Wykorzystanie metod analizy wrażliwości do badania układów mechanicznych opisywanych liniowymi i nieliniowymi równaniami Mathieu

1 STOSOWAN A 3/ 4, 20 (1982)

WYKORZYSTANIE METOD ANALIZY WRAŻ LIWOŚ CI DO BADANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH OPISYWANYCH LINIOWYMI

I NIELINIOWYMI RÓWNANIAMI MATHIEU

BO G U SŁ AW  S K I E R C Z Y Ń S KI Lublin

We wszystkich naukach przyrodniczych i w technice waż na jest idea modelowania. Sformuł owanie teorii (proponowanej koncepcji badanego zjawiska) moż na z cał ą  sł usz-noś cią nazwać „tworzeniem m odelu". Teoria wystę puje tu jako werbalny lub matematyczny model rzeczywistoś ci. D la naszych celów definiujemy model jako opis zasadniczych cech istnieją cego lub projektowanego ukł adu, dostarczają cy wiedzy o nim w formie uż ytecznej.

Podstawowym wymaganiem wzglę dem modelu jest t o bowiem, by wiedza o procesie realizowanym przez niego był a przedstawiona w formie uż ytecznej, ponieważ musi on dostarczyć wniosków do dalszej analizy. Jeż eli model jest zbyt zł oż ony jego uż yteczność staje się  wą tpliwa. Pocią ga to za sobą  konieczność odpowiedzenia n a szereg trudnych pytań takich jak n p.:

— Jak ocenić jakość modelu?

— Jak zawrzeć w nim cał ą  najistotniejszą  wiedzę ? — Jak potraktować nieliniowoś ci?

— Jak moż na rozważ any ukł ad przedstawić w sposób przybliż ony za pomocą  prostego modelu?

— Hp.

N a niektóre z tych pytań metody analizy wraż liwoś ci są  w stanie udzielić odpowiedzi. Literatura dotyczą ca metod analizy wraż liwoś ci nie podaje konkretnych m etod nadają -cych się  do wykorzystania w analizie ukł adów nieliniowych. P odane są  ogólne definicje wraż liwoś ci oraz ich zastosowanie do ukł adów liniowych. Zastosowanie tych m etod do ukł adów nieliniowych prowadzi do koniecznoś ci rozwią zywania równań liniowych o zmien-nych współ czynnikach, przy zał oż enia, że rozwią zanie równania róż niczkoweg o nielinio-wego jest znane.

'Istnieją  róż ne koncepcje i definicje poję cia wraż liwoś ci oraz jej miary. Jedn ym z warian-tów zagadnienia wraż liwoś ci jest zagadnienie wraż liwoś ci iloś ciowej rozwią zania n a zmiany parametrów, które poglą dowo moż na przedstawić w nastę pują cy sposób. [2]

N iech model pewnego zjawi ska fizycznego bę dzie opisywany równaniem róż niczkowym w ogólnym przypadku nieliniowym.

(1) $ = x- f(t,x,x,p)=0, x(t0) -  Xo,x(Jo) =  v0

Rozwią zanie równania (I ) uważ amy za znane. Zagadnienie które chcemy zbadać to zm iana wartoś ci rozwią zania równania gdy parametr p zmieni się o Ap.

Jeż eli zmiana param etru nie zależy od czasu to funkcję wraż liwoś ci moż na okreś lić nastę pują co:

(2)

( *, p) -  llm

C C *L £ )

 .  *L .

dla p dostatecznie mał ego zależ ność (2) moż na przedstawić w postaci: (3) x(t,p + Ap)~ x(t,p) ^  w(t,p)- Ap.

J a k widać z przedstawionej zależ noś ci (3) jeż eli wyznaczymy lub oszacujemy funkcję wraż liwoś ci w(t,p) to moż emy wyznaczyć lub oszacować zmianę funkcji x(t,p) wynikł ą ze zmiany param etru p, lub jeż el i mamy zmianę funkcji x(t,p) i wyznaczymy lub oszacu-jemy funkcję wraż liwoś ci to moż emy wyznaczyć zmianę parametru p.

R ówn an ie róż niczkowe n a funkcje wraż liwoś ci w(t,p) otrzymujemy róż niczkując równanie (1) wzglę dem parametru/ ?.

d([> dcl> d'x _ df dx df dx df _ •  . dp dx dp dx dp dx dp dp stąd n a podstawie definicji funkcji wraż liwoś ci (2) otrzymujemy: (5) w+ a(t, p) w + P(t,p)w =  y(t,p),

gdzie: ,

(6)

 «( ^) =   - f

  W . P ) = - - | ,

 yf'.p)- -

|-Jeż eli znamy rozwią zanie równania (1) to znamy również współ czynniki oc, §, y, i funkcja wraż liwoś ci jest rozwią zaniem równania (5) róż niczkowego o zmiennych współ czynnikach. F unkcje wraż liwoś ci wyż szych rzę dów moż na otrzymać róż niczkują c równanie (1) wzglę-dem p2

,pz

, ...,p".

Tak więc widać z przedstawionego, schematu czy też metody otrzymywania funkcji wraż liwoś ci dla równań nieliniowych, że zachodzi konieczność rozwią zania w pierwszym rzę dzie równ an ia róż niczkowego a nastę pnie równania liniowego o zmiennych współ -czynnikach.

D rugim wariantem wraż liwoś ci jest tzw. „X lub ^- wraż liwoś ć" — wraż liwoś ć rozwią-zania na zmiany struktury równań opisują cych model. D efinicja t a jest bardzo ogólna i m oż na w niej wyodrę bnić cztery gł ówne przypadki:

a. wraż liwość na zmiany rzę du modelu matematycznego, b. wraż liwość na zmianę iloś ci stopni swobody,

c. wraż liwość na zmianę modelu cią gł ego na dyskretny,

d. analizę wpł ywu wyrazów funkcyjnych, z których zbudowany jest model matema-tyczny.

Szczególnym przypadkiem wraż liwoś ci strukturalnej rozumianej jako analizę wpł ywu wyrazów funkcyjnych jest wraż liwość n a zmianę parametrów.

Weź my po d uwagę model opisywany ukł adem równań róż niczkowych w postaci: (7) x = Ax+ef(t,x,e),

gdzie:

x =   c o l fo , ...,x„],

A =  [flw] (i,j =  1, ...,ń )

e — mał y parametr

/ — funkcja nieliniowa

Równanie róż niczkowe n a funkcje wraż liwoś ć? dla param etru jest postaci: (8) w = Aw + e  - a / ( t ^> 8 ) -  +f(t, x, a), gd z ie : W m, COltW W ] W  =  f Przyjmijmy, że parametr e =  0. Wtedy równanie (8) przybiera postać: (9) iv = Aw+f(t,x, s) gdzie x jest rozwią zaniem równania: (10) x =  Ax.

Wprowadzone funkcje wt(t, e =  0)(i =  1, ..., n ) są  to funkcje wraż liwoś ci okreś lają ce

zmianę  rozwią zania równania (10) gdy w równaniu tym pojawią  się  funkcje nieliniowe

fi{t,Xi,e).

Zgodnie z definicją  (3) moż na n apisać:

(11) x- x =  w(t, s =  0)-  e,

stą d rozwią zanie równania róż niczkowego nieliniowego jest postaci: (12) x =  x+w(t, e =  0)-  B

Powyż ej przedstawioną  metodę  moż na wykorzystać do badan ia równań róż niczkowych liniowych o zmiennych współ czynnikach — do wyznaczania ich rozwią zań i obszarów statecznoś ci. W ostatnim czasie krą g zagadnień których rozwią zanie sprowadza się  d o badania równań róż niczkowych o zmiennych współ czynnikach a w szczególnoś ci do ba-dania równania M athieu szybko się  powię ksza. Spotykamy się  z nim nie tylko w fizyce i technice lecz także w biologii, biofizyce, medycynie itp.

W zwią zku z tym zachodzi konieczność podania efektywnej metody rozwią zywania rów-nania liniowego i nieliniowego M athieu. Wydaje się , że taką  metodą  jest m etoda przed-stawiona powyż ej.

Jako przykł ad rozważ my równanie M athieu w postaci: (13) z +  ( a- 2gco s2f) z =  0.

W zależ noś ci od parametrów a i q rozwią zanie równania M athieu m oże być okresowe lu b nieokresowe, stateczne lub niestateczne.

Przyjmijmy, że a jest okreś lone zależ noś cią:

(14) a =  a>2

+a1q+a2q 2

P odstawiają c (14) do równ an ia (13) otrzymujemy:

(15) z + (co2

 + a3q+a2q 2

 + • • • - 2qcos2t)z =   0 .

R ówn an ie róż n iczkowe n a funkcje wraż liwoś ci dla param etru q jest postaci: (16) w + (a>2

+a1q+a2q 2

 + ... ~- 2qcos2t)w — —aiz — 2a2qz— ... +2zcos2t,

gdzie: w = - z—

Bq

R ó wn an ie róż n iczkowe n a funkcje wraż liwoś ci drugiego rzę du dla param etru q przybiera p o st a ć :

(17) w2 + (u> 2

+a1q + a2q 2

+ ... — 2qcos2t)w2 =  —aiw — 2qa2w— ... - a1w~2a2

z-- . . . + 4c o s2( wr gdzie: w2 = vii P rzyjmujemy, że q — O i otrzym ujem y: (18) zo +  w 2 z0 =  0, (19) H'1 +  a) 2 w1 =  —a1z0 + 2z0cos2t, (20) M'2o +  w 2 w2 0 =  2(- a1w1- a2z0 + 2w1cos2ł ).

R ozwią zan ie równ an ia (18) jest postaci:

gdzie:

d , C2 — stał e okreś lone przez warun ki począ tkowe.

P odstawiają c (21) do (19) otrzym ujem y: (22)  i vj + c o2

^ =  — C2alccoscoł  — C1alssinwt + C2cos(m — 2)t+C2cos(a>

Z postaci równ an ia (22) wynika, że wyrazy sekularn e pojawiają  się  w rozwią zaniu gdy

co =   0 , 1 , 2

Przyjmijmy, że w = 1. Wtedy równ an ie (22) przybiera p o st ać :

(23) W i + W t =   - C2al cc o s *- C1a] i. s i n /  +  C 2c o sż + C2c o s3f+ C1sin 3«+ C '1sin *.

U suwają c wyrazy sekularn e otrzymujemy dwa nietrywialne alternatywne warun ki, I. alB m 1 i d =  0

(14)

K

 ' I I . au =  ~ 1 i C2 =  0

gdzie:

al s — ozn acza stał ą  a1 przy rozwią zaniu w postaci funkcji sinus. alc —•  ozn acza stał ą  at przy rozwią zan iu w postaci funkcji cosinus.

R ozwią zan ie równ an ia (23) p o usunię ciu przybiera post ać:

Podstawiają c (25) i (21) do równania (20) oraz usuwają c wyrazy wiekowe otrzymujemy także dwa warunki. A mianowicie: (26) . I. a2c= - ± i  C i - 0 (27) n . fl₂,=   — [ J  C 2 =  0 Rozwią zanie równania (20) jest postaci:

(28) CO Q3t+

Chcą c znaleźć dokł adniejsze rozwią zanie równania (13) oraz dokł adniejsze obszary statecznoś ci należy wyznaczyć funkcje wraż liwoś ci rzę du trzeciego, czwartego itp., co nie nastrę cza duż ych trudnoś ci jak widać z przedstawionego schematu.

Rozwią zanie równania (13) w ogólnej postaci okreś lone jest zależ noś cią: (29)  z ( 0 =   zo( O + W i O , 0 *=  0)- q+jw20(t,q = 0)- q

2 + ...

Ograniczają c się  do funkcji wraż liwoś ci drugiego rzę du oraz uwzglę dniają c wyznaczone warunki (24), (26) i (27) otrzymujemy dwa przypadki okresowego rozwią zania równ an ia Mathieu (13) dla co =  1. I, ( 3 0 ) z ( t ) = C t C 3 C 2 3 przy czym,

(3D a

=  l+ q- ±

*+ ...

(33)

, =   l -

- I

» +  ...

Jak widać z postaci rozwią zania równania M athieu i krzywych rozdzielają cych obszary statecznoś ci i niestatecznoś ci otrzymanych przy pomocy funkcji wraż liwoś ci na pojawianie się  wyrazów x funkcyjnych w równaniu liniowym o stał ych współ czynnikach są  one takie same jak uzyskane przy pomocy innych metod [1, 3]. Przyjmują c, że ca =  2,3 i postę pują c w sposób przedstawiony powyż ej otrzymujemy inne rozwią zania równania M athieu. M etoda ta wydaje się  być mniej skomplikowana w zastosowaniu w porówn an iu z metoda-mi klasycznymi.

W wielu zagadnieniach pojawiają  się  nieliniowe równania M athieu. W tym przypadku metoda przedstawiona powyż ej wyraź niej uwypukla swoje zalety. Wyznaczenie rozwią zania. i obszarów statecznoś ci jest dużo ł atwiejsze w porównaniu z innymi metodami.

Jako przykł ad rozważ my nieliniowe równanie Mathieu postaci: (34) ' r + ( a - 2 q c o s2 0 z +  ^ z3  =  0. Podstawiają c, (35) / *- ?&, (36) a = a>2 +alq + a2q 2 + • • • do równania (34) otrzymujemy: * (37) z + (co1 +a1q+a2q 2  + •  • • - 2qcos2t)z+qbz3  = 0.

R ówn an ie róż n iczkowe na funkcje wraż liwoś ci pierwszego rzę du dla param etru ą  jest po st aci: (38) ii'- +- ((o1 +alq+a2q 2 + ... - 2qcos2t)w + 3qbz2 w =  - a1z- 2a2qz+ 2cos2t •  z-- bz3 -  ...

R ówn an ie róż n iczkowe n a funkcje wraż liwoś ci rzę dti drugiego dla param etru q przybiera p o st a ć : (39) w2 + ((ti 2 +alq- \ - a2q 2 + ... — 2q cos 2t)w2 + 3qbz 2 w2 + 6qbzw 2  — - 2a1w- 2a2qw + + 4wco$2t~6bz2 w — 2a2z — 2a2qw— ...

P rzyjmujemy, że q =  0 i co = 1. Wtedy równ an ia (39), (38), (37) są  postaci:

(40)  zo+ zo =  0

(41) vvj +  Wi =  —a1z0_6 2o + 2z0c o s2f,

(42) w20 = w20 =  2(- alw1+2wiCOs2t—a2z0 — 3bzlw1).

R ozwią zan ie równ an ia (40) jest postaci:

(43) zo(t)= dsint+C2cost.

m

Podstawiają c (43) do równania (41) oraz usuwają c wyrazy sekularne otrzymujemy dwa warunki: I. (44) aic=l~ ~ C 2 b i Q =  0 II.

" (45)  a

=  - l- Ł cth i C

 =  0

R ozwią zan ie równ an ia (41) po usunię ciu wyrazów wiekowych jest postaci:

(46)

(t) =  ~Ucf+l- Ctb- ^- CiC

b)sm3t~~lc

 + ^- CiC

b- ~Clb)cos3ł

o \  4 4 /   S \ 4 4/

U suwają c wyrazy wiekowe w równaniu (42) po podstawieniu do niego (43) i (46) otrzy-mujemy warun ki:

I. (47) ' 11. (48) C2c = ® 2s = 1

, = 0 ,

~d b -

|

 Cf /;

i C

= 0.

Ograniczają c się  do funkcji wraż liwoś ci drugiego rzę du oraz uwzglę dniają c warun ki (48), (47), (45), (44) otrzymujemy dwa przypadki rozwią zania okresowego nieliniowego równ an ia M athieu (34),

I.

(49) z(t) =  C

cost- —C

qcos3t+ - - x- Cibqcos3t+ - ,- . C

q

-  ~C|g

cos3(+   -

~

+

(51) / z(0 =

Wyniki uzyskane przy pom ocy proponowanej m etody zgadzają  się  z wyn ikam i uzyska-nymi przy pom ocy innych m etod n p . : (4).

Efektywność propon owan ej m etody jest tym wię ksza im bardziej skom plikowan a jest postać funkcji nieliniowej wystę pują cej w rozważ anym równ an iu. M et o d a t a pozwala n a uniknię cie bardzo kł opotliwego podnoszenia szeregu potę gowego do potę gi w jakiej wystę puje nieliniowość w równ an iu, a przy bardziej skom plikowanych n ielin iowoś ciach do uniknię cia m n oż en ia szeregów potę gowych wcześ niej podnoszonych do okreś lon ych potę g.

Literatura cytowana >v tekś cie

1. E. G OŁOSKOKOW, A. F ILIPOPOW, N iestacjonamyje kolebania miechaniczeskich si.item „N aukowa Dum-ka " Kijów 1966.

2. R. G OTOWSKI, B. RADZISZEWSKI, A. OLAS, Statecznoś ć i wraż liwoś ć w ukł

adach mechanicznych. Ossoli-neum 1978.

3. W. JAKUBOWSKI, W. STARŻ IŃ SKU, L iniejnyje diffcrencjalnyje wawnienia s pieriodiczeskimi koeficienł ami

i ich priloż enija.Iz. „ N au ka" Moskwa 1972.

4. J. MITROPOLSKIJ, J. KOZUBOWSKAJA, O wlijanij nleliniejnosti na ż ony ustojcziwosti dlja urawnlenija Mathieu. C b. „Analiticzeskije mietody issliedowanija nieliniejnych kolebanii" Kijew 1980.

5. R . TOMOWICZ, M . VUKOBRATOWICZ, Obszczaja tieoria czuwstwitielnosti. Iz. „Sowietskoje R adio" Moskwa 1972.

P e 3 ro M e

n P H M E H E H H E M E TOflA AH AJIH 3A ^ yBC T BH T E J I BH O C T H  K M EXAH H ^IECKH M C H C T E M AM  OIIH CfclBAEM ŁIM  JI H H EH H Ł I M H  H  H E JlH H E flH M M H  yP ABH EH H H M H

M ATŁE

B paSoTC npeflCTaBJieno MeTOA o u p e^ ejieim a 3OH  ynTOHMHBOCTH   a n a JmnenH bix H  H&JIHHeftHbK ypaBHeHHH  M aTbe npH  H cnojit30BaH H H  MeTOflOB aiiajiH3a

H OCTH Ha BBefleHHe nejuiH eH H bix inieHOB D  HHdpepeHUHHJiŁHŁie

S u m m a r y

M E TH OD  O F  SEN SITIVITY AN ALYSIS AP P LIED  TO M ECH AN ICAL SYSTEMS G OVERN ED BY LI N E AR AN D  N ON LIN EAR M ATH IEU  EQU ATION S

The method of determination of the regions of parametric instability in linear and nonlinear Mathieu equations has been presented by applying the sensitivity analysis, the sensitivity function has been used to introduce non- linear terms into differential equations.