzystamy ze wzorów:c
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
4
3
10
5
2
2−
−
=
+
x
x
( )
4
3
(
5
10
)
2
x
2−
=
−
x
+
30
15
8
2
x
2−
=
−
x
−
0
22
15
2
x
2+
x
+
=
22
,
15
,
2
=
=
=
b
c
a
49
176
225
22
2
4
15
2−
⋅
⋅
=
−
=
=
∆
2
1
5
4
7
15
2
2
49
15
1=
−
−
−
=
⋅
−
−
=
x
2
4
7
15
2
2
49
15
2=
−
+
−
=
⋅
+
−
=
x
Doprowadzamy równanie do równania wielomianowego.
PoniewaŜ dane równanie jest proporcję, to doprowadzamy je do postaci
wielomianowej mnoŜąc „ na krzyŜ” licznik i mianownik.
Rozwiązujemy otrzymane równanie wielomianowe, korzystając ze wzorów
c
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
D
x
=
−
∈
2
1
5
1D
x
2=
−
2
∉
Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie:
2
1
5
−
Sprawdzamy , czy otrzymane wyniki naleŜą do dziedziny równania
Przykład 6.4.4. RozwiąŜ równanie:
3
3
2
9
3
5
2−
=
−
−
+
−
x
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
ZałoŜenia:x
2−
9
≠
0
x
−
3
≠
0
x
+
3
≠
0
a
=
1
,
b
=
0
,
c
=
−
9
x
≠
3
x
≠
−
3
( )
9
36
0
4
0
2−
⋅
⋅
−
=
=
∆
3
2
6
1
2
36
0
1=
−
⋅
=
−
=
−
x
3
2
6
1
2
36
0
2=
+
⋅
=
=
x
{ }
3
,
3
\
:
x
∈
R
−
D
Określamy dziedzinę równania.
Przy rozwiązywaniu załoŜenia
0
9
2−
≠
x
korzystamy ze wzorów:c
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
3 / 3 / 23
3
2
9
3
5
− ⋅ + ⋅−
+
−
=
−
−
x xx
x
x
x
x
(
)
(
)
(
(
3
)
(
)
3
)
3
3
)
3
(
3
2
9
3
5
2−
+
−
−
+
−
+
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
) (
)
(
3
)(
3
)
3
3
2
9
3
5
2−
+
−
−
+
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
9
3
6
2
9
3
5
2 2 2−
+
−
+
=
−
−
x
x
x
x
x
x
Z prawej strony równania wykonujemy odejmowanie. Sprowadzamy wyraŜenia
3
2
−
x
i3
+
x
x
do wspólnego mianownika(
x
−
3
)(
x
+
3
)
9
/
9
3
6
2
9
3
5
2 2 2 2−
⋅
−
+
−
+
=
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
6
3
5
−
=
+
−
2+
0
3
6
2
3
5
x
−
−
x
−
+
x
2−
x
=
0
9
2−
=
x
3
−
=
x
x
=
3
Doprowadzamy równanie do równania wielomianowego mnoŜąc obie strony równania przezx
2−
9
.Rozwiązujemy otrzymane równanie wielomianowe.
D
x
=
−
3
∉
D
x
=
3
∉
Odp. Równanie nie ma rozwiązania.
Sprawdzamy , czy otrzymane wyniki naleŜą do dziedziny równania
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 6.4.1. RozwiąŜ równanie:
a) (3pkt.)
6
=
x
+
5
x
b) (3pkt.)
2
1
1
1
=
−
+
−
−
x
x
x
x
c) (3pkt.)
x
x
x
x
x
x
2
1
2
4
4
2
2 2 2+
=
−
−
+
−
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Określenie dziedziny równania
1
2 Doprowadzenie równania do równania wielomianowego.
