Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora

Analiza Matematyczna. Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 2 / 20

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Definicje pochodnych wy˙zszych rz ˛edów

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania

Definicja 1. 1. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie ró˙zniczkowalna

w otoczeniu punktu

a

. Je˙zeli

f

′

(x)

jest ró˙zniczkowaln ˛a

w punkcie

a

, to pochodna

f

′

′

_(a)

_{nazywa si ˛e drug ˛a pochodn ˛a}

funkcji

f

w punkcie

a

. Oznaczenie

f

′′

(a)

lub

f

(2)

(a)

. Funkcj ˛e

f

nazywamy dwa razy ró˙zniczkowaln ˛a w punkcie

a

.

2. Niech

n >

2

i funkcja

f

(x)

b ˛edzie

n

razy ró˙zniczkowalna

w otoczeniu punktu

a

, oraz pochodna

f

(n) b ˛edzie

ró˙zniczkowalna w punkcie

a

. Wówczas funkcja

f

jest

(n + 1)

razy ró˙zniczkowalnafunkcja ró˙zniczkowalna

n

razy w punkcie

a

oraz

f

(n+1)

(a) = f

(n)

′

(a)

.

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów sumy, ilorazu i iloczynu

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 4 / 20

Twierdzenie 2. Niech funkcje

f

(x)

oraz

g(x)

b ˛ed ˛a

n

razy

ró˙zniczkowalne w punkcie

a

. Wówczas

f ± g

te˙z b ˛edzie

n

razy

ró˙zniczkowaln ˛a funkcj ˛a oraz

f ± g

(n)

= f

(n)

± g

(n).

Dowód. Indukcja

Twierdzenie 3 (Leibniz). Niech funkcje

f

(x)

oraz

g(x)

b ˛ed ˛a

n

razy

ró˙zniczkowalne w punkcie

a

. Wówczas

f · g

te˙z b ˛edzie

n

razy

ró˙zniczkowaln ˛a funkcj ˛a oraz

f · g

(n)

=

n

P

k=0

C

_nk

f

(k)

· g

(n−k).

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów funkcji elementarnych

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania Twierdzenie 4. 1.

x

α

(n)

= α(α − 1) . . . (α − n + 1)x

α−n, 2.

x

n

(n)

= n!

, 3.

x

n

(n+1)

= 0

, 4.

a

x

(n)

= a

x

·

ln

n

a

, 5.

ln(1 + x)

(n)

= (−1)

n−1 (n−1)!_xn , 6.

sin x

(n)

= sin(x +

π₂

n)

, 7.

cos x

(n)

= cos(x +

π₂

n)

, 8.



ax+b cx+d



(n)

= (−1)

n−1

n!(ad − bc)(cx + d)

−(n+1)

_{· c}

n−1_. Dowód. Indukcja

Wzór Taylora

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 6 / 20

Twierdzenie 5 (Taylor-Lagrange). Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie

(n + 1)

razy ró˙zniczkowaln ˛a w otoczeniu punktu

a

. Wówczas

∀x

z tego otoczenia

∃ξ

pomi ˛edzy

a

a

x

, takie ˙ze

f

(x) = f (a)+

f

′

_(a)

1!

(x−a)+

f

′′

_(a)

2!

(x−a)

2

₊

f

(3)

(a)

3!

(x−a)

3

₊

+ · · · +

f

(n)

_(a)

n!

(x − a)

n

_{+ R}

n+1

(x),

(1) gdzie

R

_n+1

(x) = f

(n+1)

(ξ)

(x−a)_(n+1)!n+1.

Dowód twierdzenia Taylora-Lagrange’a

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania Dowód. • Ustalmy punkt

x

.

• Rozwa˙zmy funkcj ˛e

ψ

(t) = −f (x) + ϕ(x, t) +

_(x−a)(x−t)nn+1₊₁

R

n+1

(x)

, gdzie

◦

ϕ(x, t) =

f

(t) +

f′_1!(t)

(x − t) +

f′′_2!(t)

(x − t)

2

+ · · · +

f(n)_n!(t)

(x − t)

n

,

◦

R

_n+1

(x) = f (x) − f (a) −

f′_1!(a)

(x − a) −

f′′_2!(a)

(x −

a)

2

− · · · −

f(n)_n!(a)

(x − a)

n

• Funkcja

ψ(t)

spełnia warunki twierdzenia Rolle’a.

• Wi ˛ec istnieje punkt

ξ

pomi ˛edzy

a

a

x

, taki ˙ze

ψ

′

(ξ) = 0

.

Twierdzenie Taylora-Lagrange’a, cd

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 8 / 20 Dowód. cd. •

ψ

′

_{(ξ) = f}

′

_{(ξ) +}

f′′(ξ) 1!

(x − ξ) −

f′_(ξ) 1!

+

f3(ξ) 2!

(x − ξ)

2

−

f′′_(ξ) 1!

(x − ξ) + · · · +

f(n+1)(ξ) n!

(x − ξ)

n

−

f(n)(ξ) (n−1)!

(x − ξ)

n−1

−

(n + 1)

_(x−a)(x−ξ)nn₊₁

R

n+1

(x).

• Wynika st ˛ad, ˙ze

f(n)(ξ)

(n−1)!

(x − ξ)

n−1

= (n + 1)

(x−ξ)n

Twierdzenie Taylora-Peano

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania

Twierdzenie 6 (Taylor-Peano). Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie

(n − 1)

razy ró˙zniczkowaln ˛a w otoczeniu punktu

a

i ma pochodn ˛a rz ˛edu

n

w punkcie

a

. Wówczas

f

(x) =f (a) +

f

′

(a)

1!

(x − a) +

f

′′

_(a)

2!

(x − a)

2

₊

f

(3)

(a)

3!

(x − a)

3

₊

(2)

+ · · · +

f

(n)

_(a)

n!

(x − a)

n

_{+ o (x − a)}

n

_.

₍₃₎

Wzór Maclaurina funkcji elementarnych

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 10 / 20 Twierdzenie 8. 1.

e

x

= 1 +

_1!x

+

x_2!2

+ · · · +

x_n!n

+ o(x

n

)

, 2.

sin x = x −

x_3!3

+

x_5!5

+ · · · + (−1)

k x_(2k+1)!2k+1

+ o(x

2k+1

)

, 3.

cos x = 1 −

x_2!2

+

x_4!4

+ · · · + (−1)

k x_(2k)!2k

+ o(x

2k

)

, 4.

ln(1 + x) = x −

x₂2

+

x₃3

+ · · · + (−1)

n−1 x n n

+ o(x

n

₎

_, 5.

(1 + x)

α

=

1 +

_1!α

x

+

α(α−1)_2!

x

2

+ · · · +

α(α−1)...(α−n+1)_n!

x

2

+ o(x

n

)

.

Zastosowania drugiej pochodnej

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania

Twierdzenie 10 (Dostateczy warunek ekstremum). Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie ró˙zniczkowaln ˛a w otoczeniu punktu

a

i ma drug ˛a

pochodn ˛a w punkcie

a

. Wówczas, je˙zeli

f

′

(a) = 0

oraz

f

′

(a) > 0

(

f

′

_{(a) < 0}

_{), to funkcja}

_f

_(x)

_{ma w punkcie}

_A

_{lokalne minimum}

(maksimum).

Dowód.

f

(a + α) = f (a) + f

′

_{(a)α + f}

′′

_(a)α

2

_{+ o(α}

2

_{) =}

Funkcje wypukłe

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 12 / 20

Definicja 11. Funkcja

f

(x) : [a, b] → R

nazywa si ˛e wypukł ˛a na

odcinku

[a, b]

, je˙zeli

∀x, y ∈

[a, b], ∀α ∈ [0, 1]

f

(1 − α)x + αy
6 (1 − α)f (x) + αf (y)

f(x) f(y) x _{(1 − α)x + αy} y f _{(1 − α)x + αy}
(1 − α)f(x) + αf(y)

Funkcje wkl ˛esłe

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania

Definicja 12. Funkcja

f

(x) : [a, b] → R

nazywa si ˛e wkl ˛esł ˛a na

odcinku

[a, b]

, je˙zeli

∀x, y ∈

[a, b], ∀α ∈ [0, 1]

f

(1 − α)x + αy
> (1 − α)f (x) + αf (y)

f(x) f(y) x _{(1 − α)x + αy} y f _{(1 − α)x + αy}
(1 − α)f(x) + αf(y)

Dostateczny warunek wypukło ´sci

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 14 / 20

Twierdzenie 13. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie ci ˛agła na odcinku

[a, b]

,

dwa razy ró˙zniczkowaln ˛a na

(a, b)

i w ka˙zdym punkcie

x ∈

(a, b)

spełniona jest nierówno´s´c

f

′′

_{(x) > 0}

₍

_f

′′

_{(x) < 0}

_{). Wówczas}

funkcja

f

(x)

jest wypukła (wkl ˛esła) na

[a, b]

.

Dowód. Niech

t

= (1 − α)x + αy

. Wtedy

y − t

= (1 − α)(y − x)

,

x − t

= −α(y − x)

.

f

(y) = f (t) + f

′

(t)(1 − α)(y − x) +

1

2

f

′′

_(ξ

1

) (1 − α)(y − x)

2

f

(x) = f (t) − f

′

_{(t)α(y − x) +}

1

2

f

′′

_(ξ

2

) α(y − x)

2

(1−α)f (x) + αf (y) = f (t)+

+

1

2



(1 − α)f

′′

(ξ

2

) α(y − x)

2

+ αf

′′

(ξ

1

) (1 − α)(y − x)

2



Punkty przegi ˛ecia

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania

Definicja 14. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie ci ˛agła na odcinku

[a, b]

oraz ró˙zniczkowaln ˛a na

(a, b)

. Punkt

x ∈

(a, b)

nazywa si ˛e

punktem przegi ˛ecia, je˙zeli styczna w tym punkcie przechodzi

z jednej strony wykresu na drug ˛a.

x y

f(y) f(x) + f′_{(x)(y − x)}

•

f

(y) < f (x) + f

′

_{(x)(y − x)}

_dla

_{y > x}

Warunek konieczny punktu przegi ˛ecia

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 16 / 20

Twierdzenie 15. Niech funkcja

f

b ˛edzie ci ˛agła i ró˙zniczkowalna

w otoczeniu punktu

x

₀ oraz ma drug ˛a pochodn ˛a w

x

₀. Wówczas,

je˙zeli

x

₀ jest punktem przegi ˛ecia, to

f

′′

(x

₀

) = 0

.

Dowód.

•

F

(x) = f (x) − f (x

0

) + f

′

(x

0

)(x − x

0

)

zmienia znak w

x

0.

• Wi ˛ec nie mo˙ze mie´c ekstremum lokalnego w

x

₀.

•

F

′

_(x

0

) = f

′

(x

0

) − f

′

(x

0

) = 0

.

•

F

′′

_(x

0

) = f

′′

(x

0

)

. Gdyby

f

′′

(x

0

)

nie było by równe

0

,

F

(x)

by

Dostateczny warunek punktu przegi ˛ecia

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania

Twierdzenie 16. Niech funkcja

f

b ˛edzie dwa razy ró˙zniczkowalna

w otoczeniu punktu

x

₀ oraz to

f

′′ zmienia znak w

x

₀. Wówczas

x

₀

jest punktem przegi ˛ecia.

Dowód.

• Pochodna funkcji

F

(x) = f (x) − f (x

0

) + f

′

(x

0

)(x − x

0

)

ma ekstremum lokalne w

x

₀.

•

F

′

_(x

0

) = f

′

(x

0

) − f

′

(x

0

) = 0

.

• Wi ˛ec w s ˛asiedztwie

x

₀ pochodna jest tego samego znaku.

Dostateczny warunek punktu przegi ˛ecia — II

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 18 / 20

Twierdzenie 17. Niech funkcja

f

b ˛edzie trzy razy ró˙zniczkowalna

w otoczeniu punktu

x

₀ oraz to

f

′′

(x

₀

) = 0

i

f

(3)

(x

₀

) 6= 0

.

Wówczas

x

₀ jest punktem przegi ˛ecia.

Dowód.

•

f

′′

_(x

0

) = 0

oraz jest monotoniczna w otoczeniu

x

0.

Badanie przebiegu zmienno ´sci funkcji

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 1. Dziedzina funkcji

2. Okres, parzysto´s´c, nieparzysto´s´c

3. Punkty przeci ˛ecia osi

4. Asymptoty:

(a) pionowe

(b) poziome

(c) uko´sne

5. Ekstrema lokalne

6. Punkty przegi ˛ecia

7. ???????

Badanie przebiegu zmienno ´sci funkcji. Przykłady

•Pochodne wy˙zszych rz ˛edów. Wzór Taylora •Definicje •Wła´sciwo´sci •Wzór Taylora •Zastosowania 20 / 20 1.

f

(x) = x +

_x1 2.

f

(x) = x

2

−

_x1