Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor

################################################################################

Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor

Tytuł oryginału : „Chaos and integrability in nonlinear dynamics” John Wiley & Sons 1989

********************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2010-02-02 Tłumaczenie całości ksiąŜki.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wprowadzenie do tłumaczenia

Nieregularną i nieprzewidywalną ewolucję wielu układów nieliniowych przyjęło się nazywać chaosem. Zachowania chaotyczne moŜemy zaobserwować w wielu układach dynamicznych, wymieńmy najbardziej znane : wahadła (oscylatory), układy elektroniczne, optyczne i chemiczne, modele populacyjne i ekonomiczne.

Dla układów chaotycznych cechą wyróŜniającą ( konstytutywną ) jest wraŜliwość na warunki początkowe, którą przejawiają równania określające dynamikę danego układu. Mała róŜnica w zadaniu wartości dla warunków

początkowych prowadzi w bardzo szybkim czasie ( np. wykładniczo ) do bardzo róŜnych zachowań badanego układu.

Dynamikę układu fizycznego ( lub np. chemicznego ) moŜemy opisać za pomocą układu równań :

dx1/ dt = F1 (x1, x2, ... , xn , t ) (a.1) dx2/ dt = F2 (x1, x2, ... , xn , t )

...

dxn/ dt = Fn (x1, x2, ... , xn , t )

( Układ takich rrz nazywamy układem dynamicznym )

Jeśli funkcje Fn (x1, x2, ... , xn ) zaleŜne są tylko od zmiennych xn to równania takie nazywamy „autonomicznymi”, gdy funkcje te zaleŜne są równieŜ od czasu t, to równania te nazywamy „nieautonomicznymi”.

JeŜeli funkcje zawierają człony nieliniowe np. są o postaci :

dx1/ dt = αx1 + βx2 + γx1x2 + ... + δxn (a.2)

dx2/ dt = αx1 + βx2 + γ sin(x2 ) + ... + δxn mówimy wtedy o równaniach nieliniowych.

Warunkiem pojawienia się zachowania chaotycznego jest n > 3 oraz nieliniowość równań. ( są to warunki konieczne ) Równania róŜniczkowe zawierające człony nieliniowe związane z małym parametrem µ były badane, przez Poincare’go W tym przypadku funkcja Fn dzieli się na dwie części :

dxn/ dt = Fn (xn ,t ) + µ Gn (xn , t ) (a.3)

Człony nieliniowe pojawiają się tylko w wyraŜeniu Gn (xn, t ). Przy warunku małej wartości parametru µ rozwiązanie powyŜszego równania moŜemy przedstawić w postaci szeregu :

x = x0(t) + µ x1(t) + µ2 x2(t) + .... (a.4)

Znalezienie analitycznego rozwiązania równania róŜniczkowego ( zwłaszcza nieliniowych ) lub układu takich równań ( jeśli jest moŜliwe ) daje nam bardzo duŜe korzyści ( i dlatego zawsze próbujemy tego dokonać ), znając takie rozwiązanie moŜemy podstawić do niego dowolne wartości liczbowe i zbadać moŜliwe spektrum rozwiązań.

Oczywistym jest, Ŝe rozwiązanie analityczne jest moŜliwe tylko w bardzo szczególnych przypadkach, nie istnieje ogólna metoda pozwalająca uzyskać dokładne rozwiązanie dowolnie wybranego równania róŜniczkowego. W przypadkach, kiedy nie znamy metody rozwiązania stosuje się metody aproksymacyjne, iteracyjne lub numeryczne.

Jedną z waŜniejszych metod rozwiązywania równań liniowych i nieliniowych jest metoda perturbacyjna. Stosując tą metodę rozwijamy poszukiwane wielkości ( funkcje ) w potęgi małego parametru mnoŜąc je przez odpowiednie współczynniki, będące funkcjami zmiennej niezaleŜnej a następnie wyznaczmy kolejno współczynniki rozwinięcia, rozwiązując zazwyczaj ciąg równań liniowych. Postępując w ten sposób moŜna napotkać powaŜne trudności w postaci tzw. wyrazów sekularnych ( wiekowych ) tj. wyrazów w rozwinięciu (a.4) które wzrastają do nieskończoności przy t → ∞ , przyczyniając się do rozbieŜności tego szeregu.

Nazwa „człony wiekowe” bierze się z mechaniki nieba, w której człony takie mają wpływ na ruch planet dopiero po długim okresie czasu np. po stuleciu. W tym kontekście warto zauwaŜyć, Ŝe wiele z metod dynamiki chaotycznej było po raz pierwszy zastosowane w zagadnieniach mechaniki nieba (waŜne są szczególnie prace Poincarego, dotyczące badania stabilności układu słonecznego.

„Głęboka paradoksalność między istnieniem układów całkowalnych, z jednej strony i ergodycznych z drugiej, była symptomem pewnego nie rozwiązanego fundamentalnego problemu mechaniki klasycznej. Konkretny wkład w jego

rozwiązanie wniósł Poincare : pokazał on, Ŝe w pobliŜu punktów stałych stabilnych ruch posiada nadzwyczaj złoŜoną strukturę. Był to pierwszy sygnał tego, Ŝe regularne siły mogą by przyczyna ruchu stochastycznego w nieliniowych układach drgających.” [ 11, str. 14 tłumaczenia rosyjskiego ]

Przykładem równania, w którym pojawiają się wyrazy sekularne moŜe być równanie róŜniczkowe o postaci :

d2x /dt2 + x + µx3 = 0 (a.5)

Jednym ze środków analizy, rozwiązań równań róŜniczkowych jest badanie topologii ich krzywych całkowych w przestrzeni stanu lub fazowej. Badanie takich krzywych pozwala uzyskać wiele informacji jakościowych dotyczących rozwiązania oraz pozwala szacunkowo, ilościowo ocenić pewne charakterystyczne wielkości występujące w jego rozwiązaniu.

Rozpatrzmy układ równań róŜniczkowych postaci :

dx/dt = a1x + a2y + F1(x , y) (a.5)

dy/dt = b1x + b2y + F2(x , y)

F1, G2 – wielomiany zawierające wyrazy stopnia wyŜszego niŜ pierwszy względem zmiennych x , y.

Dowolny punkt (x, y), w którym obie funkcje F1(x , y), F2(x , y) nie są równe równocześnie zeru nazywamy „punktem zwyczajnym” układu (a.5) ; punkt (x, y), dla którego spełniona jest równość F1(x , y) = F2(x , y) = 0 nazywamy

„punktem osobliwym”.

Linearyzacja tego układu równań polega na rozwaŜeniu układu postaci :

dx/dt = a1x + a2y (a.6)

dy/dt = b1x + b2y

z którego rugując t otrzymamy : dy/dx = ( b1x + b2y ) / ( a1x + a2y )

przyjmując: x = Aeλt ; y = Beλt i podstawiając te zaleŜności do (a.6) otrzymamy : ( a1- λ )A + a2B = 0 ; ( b2 - λ )B + b1A = 0

Rozwiązania nietrywialne na A , B będą istniały tylko w tym przypadku, gdy λ są pierwiastkami równania charakterystycznego o postaci :

| ( a1- λ ) a2 | = 0

| b1 ( a1- λ ) |

Rozwiązując powyŜsze równanie kwadratowe otrzymamy następujące pierwiastki : λ1,2 = ½ { a1 + b2 ± sqrt [ ( a1 - b2 )2 + 4a2 b1 ]

Poincare sklasyfikował typy punktów osobliwych zgodnie z charakterem krzywych całkowych w pobliŜu punktów osobliwych to jest, zgodnie z rodzajem pierwiastków charakterystycznych λ. Są to :

punkt węzłowy ( węzeł ). punkt siodłowy ( siodło ), ognisko, środek.

Rys 1a Typy punktów osobliwych na płaszczyźnie stanu : a) węzeł b) siodło c) ognisko d) środek

O tym czy punkt osobliwy jest stabilny czy niestabilny wnioskujemy na podstawie tego czy krzywa całkowa dąŜy do danej osobliwości wraz ze wzrostem czasu t.

Wszystkie te typy osobliwości omawiane są w prezentowanej ksiąŜce.

Oprócz tego moŜemy równieŜ badać osobliwości wyŜszych rzędów ( zobacz [ 5] str. 51 )

Krzywa całkowa zwykle kończy się w osobliwości stabilnej typu węzeł lub ognisko. Gdy osobliwość jest typu środka krzywe całkowe tworzą rodzinę krzywych koncentrycznych, zamkniętych ( Ŝadna z tych krzywych nie osiąga punktu środkowego ) w praktyce takie zachowanie charakterystyczne jest dla układów zachowawczych. W pewnych układach niezachowawczych moŜemy spotkać się z trajektoriami zamkniętymi zwanymi „cyklami granicznymi”, ku którym zwijają się sąsiednie trajektorie, spiralnie po obu stronach.

Rys. 2a Przykład cyklu granicznego.

Atraktory są formami geometrycznymi w przestrzeni stanu ( lub fazowej ), do których zbiegają się trajektorie fazowe układu dynamicznego i w którym ostatecznie pozostają, niezaleŜnie od warunków początkowych. Jednym z

najwaŜniejszych przykładów atraktora jest cykl graniczny. Dla dwuwymiarowej przestrzeni fazowej cykl graniczny jest jedynym - oprócz punktu stałego - moŜliwym atraktorem.

Cykl graniczny leŜy u sedna najprostszych procesów periodycznych w przyrodzie.

Ogólnie, stan układu mechanicznego lub po prostu punktu w przestrzeni fazowej określony jest przez 2n-wymiarowy wektor

R = R( q1, ... ,qn, p1, …, pn ) ≡ ( q(t) , p (t) ) Gdzie n- jest liczbą stopni swobody.

Operator T przeprowadzający układ z jednego stanu w chwili t = t0, do drugiego stanu w chwili t = t1:

( q(t0 ) , p (t0) ) = T^ ( q(t1) , p (t1) )

nazywamy „potokiem fazowym“. Zazwyczaj potok fazowy zadany jest za pomocą pewnego układu rrz : q• = Q( q, p, t) , p• = P(q, p, t)

Hodograf wektora R, w przestrzeni fazowej nazywamy „trajektorią“ , zbiór trajektorii danego układu mechanicznego odpowiadający pewnym warunkom początkowym nazywamy „portretem fazowym” danego układu mechanicznego.

Trajektorie fazowe dla danego układu mechanicznego są krzywymi nie przecinającymi się, zatem ( pomijając trajektorię, których zbiór jest miary zero ) moŜemy powiedzieć, Ŝe operator T^ jest operatorem odwzorowania wzajemnie

jednoznacznego przestrzeni fazowej na siebie. Ogólnie trajektorie moŜemy podzieli na : ograniczone i nieograniczone, periodyczne i quasi-periodyczne oraz punkty.

Jedną z najwaŜniejszych klas układów mechanicznych stanowią układy „hamiltonowskie” , są to układy zachowujące objętość w przestrzeni fazowej. Trajektorie takich układów opisywane są przez równania :

p• = - ∂H/∂q , q• = ∂H/∂p ; H = H(p, q, t) – funkcja Hamiltona ( hamiltonian) danego układu mechanicznego.

( mówimy równieŜ, Ŝe równania te definiują potok fazowy ( phase flow) ) Zatem :

div J ≡ ∂Q/∂q + ∂P/∂p = 0 - równanie nieściśliwości cieczy fazowej.

J = ( q• , p• ) – wektor prądu cieczy fazowej.

Przykład hamiltonianów :

H = (p2/2m) + V(q) – hamiltonian niezaleŜny od czasu, zatem energia E = H(p, q) = const.

H = ½ x•2 - ω02 cos(x) - hamiltonian wahadła nieliniowego

Dla wielowymiarowych układów hamiltonowskich charakterystyczne jest istnienie wielowymiarowych torusów na których opisane są trajektorie układu, mówimy o istnieniu inwariantnych torusów dla układów całkowalnych.

Układy całkowalne stanowią podstawową klasę układów hamiltonowskich. WaŜną klasę układów całkowalnych stanowią układy o zmiennych rozdzielonych. Nietrywialnym przykładem układu całkowalnego o zmiennych nierozdzielonych jest łańcuch Tody.

Pewną osobną klasę układów hamiltonowskich stanowią układy z czasem dyskretnym, których dyfeomorfizmy nazywa się kaskadami. ( układów takich nie omawia się w tłumaczonej ksiąŜce ).

WaŜnym pojęciem w mechanice hamiltonowskiej jest tzw. ansambl – jest to zbiór trajektorii fazowych ( będących rozwiązaniem pewnego układu dynamicznego ), które róŜnią się jedynie zadanymi warunkami początkowymi.

Istnieje cały szereg metod badania zachowań takiego zbioru ( ansambla ), które obrazują charakterystyczne cechy danego układu dynamicznego.

Układy hamiltonowskie w związku z faktem , Ŝe spełniają one twierdzenie Liouville’a nakładają na portret fazowy określone warunki – nie dopuszczają istnienia atraktorów i repelerów ( repeler jest „przeciwieństwem” atraktora )

Dokonanie ścisłej analizy nieliniowego układu hamiltonowskiego moŜliwe jest bardzo rzadko ( tj. dla niewielu

przypadków takich układów ), z tego punktu widzenia cenną jest kaŜda z matematycznych metod, która pozwala uzyskać przybliŜony lub jakościowy wynik.

Jedną z metod jest metoda perturbacyjna. ( zobacz dodatek D ) Inną metodą jest metoda (metody) uśredniania.

RozwaŜmy układ, którego ruch będzie charakteryzowany przez dwie, silnie róŜniące się skale czasu np. szybkie

oscylacje i ich powolny dryft. Wtedy moŜemy dokonać względem „szybkiego” czasu uśrednienia, otrzymując nowy opis tego układu uwzględniając tylko jego ewolucje średnią.

Rys 3a. Trajektoria AB jako uśrednienie względem szybkich oscylacji.

Średnią po czasie nazywamy wielkość : T

g- = lim (1/T) ∫ ^g( ϑ(t) ) dt T→ ∞ 0

g(ϑ) – pewna funkcja zmiennych występujących w danym uśrednianym zagadnieniu.

Średnią po fazie nazywamy wielkość : 2π

<< g >> = 1/ (2π )N ∫ ^g( ϑ1, ... ,ϑN) dϑ1... dϑN 0

Twierdzenie o uśrednianiu : jeŜeli funkcja g jest dostatecznie „porządna” i ruch odbywa się na nieosobliwym torusie to : g- = << g >> tj. średnia po czasie jest równa średniej po fazie.

To twierdzenie pozwala znajdować uśrednione równania ruchu.

Wybrane metody i pojęcia dynamiki nieliniowej.

1). Ruchy na torusie.

Jak juŜ wiadomo, ruch kaŜdego układu hamiltonowskiego moŜemy przedstawić jako odpowiedni ruch odbywający się na n-wymiarowym torusie i najwygodniej dla opisu takiego ruchu zastosować jest zmienne kąt-działanie.

„JeŜeli w układzie o n stopniach swobody w 2n wymiarowej przestrzeni fazowej wszystkie n zmienne działania są zachowane, ruch zachodzi na n-wymiarowej powierzchni, lub rozmaitości i opisywany jest przez n zmiennych kątowych Z topologicznego punktu widzenia ta powierzchnia jest n-wymiarowym torusem” [ 11 str. 178 ]

Generalnie ruch na torusie ( dwa wymiary ) moŜemy złoŜyć z dwóch ruchów periodycznych poniewaŜ istnieją na nim dwa kierunki. JeŜeli te dwa ruchy mają wymierny stosunek częstości to ruch będzie okresowy, jeŜeli stosunek częstości jest niewymierny to ruch będzie „prawie powtarzalny” quasi-periodyczny, quasi-okresowy.

( ang. conditionally periodic )

Rys 4a Ruchy na torusie – ruch okresowy oraz ruch quasiokresowy, gęsto zapełniający torus.

( układ dwu wymiarowy )

Dla wielu układów ( całkowalnych ) torus jest inwariantem potoku, mówimy wówczas o istnieniu „inwariantnych torusów”

Torus ma jeszcze jedną „uŜyteczną” topologiczną własność – jest mianowicie topologicznie równowaŜny kwadratowi o sklejonych przeciwległych bokach.

RozwaŜmy rrz postaci :

dx/dt = F(x, t) gdzie F ( x + 2πn, t + 2πm) = F(x, t) tj. Prawa strona tego równania jest funkcją okresową względem obu zmiennych o okresie 2π. Z tej okresowości wynika, Ŝe jeśli funkcja φ(t) spełnia dane równanie to dla kaŜdego n, m całkowitego funkcja :

φ( t + 2πm) + 2πn

teŜ go spełnia. Geometrycznie odpowiada to sytuacji, Ŝe obraz wszystkich rozwiązań danego rrz powtarza się okresowo względem obu zmiennych, a prostokątem okresowości jest zbiór :

D = { t, x : t ∈ < 0, 2π) , x ∈ < 0 , 2π) }

Zmienne t, x moŜemy zatem traktować jako zmienne cykliczne ( mod 2π) utoŜsamiając z sobą punkty

( t + 2πm, x + 2πn) dla n, m całkowitych. MoŜna to interpretować geometrycznie jako sklejenie przeciwległych boków prostokąta D, w wyniku czego otrzymamy rozwiązania na powierzchni torusa..

Rys. 5a Odwzorowanie prostokąta na powierzchnie torusa.

Na powierzchni tego torusa rozwiązania omawianego rrz stanowią rodzinę linii ( nie przecinających się ) oplatających torus. W zaleŜności od stosunku n/m linie mogą oplatać torus w sposób gęsty ( dla niewymiernego stosunku ) lub okresowy ( dla wymiernego stosunku ) [ 15 str. 26 ]

2). Przekrój Poincarego.

RozwaŜmy autonomiczny układ o dwóch stopniach swobody. (przestrzeń fazowa takiego układu jest czterowymiarowa) Wybierzmy w przestrzeni fazowej pewną powierzchnię (dwuwymiarową) ΣR ( nie styczną do trajektorii fazowych – jej konkretny wybór opisany jest np. [11 str. 31 ] ).

RozwaŜamy ( zaznaczamy) teraz kolejne punkty będące wynikiem przebijania trajektorii fazowych z wybrana powierzchnią ΣR w pewnej chwili ti.

Rys. 6a Przekrój Poincarego.

MoŜemy powiedzieć, Ŝe zamiast obserwować trajektorię w sposób ciągły w czasie, obserwujemy ciąg punktów xn. W efekcie zastępujemy ciągły przepływ fazowy, opisywany przez rrz, przez odwzorowanie dyskretne, wiąŜące współrzędne (x, y) – punktów xn , na płaszczyźnie ΣR i odpowiednie dla tego odwzorowania równanie róŜnicowe.

Przekrój Poincarego jest bardzo uŜyteczną techniką zachowującą wszystkie jakościowe cechy potoku ( rozbieŜność, periodyczność zachowanie objętości itp. ), ponadto zmniejsza ono o jeden wymiar przestrzeni fazowej i prowadzi do łatwiejszych w numerycznej implementacji procedur rozwiązywania równań numerycznych.

Metoda przekroju Poincarego związana jest z odwzorowaniem Poincarego zwanym równieŜ „przekształceniem

stroboskopowym” – moŜna powiedzieć, Ŝe przekrój Poincarego jest graficzną reprezentacją odwzorowania Poincarego.

3) Układy hamiltonowskie całkowalne.

Mówimy, Ŝe układ hamiltonowski o N stopniach swobody jest „całkowalny” ( lub jest układem o zmiennych całkowicie rozdzielonych ) jeŜeli odpowiadające mu równanie Hamiltona-Jakobiego moŜemy rozdzielić na N niezaleŜnych równań ( ogólnie rrc ). Stałe rozdzielające αi , nazywamy „globalnymi całkami ruchu”.

Zatem – układ o N stopniach swobody jest całkowalny wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje N niezaleŜnych całek αi , i =1,2, .., N Całki te oczywiście powinny znajdować się w inwolucji tj. ich nawiasy Poissona powinny równać się zeru : [ αi , αj ] = 0

Dla układów o jednym stopniu swobody i hamiltonianie H, niezaleŜnym od czasu, wielkość : H(p, q) = E

Jest całką ruchu, dlatego układy takie są całkowalne. Dla takich układów otrzymujemy : p = p(q, E) tj. Pęd jest funkcją współrzędnej uogólnionej i energii całkowitej.

Inna równowaŜna definicja :

„Hamiltonian H0(p, q ) nosi nazwę całkowalnego, jeśli moŜna znaleźć przekształcenie kanoniczne S( q, J ) do nowych zmiennych θθθθ, J :

q, p = ∂S(q, J) /∂q ⇔ J, θθθθ = ∂S(q, J )/∂J

takich, Ŝe w tych nowych współrzędnych hamiltonian zaleŜy tylko od pędów J, czyli S(q, J) jest rozwiązaniem równania Hamiltona-Jakobiego :

H’0 ( q , ∂ S(q, J)/ ∂q ) = H0( J )

a równania ruchu we współrzędnych działanie-kąt J , θθθθ : J• = - ∂H0/∂θθθθ = 0

θθθθ• = ∂H0/∂J = ω(J)

moŜna łatwo scałkować” [ 3 str. 191 ]

Całkowanie poniŜszego równania ( w kwadraturach) prowadzi do określenia trajektorii układu dt = dq / ( ∂H/∂p )

Klasycznym przykładem jednowymiarowym i całkowalnym jest wahadło ( płaskie) [ 11 str. 38 ]

Dla układu wielowymiarowego mamy równanie postaci :

dt = dq1 / ( ∂H/∂p1 ) = dq2 / ( ∂H/∂p2 ) = ... = dqN / ( ∂H/∂pN )

Tylko w przypadku kiedy pochodna dq1 / ( ∂H/∂p1 ) = f(q1) tj. zaleŜy tylko od q1 równanie to jest całkowalne w kwadraturach. ( analogicznie dla pozostałych członów ). Jednak w przypadku kiedy istnieją dodatkowe warunki pozwalające uzyskać określone całki ruchu np. układ posiada pewną symetrię, to liczbę rozwiązywanych równań moŜna obniŜyć o jeden dla kaŜdej znanej całki ( całki ruchu ). Klasycznymi przykładami układów w których znamy pewne dodatkowe całki są np. ruch w polu siły centralnej lub łańcuch Tody.

Rys. 7a Trójcząstkowy łańcuch Tody.

Trójcząstkowy łańcuch Tody ma hamiltonian postaci :

H = ½ ( p12 + p22 + p32 ) + exp [ - ( φ1+ φ3 ) ] + exp [ - ( φ2 + φ1 ) ] + exp [ - ( φ3 - φ2 ) ] – 3

Składa się on z trzech cząstek poruszających się po okręgu, między cząstkami działają siły odpychania o zaleŜności wykładniczej.

Rys. 8a Przekroje Poincarego dla hamiltonianu Tody przy róŜnych energiach E.

Hamiltonian Tody jest przykładem układu całkowalnego przykładem układu niecałkowalnego jest hamiltonian Henona-Heilesa. Powstaje zasadnicze pytanie : czy istnieją ogólne metody pozwalające ocenić z góry czy zadany

hamiltonian jest całkowalny ? Odpowiedź na to pytanie jest negatywna. Postawmy jednak nieco inaczej to pytanie : czy istnieją metody pozwalające konstruować potencjały prowadzące do hamiltonianów całkowalnych ?. Na tak postawione pytanie istnieje odpowiedź pozytywna jednak metoda tak obejmuje tylko ograniczony krąg zagadnień. [ 11 str. 54 ] ( Zagadnieniem tym zajmował się po raz pierwszy Whittaker, więcej informacji na ten temat moŜna znaleźć w jego klasycznej juŜ ksiąŜce : E. T. Whittaker „Dynamika analityczna” PWN 1959 )

Osobną klasą układów są tzw. układy bliskie całkowalnym.

4). Przesunięcie Bernoulliego.

JeŜeli mamy binarna reprezentacje dowolnego punktu x, to działanie polegające na usunięciu pierwszej cyfry i przesunięciu pozostałego ciągu o jedno miejsce w lewo nazywamy „przesunięciem Bernoulliego”.

Działanie to jest szczególnie wraŜliwe na warunki początkowe, w tym sensie, Ŝe jeŜeli mamy dwa punkty x, x’ róŜniące się cyframi ich rozwinięcia binarnego powyŜej n-tego miejsca to róŜnica ta jest powiększana przez kaŜdą iteracje tego odwzorowania. MoŜna pokazać, Ŝe ciąg iteracji Bernoulliego jest ciągiem losowym ( podobnie jak ciąg rzutów monetą )

5) Odwzorowanie obrotu ( odwzorowanie okręgu )

Jest to odwzorowanie postaci : Jn+1 = Jn

θn+1 = θn + 2πα (Jn+1 ) J, θ - zmienne działanie-kąt

Odwzorowanie to moŜemy interpretować jako odwzorowanie okręgu na siebie [ 3 str. 97 ; 11 str. 179 ]

Literatura polecana

1) „Chaos w układach dynamicznych” Edward Ott ; WNT 1997

2) „Wstęp do mechaniki klasycznej” Krzysztof Stefański WN-PWN 1999 3) „Chaos deterministyczny-wprowadzenie” H. G. Schuster PWN 1995

4) „Wstęp do dynamiki układów chaotycznych” Gregory L. Baker, Jerry P. Gollub WN-PWN 1998 5) „Drgania nieliniowe w układach fizycznych” Chihiro Hayashi WNT 1968

6) „Fraktale i chaos” Jacek Kudrewicz WNT 1996 7) „The Hopf bifurcation and its applications” J. E. Marsden, M. McCracken tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1980

8) „Teoria katastrof w chemii” Andrzej Okniński PWN 1990 9) “Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics” George M. Zaslavsky Oxford 2006

10) “Dynamika. Badania numeryczne” Helena E. Nusse, James A. Yorke WN-PWN 1998 11) „Regular and stochastic Motion” A. J. Lichtenberg, M. A. Lieberman

tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1984 12) „Czy Bóg gra w kości ? – nowa matematyka chaosu” I. Stewart WN-PWN 1996

13) „Chaos. A program collection for the PC” H. J. Korsch, H. J. Jodl Springer 1995 14) “Nieliniowe obwody elektryczne” J. Kudrewicz WNT 1996

15) „Dynamika pętli fazowej” J. Kudrewicz WNT 1991 16) „Fractals” Jens Feder

tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1991

17) „Mechanika klasyczna tom 2” John R. Taylor WN-PWN 2006 18) „Świat harmonii i chaosu” Michał Tempczyk PIW 1995

19) „Z chaosu ku porządkowi” Ilya Prigogine, Isabelle Stengers PIW 1990

*********************************************************************************

Wstęp

Prezentowana monografia jest jedną z klasycznych prac przedstawiających zagadnienie chaosu.

Autor prowadzi czytelnika od tradycyjnych wykładów równań róŜniczkowych stosowanych mechanice klasycznej do szybko rozwijającej się gałęzi fizyki dynamiki nieliniowej i chaosu, przedstawiając przy tym „stare” i „nowe” pojęcia z jednolitego punktu widzenia. W ksiąŜce w sposób zadowalający połączono, jednocześnie problemy dynamiki nieliniowej i chaosu oraz całkowalność układów dynamicznych. DuŜo uwagi autor poświęca zagadnieniu chaosu w układach hamiltonowskich, pokazując związek między chaosem klasycznym i odpowiadającym mu kwantowomechanicznym zachowaniem układów, omawia równieŜ całkowalne równania charakteryzujące się rozwiązaniami solitonowymi.

Prezentowany materiał wyłoŜono z wykorzystaniem współczesnych metod geometrycznych i analitycznych.

KsiąŜka przeznaczona jest dla studentów specjalności matematycznych, fizycznych oraz inŜynierskich oraz dla wszystkich zainteresowanych problemami chaosu w układach dynamicznych.

Słowo wstępne autora.

Cel, tej wprowadzającej ksiąŜki polega na tym aby umoŜliwić przejście od tradycyjnych wykładów równań

róŜniczkowych i mechaniki klasycznej do szybko rozwijających się dziedzin dynamiki nieliniowej i chaosu i przedstawić

„stare” i „nowe” koncepcje w jednym, szerokim kontekście.

Takie podejście motywowane jest tym, Ŝe wielu studentów specjalizacji fizycznych i inŜynierskich ( o odpowiednim przygotowaniu, dotyczącym zagadnień równań róŜniczkowych i mechaniki klasycznej ) pragnie oswoić nowe, interesujące wyniki, związane z chaosem w układach dynamicznych i zazwyczaj są oni skłonni uwaŜać, Ŝe ten „nowy”

obszar nauki w sposób istotny róŜni się od „starych” znanych juŜ wykładów.

Zakładam, Ŝe pełne poznanie „nowych” idei moŜe być zrozumiałe, jeśli rozpatrywać je jako naturalne rozwinięcie idei

„starych”. Jeden ze sposobów podkreślających takie podejście polega na wykorzystaniu równań ruchu Hamiltona.

Te fundamentalne równania mechaniki klasycznej stanowią naturalną podstawę dla omówienia dynamiki

( w przestrzeni fazowej ) układu równań róŜniczkowych, które mogą przejawiać zarówno regularne jak i chaotyczne zachowanie. DuŜą uwagę poświęcono koncepcji całkowalności, poniewaŜ jej prawidłowe zrozumienie istotnie pogłębia znajomość dynamiki układów niecałkowalnych oraz znaczenie fundamentalnego twierdzenia KAM. Koncepcja ta leŜy równieŜ u podstaw wykładu całkowalnych równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych i dynamiki solitonów omówionych w końcowych rozdziałach tej ksiąŜki.

Pierwsze cztery jej rozdziały tj. „Dynamika równań róŜniczkowych” , „Dynamika układów hamiltonowskich” ,

„Klasyczna teoria zaburzeń” , „Chaos w układach hamiltonowskichi i odwzorowania zachowujące powierzchnię”

stanowią jądro ksiąŜki ; poziom wykładu dostępny jest dla przygotowanych studentów wyŜszych lat oraz doktorantów , zakładam znajomość jedynie materiału nieznacznie wychodzącego poza ramy standardowego wykładu równań

róŜniczkowych i mechaniki klasycznej. Oczywiście znaczną część materiału stanowiącego zawartość wymienionych rozdziałów, moŜna znaleźć w innych ksiąŜkach jednak cel ( oraz nadzieja jego wypełnienia ) polega na tym, aby wyłoŜyć „stare” i „nowe” pojęcia z jednego punktu widzenia. Przy tym dynamika hamiltonowska wyłoŜona w drugim rozdziale, chociaŜ jest „tradycyjna” skłania się jednak ku określonemu „geometrycznemu” sposobowi wykładu.

Dlatego teŜ do rozdziału tego dołączono zastosowanie pt. „geometryczne reprezentacje w mechanice klasycznej”.

Związane jest ono z tekstem podstawowym za pośrednictwem obecnych w nim szeregu uwag i komentarzy.

Pozwoli to studentom w miarę bezboleśnie przejść ( jeśli tego oczywiście chcą ) od „tradycyjnego” do

„geometrycznego” - formalizmu mechaniki.

Główną uwagę, wielu niedawno wydanych pięknych ksiąŜek omawiających zagadnienie chaosu i dynamiki nieliniowej skupiono na układach dynamicznych dysypatywnych. Zgodnie z tym co powiedziano powyŜej wykład nasz poświęcony jest głownie chaosowi w układach hamiltonowskich. Tym niemniej dla pełności ksiąŜki włączono do niej jeden rozdział ( rozdział 5 ) poświęcony dynamice dysypatywnej. W miarę moŜliwości podkreślono w nim związek z dynamicznymi koncepcjami poprzednich rozdziałów jak równieŜ z realnymi zagadnieniami hydrodynamiki.

Ostatnie trzy rozdziały przedstawiają próbę pokazania szerokiego i róŜnorodnego spektrum problemów dynamiki nieliniowej. Poziom wykładu w porównaniu z poprzednimi rozdziałami jest troszkę wyŜszy ; zakładam elementarną znajomość mechaniki kwantowej ( rozdziały 6, 7 ) oraz teorii funkcji zmiennej zespolonej ( rozdział 8 ).

Rozdział 6 jest wprowadzeniem do współczesnego problemu dotyczącego moŜliwego związku wzajemnego między chaosem klasycznym i odpowiadającym mu kwantowomechanicznym zachowaniem układów w „quasiklasycznym”

obszarze. Rozdział 7 poświęcony jest dynamice równań róŜniczkowych nieliniowych o pochodnych cząstkowych, w tym równaniom całkowalnym posiadającym rozwiązania solitonowe. Na pierwszy rzut oka moŜe wydawać się, Ŝe badanie chaosu i solitonów wzajemnie się wyklucza, poniewaŜ w pierwszym przypadku chodzi o własności niecałkowalności podczas gdy w drugich o własności całkowalności. Wydaje mi się jednak waŜnym, omówienie razem tych koncepcji.

Istotne zrozumienie realnych fizycznych zagadnień, związanych z czaso-przestrzennym chaosem ( takich jak turbulencje hydrodynamiczne ) moŜe nastąpić tylko poprzez badanie chaosu i całkowalności zarówno dla układów równań

róŜniczkowych zwyczajnych jak i równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych.

Ostatni rozdział „Analityczna struktura układów dynamicznych” wprowadza czytelnika do kręgu zagadnień innego współczesnego obszaru badań, związanego z próbami znalezienia ogólnych własności równań róŜniczkowych

zwyczajnych oraz równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych , bez względu na to czy są one całkowalne lub nie na drodze analizy osobliwości ich rozwiązań w dziedzinie zespolonej.

KsiąŜka moŜe by wykorzystana dla potrzeb dwu semestralnego wykładu w którym materiał o charakterze ogólnym pierwszych czterech lub pięciu rozdziałów wykładany jest w pierwszym semestrze ; drugi semestr poświęcony jest tematom specjalnym, które wyłoŜone są w ostatnich trzech rozdziałach. Przy tym naleŜy uwzględnić, Ŝe ksiąŜka w swoim zamyśle w znacznym stopniu nastawiona jest na przerobienie jej całej treści. Rozdziały i podrozdziały oznaczone gwiazdką zawierają materiał bardziej złoŜony lub techniczne detale i przy pierwszym czytaniu mogą być opuszczone, bez naruszenia spójności wykładu.

NaleŜy podkreślić, Ŝe ksiąŜka nie wyczerpuje, nawet ze współczesnego punktu widzenia tematu chaosu. W związku z tym starałem się rozpatrywać tylko dobrze opracowane fizyczne modele i odpowiadające im odsyłacze. Liczba

publikacji wzrosła nadzwyczajnie w ostatnich latach i nie starałem się nawet zestawić pełnej bibliografii ( zagadnienie to jest praktycznie nie realizowalne ). Dlatego proszę o wybaczenie, tych wielu autorów, których prac nie wspomniałem.

Dziękuje moim aspirantom ( tu autor wymienia ich nazwiska ) za ich istotną pomoc w przygotowaniu rękopisu.

śaden rozdział nie byłby zakończony bez ich skrupulatnej analizy i konstruktywnej krytyki.

Jeśli okaŜe się, Ŝe w oczach studenckiego audytorium niniejsza ksiąŜka posiada pozytywne wartości to niemała zasługa jest związana z ich staraniem.

Na zakończenie, chcę podziękować W. G. Luisowi za pomoc w przygotowaniu rysunków i Luizie Winter za heroiczny wysiłek przepisania rękopisu.

M. Tabor New York 1988

Rozdział I

Dynamika równań róŜniczkowych.

1.1 Całkowanie równań liniowych drugiego rzędu.

Całkowanie nawet prostych równań róŜniczkowych naleŜy rozpatrywać jako coś istotnie róŜnego od prostego

technicznego ćwiczenia matematycznego. MoŜe ono – zwłaszcza w przypadku równań, opisujących układy dynamiczne – rzucać nowe światło na głębokie geometryczne własności tych układów.

Dobrze znane liniowe równanie róŜniczkowe zwyczajne drugiego rzędu :

x•• + ω2 x = 0 (1.1.1) ( kropka w całym tekście oznacza róŜniczkowanie względem czasu – d/dt )

opisuje ruch cząstki pod działaniem siły liniowej tj. małe drgania. Przyjęto tutaj standardowe oznaczenia : ω = sqrt( k/m) k – stała charakteryzująca działającą siłę , m – masa cząstki. Dla takiego prostego równania rozwiązanie

„automatycznie” znajdujemy za pomocą podstawienia : x(t) = eαt :

x(t) = a sin( ωt + δ ) (1.1.2)

Dwie stałe całkowania – amplituda a i przesunięcie fazy δ – moŜna znaleźć z warunków początkowych x(0) i x•(t).

a = (1/ω) sqrt [ x•2(0) + ω2 x2 (0) ] ; δ = arctg [ x•(0)/ ωx(0) ] (1.1.3) ( Pewne wiadomości dotyczące podstaw teorii równań róŜniczkowych zwyczajnych moŜna znaleźć w dodatku A ( autorstwo dodatków własne ) - przypis własny )

1.1.a Całkowanie w kwadraturach.

Powróćmy do równania (1.1.1) i rozwiąŜmy je innym sposobem, który na pierwszy rzut oka moŜe wydawać się bardziej złoŜony. W pierwszym kroku wygodnie będzie – chociaŜ nie ma tutaj specjalnej konieczności – przedstawić (1.1.1) w postaci pary powiązanych wzajemnie równań pierwszego rzędu :

x• = y (1.1.4a) y• = - ω2 x (1.1.4b) Takie przedstawienie, jak się wkrótce przekonamy, jest nadzwyczaj dogodne, zwłaszcza dla układów hamiltonowskich ( rozpatrywanych w rozdziale 2 ), poniewaŜ pozwala ono otrzymać szybko „geometryczny” obraz ruchu. MnoŜąc obie strony (1.1.4a) przez ω2 x, oraz obie strony (1.1.4b) przez y a następnie dodając oba równania dochodzimy do następującej toŜsamości :

yy• + ω2 x x• = 0 (1.1.5) Lewa strona przedstawia pochodną po czasie d/dt ( ½ y2 + ½ ω2 x2 ), z czego w sposób oczywisty wynika , Ŝe

wyraŜenie w nawiasie jest wielkością stałą :

½ ( y2 + ω2 x2 ) = I1 (1.1.6) Stałą ( w czasie ) funkcję I1 nazywamy zwykle „całką ruchu” lub „całką pierwszą”. PoniewaŜ y = x• , I1 moŜna

utoŜsamić z energią mechaniczną układu. Wielkość ta moŜe być wykorzystana dla przejścia od układu dwóch równań (1.1.4) do jednego równania. WyraŜając y w sposób jawny przez x i I1 z (1.1.6) , y = sqrt [ 2 ( I1 – ½ ω2 x2 ) ] przekształcając (1.1.4a) do postaci :

dx/dt = sqrt [ 2 ( I1 – ½ ω2 x2 ) ] (1.1.7)

Równanie to moŜemy przedstawić w postaci całek o zmiennych rozdzielonych lub w kwadraturach :

∫dt = ∫dx / sqrt [ 2 ( I1 – ½ ω2 x2 ) ] (1.1.8)

Całkując obie strony (1.1.7) jak się spodziewamy, otrzymujemy druga stałą całkowania ( która oznaczymy I1 ), co pozwala napisać :

t + I2 = ∫dx / sqrt [ 2 ( I1 – ½ ω2 x2 ) ] (1.1.9)

Łatwo zauwaŜyć, Ŝe całkowanie prawej części prowadzi do funkcji arcus :

t + I2 = (1/ω) arcsin [ xω / sqrt ( 2I1 ) ] (1.1.10) Na danym etapie t przedstawiamy jako ( wieloznaczną ) funkcję x, jednak proste przekształcenie prowadzi do w tym przypadku do wyniku :

x(t) = [ sqrt(2I1 )/ ω ] sin (ωt + I2 ω) (1.1.11)

który jest równowaŜny otrzymanemu wcześniej wzorowi (1.1.2). ZauwaŜmy, Ŝe nasze wywody zawierają cztery istotne etapy :

1) Identyfikacja całki pierwszej.

2) Wykorzystanie całki I1 dla obniŜenia stopnia równania róŜniczkowego o jeden.

3) „Całkowanie” w jawnej postaci tj. w kwadraturach 4) Przekształcenie prowadzące do jednoznacznego wyniku

Dla takiego prostego równania jak (1.1.1) moŜna pokazać, Ŝe ta droga ( wydająca się nie najprostsza ) nie ma wyŜszości w porównaniu z podstawieniem x(t) = eαt , prowadzącym właśnie do tego wyniku. Jednak wraz z pojawieniem się w równaniu róŜniczkowym członów nieliniowych bardziej naturalnym wydaje się całkowanie w kwadraturach poniewaŜ metoda prostych podstawień jest trudna w stosowaniu. Jak wkrótce się okaŜe istnieją powaŜne przyczyny o charakterze dynamicznym , na mocy których wiele – jeśli nie wszystkie – równań nie moŜe być scałkowanych w kwadraturach, zwłaszcza jeśli ich rząd jest wyŜszy od dwóch. (* W istocie, techniczne trudności mogą niekiedy pojawiać się nawet w przypadku równań niŜszego rzędu. Przykładowo, nieliniowe równanie pierwszego rzędu :

x• = x2

całkujemy elementarnie ( proszę to sprawdzić ) podczas gdy nieautonomiczny jego wariant : x• = x2 – t

nie moŜe być rozwiązany w kwadraturach ( proszę to sprawdzić ). W danym, konkretnym przypadku podstawienie x = y•/y pozwala jednak przejść do równania liniowego drugiego rzędu :

y•• + ty = 0

dla którego znane jest rozwiązanie zbieŜne w postaci szeregu potęgowego, nazywanego funkcją Aire’go. Wykorzystane podstawienie jest przykładem przekształcenia „linearyzowanego”. Taka linearyzacja jest równowaŜna pełnemu

rozwiązaniu analitycznemu zadania w kwadraturach. Powrócimy do tego typu dokładnych linearyzacji w rozdziale 7. *) ( Symbolem (* .... *) oznaczam przypisy autora lub tłumacza - przypis własny )

Podkreślam ponownie, Ŝe moŜliwość całkowania równania róŜniczkowego jest czymś więcej niŜ tylko prostym matematycznym zadaniem. My dotykamy sedna problemu poznając głębiej jego własności.

W aspekcie historycznym rozwój metod całkowania równań róŜniczkowych ( pierwsze próby są dziełem I. Newtona ) (* Jednak pierwsze całkowanie we współczesnym oznaczeniu związane jest z Leibnitzem – według wszelkich dostępnych danych, zrobił to 11 września 1672 roku *) stanowił podstawowy problem działalności matematyków osiemnastego i dziewiętnastego wieku. Znaczną wirtuozerię w tym temacie osiągnął znakomity matematyk Jakobi , który rozwinął efektywnie teorię funkcji eliptycznych, która to z kolei moŜe być wykorzystana przy całkowaniu określonej klasy równań róŜniczkowych nieliniowych. Zanim jednak przejdziemy do tego typu równań warto poznać pewne dodatkowe aspekty układu liniowego (1.1.1) i jego modyfikacji.

Okres ruchu układu liniowego (1.1.1) łatwo jest znaleźć z rozwiązania (1.1.2) przedstawionego w jawnej postaci : pełny cykl ruchu dokonuje się w czasie T = 2π/ω. Wynik ten moŜemy równieŜ uzyskać, wychodząc z rozwiązania w kwadraturach (1.1.8) jeśli obliczymy określoną całkę której granice określone są punktami końcowymi ruchu. WyraŜając całkę pierwszą I1 w postaci jawnej jako energię mechaniczną : E = ½ ( x• + ω2 x2 ) określamy te granice całkowania : x = ± sqrt ( 2E/ω ) ( pierwiastek kwadratowy w (1.1.8) w tych dwóch punktach zeruje się ). Zatem , czas konieczny dla wypełnienia pełnego cyklu ruchu dany jest :

sqrt ( 2E/ω )

T = 2 ∫ dx / sqrt [ 2 ( E – ½ ω2 x2 ) ] = 2π/ω (1.1.12) - sqrt ( 2E/ω )

Oczywiście okres w danym przypadku układu liniowego nie jest zaleŜny od energii ( lub, co jest równowaŜne – od warunków początkowych ). Porównajmy to z prostym układem liniowym :

x•• + β x3 = 0 (1.1.13)

który moŜe odpowiada ruchowi cząstek pod działaniem sił nieliniowych ( o „stałej siłowej” β ).

Całkę pierwszą dla (1.1.13) łatwo jest obliczyć : I1= ½ x•2 + ¼ βx4 , moŜe ona by interpretowana ponownie jako energia mechaniczna E, układu. Całka analogiczna do (1.1.12) ma w danym przypadku postać :

( 4E/β )1/4

T = 2 ∫ dx / sqrt [ 2 ( E – ¼ β x4 ) ] (1.1.14) - ( 4E/β )1/4

dopuszcza ( co jest akurat dogodne ) jawne przedstawienie poprzez funkcję gamma ( Γ ) :

T = ½ sqrt ( 2 / πβ1/2 ) Γ2 (1/4) E -1/4 (1.1.15) ( Pewne wiadomości dotyczące funkcji specjalnej Γ (z) moŜna znaleźć w dodatku B – przypis własny )

Teraz okres zaleŜy w sposób jawny od energii. W danym, konkretnym przykładzie zmniejsza się on wraz ze wzrostem energii tj. czym silniej pobudzana jest cząstka, tym szybciej odbywa się jej cykl ruchu. MoŜemy równieŜ związać z ruchem równowaŜną jego charakterystykę ( tutaj równieŜ zaleŜną od energii ) – częstość ω(E) , określoną zaleŜnością ω(E) = 2π / T(E).

Ten prosty przykład ilustruje nadzwyczaj waŜną róŜnicę między układami liniowymi i nieliniowymi : w przypadku tych ostatnich częstość charakterystyczna zaleŜna jest od energii ( lub co równowaŜne – od warunków początkowych ).

Własność ta jest dosyć istotna , kiedy układ podlega zaburzeniu lub działaniu sił zewnętrznych.

1.1.b Oscylator tłumiony.

Powróćmy do równania liniowego (1.1.1), które łatwo jest tak przekształcić aby włączyć do niego siły tarcia :

x•• + λx• + ω2 x = 0 (1.1.16) gdzie : λ – współczynnik “tłumienia” lub “tarcia”. Rozwiązanie (1.1.16) najłatwiej jest znaleźć za pomocą podstawienia x(t) = eαt , co prowadzi do równania :

x(t) = A e-λt/2 sin (νt + δ) (1.1.17)

w tym przypadku częstotliwość ν zadana jest zaleŜnością : ν = ½ sqrt ( 4 ω2 - λ2 ) ( zakładamy, Ŝe : 4 ω2 > λ2 , poniewaŜ przy 4 ω2 < λ2 rozwiązanie jest czysto tłumione ), a amplituda A i faza δ mogą być określone z warunków początkowych : x(0) i x•(0) ( nie są one juŜ takie same jak w przypadku (1.1.1) ). Jest zrozumiałe, Ŝe obecność siły tarcia prowadzi do spowalniania ruchu i rozwiązanie (1.1.17) odpowiada drganiom tłumionym. Przy λ << ω okres charakterystyczny 2π /ν mało róŜni się od wielkości charakterystycznej 2π /ω dla przypadku drgań nie tłumionych. W tej granicy ma jeszcze sens mówienie o średniej energii mechanicznej układu jako sumy średniego ( tj. uśrednionego po czasie ) kwadratu prędkości ( x• )2 oraz średniej kwadratu przemieszczenia :  ( x )2 , zatem :

E = ½ [  ( x• )2 + ω2  ( x )2 ]. Jednak nie jest ona wielkością zachowaną i łatwo pokazać, Ŝe :

 E (t) = E(0)e-λt (1.1.18) gdzie E(0) – początkowa wartość energii. Nadając pewne osobne znaczenie ideii całkowania w kwadraturach, moŜna zadać pytanie : Czy układ (1.1.16) zapisany w postaci pary równań pierwszego rzędu :

x• = y

(1.1.19a)

y• = -ω2 x - λy (1.1.19b)

moŜemy przedstawić w formie zupełnie całkowalnej ? W przypadku drgań nie tłumionych energia jest niezaleŜną od czasu całka pierwszą, co pozwala obniŜyć rząd układu. W rozpatrywanym przypadku wielkość ta , jak pokazano, nie jest zachowana. Dlatego nie wykluczone, Ŝe całkowanie w kwadraturach jest niemoŜliwe. Jednak jak zobaczymy w rozdziale 1.5, dla pewnej wartości λ moŜna wprowadzić „całkę zaleŜną od czasu”, pozwoli ona w sposób jawny obniŜyć rząd układu. Takie, zaleŜne od czasu całki spotykane są dosyć rzadko i dlatego te nieliczne przypadki w których mogą one być znalezione są dla nas niezwykle cenne.

1.2 Całkowanie równań nieliniowych drugiego rzędu.

Nieliniowość równań róŜniczkowych , opisujących procesy fizyczne ( drgania, reakcje chemiczne, wzrost populacji itd. ) jest raczej prawidłowością niŜ przypadkiem. Dostatecznie szeroka klasa równań nieliniowych drugiego rzędu moŜe być przedstawiona w postaci :

d2x/dt2 = F(x) (1.2.1)

gdzie F(x) – wielomian, funkcja rzeczywista lub przestępna zmiennej x. W przypadku wielomianu przykładowo :

F(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn (1.2.2) moŜemy łatwo zapisać równanie w kwadraturach :

∫ dt = ∫ dx / sqrt [ 2 (a0 x + ½ a1x2 + … + (1/n+1) anxn+1 + I1) ] (1.2.3) I1- całka ruchu.

Zadanie polega teraz na obliczeniu całki po prawej stronie równania (1.2.3). Jeśli nieliniowość nie przewyŜsza x3 , zadanie moŜe być rozwiązane w postaci “jawnej” a rozwiązanie (1.2.1) moŜe być przedstawione w postaci tak zwanych

„funkcji eliptycznych”. Funkcje te przedstawiają naturalne uogólnienie zwykłych funkcji trygonometrycznych ( sin ,cos itp. ). Całki eliptyczne są zatem uogólnieniem funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych ( arcsin, arccos itp. ) Kierując się prosta logiką nie jest trudno zrozumieć w jaki sposób mogą pojawia się takie funkcje. Dla zagadnienia liniowego (1.1.1) kluczem do rozwiązania jest obliczenie całki (1.1.8) które jest przedstawione w postaci funkcji arcsin.

Jeśli całka zawiera wyŜszą potęgę x ( przykładowo sqrt ( 1- x3 ) ; sqrt ( 1- x4 ) itd. ) to naleŜy załoŜyć , Ŝe odpowiadająca takiemu wyraŜeniu całka powinna przedstawiać funkcje odwrotną do bardziej złoŜonej funkcji

okresowej. Teoria funkcji eliptycznych została rozwinięta niezaleŜnie przez Abela i Jakobiego. Ten ostatni swoją teorię wyłoŜył w fundamentalnej pracy pt. „Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum” (1829 ). Gauss ( który bardzo ostroŜnie publikował wyniki swoich badań – co jest istotnie odmienne od zwyczajów we współczesnej nauce ) prawdopodobnie otrzymał niektóre z opublikowanych we wspomnianym dziele, wyników – co było typowe dla tego okresu w nauce. ChociaŜ funkcje eliptyczne pozwalają rozwiązać względnie nie duŜą klasę równań postaci (1.2.1) do klasy tej wchodzą ( po odpowiednich przekształceniach ) rozwiązania waŜnych układy fizycznych , takich jak wahadło;

juŜ to powinno skłonić nas do zajęcia się tymi funkcjami. Temat jest bardzo rozległy, dlatego tylko krótko omówimy pewne podstawowe idee (* Rozpatrywanie funkcji eliptycznych wydać się moŜe „staromodne”, jednak na głębszym poziomie związana z nimi geometria algebraiczna głęboko przenika istotę pojęcia „całkowalności”. Idee te będą omówione w dalszych rozdziałach , głównie w rozdziale 8 *). Pewne detale techniczne zostaną omówione w zastosowaniu 1.1.

Rozpatrzmy jakiekolwiek ogólne rozwiązanie równania drugiego rzędu postaci :

d2x/dt2 = A + Bx + Cx2 + Dx3 (1.2.4)

rozwiązanie to moŜe np. odpowiadać równaniu ruchu cząstki pod działaniem funkcji siły przedstawionej za pomocą szeregu względem odległości do trzeciego rzędu. Jak wkrótce zobaczymy , rozwiązanie tego równania moŜe być przedstawione z wykorzystaniem funkcji eliptycznych Jakobiego. Jeśli potęga x po prawej stronie (1.2.4) nie jest wyŜsza od dwóch , rozwiązanie moŜe być przedstawione z wykorzystaniem funkcji eliptycznych Weierstrassa ( Między tymi dwoma typami funkcji , jak łatwo pokazać istnieją pewne zaleŜności ). Oprócz tego , jeśli prawa strona (1.2.4) moŜe by przedstawiona w postaci zawierającej określone funkcje rzeczywiste zmiennej x oraz funkcje przestępne typu sin(x) i cos(x) ( pojawiające się w waŜnym równaniu wahadła ), całkę moŜemy równieŜ przedstawi z wykorzystaniem innych funkcji eliptycznych.

( Zobacz Dodatek C – przypis własny ) 1.2.a Eliptyczne funkcje Jakobiego.

Całka pierwsza dla równania (1.2.4) moŜe być łatwo przedstawiona w postaci :

½ (dx/dt)2 – ( Ax + ½ Bx2 + 1/3 Cx3 + ¼ Dx4 ) = I1 (1.2.5) Dla wygody przepiszemy to wyraŜenie w następujący sposób :

(dx/dt)2 = ( a + bx + cx2 + dx3 + ex4 ) (1.2.6) Prawa strona moŜe by sparametryzowana następująco :

½ (dx/dt)2 = e ( x – α) (x – β) (x- γ ) (x – δ) (1.2.7) a następnie przekształcona ( zobacz zastosowanie 1.1 ) do postaci kanonicznej ( Legendre’a ) :

½ (dx/dt)2 = ( 1 – x2 ) ( 1 - k2x2 ) (1.2.8) Całkowanie ostatniego równania prowadzi do wyraŜenia :

∫ dt = ∫ dx / sqrt [ ( 1 - x2 ) ( 1 - k2x2 ) ] (1.2.9) pierwsza część tego wyraŜenia nazywa się „całką eliptyczną pierwszego rodzaju“ i często jest oznaczana jako F(x, k) : x

F(x, k) = ∫ dx’ / sqrt [ ( 1 – x’2 ) ( 1 - k2x’2 ) ] (1.2.10) 0

( oczywiście, Ŝe w granicy k = 0 wyraŜenie to sprowadza się do funkcji arcsin ) RównowaŜne wyraŜenie moŜemy otrzymać za pomocą przekształcenia x = sin (θ ) : θ

F(θ, k ) = ∫ dθ’ / sqrt [ 1 – k2 sin2 (θ’) ] (1.2.11) 0

Z całkami eliptycznymi związana jest bogata i obszerna terminologia ( aby nie utrudniać lektury omówienie całek eliptycznych drugiego i trzeciego rodzaju odłoŜyłem do zastosowania 1.1 ) ; do tych najwaŜniejszych pojęć zaliczamy :

1) k - moduł

2) k’ = sqrt ( 1 – k2 ) – moduł uzupełniający

3) K = F(1, k) = F( π/2 , k ) – całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju 4) K’ = F(1, k’ ) = F( π/2 , k’ ) – uzupełniająca całka zupełna pierwszego rodzaju.

Eliptyczne funkcje Jakobiego są odwrotne względem całki (1.2.11) ( lub 1.2.10). Wprowadźmy wielkość : θ

u = ∫ dθ’ / sqrt [ 1 – k2 sin2 (θ’) ] (1.2.12) 0

Funkcja eliptyczna oznaczana symbolem „sn“ , określona jest jako :

(* Przy pierwszym czytaniu definicja (1.2.13) moŜe prowadzić do pewnego zamieszania. Jej pochodzenie moŜna wyjaśnić, rozpatrując obliczając całkę eliptyczną (1.2.12) ( lub (1.2.10) ) w przypadku k = 0. Jest to całka arcsin, mamy zatem :

u = θ ≡ arcsin(x) (1) Odpowiednio dla sin(u) otrzymujemy wyraŜenie : sin(u) = sin(θ) ( ≡ x) (2)

Teraz powróćmy do przypadku k ≠ 0. Prawa strona (1) nie jest juŜ arcsin, a przedstawia funkcje odwrotną do funkcji bardziej złoŜonej, którą oznaczymy sn. Zatem (2) transformuje się do postaci :

sn (u) = sin(θ) ( ≡ x) (3) *)

sn(u, k) = sin(θ) (1.2.13)

Istnieją równieŜ inne funkcje eliptyczne – przykładowo, funkcja oznaczana symbolem „cn” , określona w następujący sposób :

cn (u, k) = cos (θ) (1.2.14)

analogia z funkcjami trygonometrycznymi ( sin, cos ) jest jak widać jasna i nie ma równieŜ trudności z funkcjami odwrotnymi do funkcji eliptycznych :

u = arcsn (sin (θ), k ) = arccn ( cos(θ) , k ) (1.2.15)

Istnieje wiele skomplikowanych zaleŜności i toŜsamości zawierających funkcje eliptyczne, pewne z nich przedstawione są w zastosowaniu 1.1. Teraz poruszymy tylko ich pewne własności związane z ich okresowością. Okresy określamy za

pomocą wprowadzonej wcześniej całki eliptycznej zupełnej, pierwszego rodzaju ; całka K odgrywa rolę analogiczną do liczby π dla funkcji trygonometrycznych tj. :

sn ( u ± 2K , k ) = -sn (u, k ) (1.2.16)

cn ( u ± 2K , k ) = -cn (u, k ) (1.2.16)

Całka uzupełniająca, zupełna pierwszego rodzaju K’ ( dokładniej iK’ ) odgrywa rolę analogiczną do okresu iπ , funkcji hiperbolicznych sh i ch :

(* Definicja funkcji eliptycznej dn (u, k) wprowadzona jest w zastosowaniu 1.1 *)

sn ( u ± iK’ , k ) = 1/ k sin (u, k ) (1.2.17)

cn ( u ± iK’ , k ) = i dn (u, k) / k sn (u, k ) (1.2.17)

Zatem, funkcje eliptyczne są dwuokresowe tj. mają okres zarówno rzeczywisty jak i urojony.

1.2.b Eliptyczne funkcje Weierstrassa.

Jak zauwaŜyliśmy powyŜej, równanie postaci (1.2.4), jeśli ograniczyć się do członów nie zawierających wyŜszych niŜ druga potęg zmiennej x, moŜe być rozwiązane z uŜyciem funkcji eliptycznych Weierstrassa. Równanie , analogiczne do (1.2.6) ma w tym przypadku prawą stronę z sześcianem i moŜe być przedstawione w standardowej postaci , następująco : (* Człony kwadratowe zmiennej x zostały funkcjonować przy pomocy prostej zamiany zmiennych : x → x – c/3d *) (dx/dt)2 = 4x3 + g2x + g3 (1.2.18) ( współczynniki 4 , g2 , g3 wybrano tak aby oznaczenia pokrywały się z oznaczeniami standardowymi ). Kwadratura w tym przypadku ma postać :

t = ∫ dx / sqrt [ 4 (x – e1)(x – e2)(x – e3) ] (1.2.19) w której to postaci sparametryzowaliśmy człon sześcienny. Wielkości ei i gi związane są standardowymi zaleŜnościami e1 + e2 + e3 = 0 (1.2.20) e1e2 + e1e3 + e2e3 = ¼ g2 (1.2.20) e1e2e3 = ¼ g3 (1.2.20) Funkcje odwrotne do (1.2.19) są to Eliptyczne funkcje Weierstrassa ℘(t) tj. ;

x = ℘(t) (1.1.21) One równieŜ są dwuokresowe. Oznaczmy te dwa okresy jako Ω i Ω’ , zatem :

℘(t + 2Ω ) = ℘(t) , ℘(t + 2Ω’ ) = ℘(t) (1.2.22) Istnieje cały szereg zaleŜności między Ω , Ω’ i K, K’ – funkcji Jakobiego.

1.2.c Periodyczna struktura funkcji eliptycznych.

Dwuokresowość ( tj. istnienie okresów zarówno rzeczywistych jak i urojonych ) funkcji eliptycznych powala załoŜyć, Ŝe mają one nietrywialną strukturę na płaszczyźnie zespolonej tj. jeŜeli rozpatrywać je jako funkcje zmiennej niezaleŜnej zespolonej. Funkcje trygonometryczne jednookresowe , takie jak sin (z) , cos(z) mają na z-płaszczyźnie zespolonej bardzo prostą strukturę. Przedstawiają one funkcje „ciągłe” tj. nie posiadają osobliwości na całej płaszczyźnie

zespolonej. W przeciwieństwie do nich funkcje eliptyczne, zarówno Jakobiego jak i Weierstrassa są meromorficzne tj.

mają na płaszczyźnie zespolonej ( izolowane ) bieguny. Bieguny te tworzą regularną strukturę przypominającą siatkę odzwierciedlająca ich dwuokresowość. MoŜe się okazać, Ŝe zachowanie tych funkcji na płaszczyźnie zespolonej ( tj.

struktura analityczna ) scharakteryzowane jest przez pewien współczynnik, który określa moŜliwość „całkowania”

odpowiedniego równania róŜniczkowego. Ten głęboki i do tej pory nie do końca rozwiązany problem omówimy dokładniej w rozdziale 8.

1.2.d Równanie wahadła.

Klasyczne równanie wahadła jest najwaŜniejszym równaniem nieliniowym, które moŜe być ściśle scałkowane z uŜyciem funkcji eliptycznych Jakobiego. Łatwo pokazać, Ŝe równanie ruchu wahającej się cząstki o jednostkowej masie ma postać :

d2θ/ dt2 = (g / L) sin(θ) = 0 (1.2.23)

gdzie : θ - kąt odchylenia, L – długość nici wahadła, g – stała grawitacyjna.

Rys. 1.1 Odchylenie klasycznego wahadła o kąt θ w polu siły cięŜkości mg.

W granicy małego odchylenia moŜna ograniczyć się do pierwszego członu rozkładu funkcji sin w szereg, prowadzi to do standardowego równania ruchu oscylatora harmonicznego :

d2θ/ dt2 = gθ / L = 0

(1.2.24)

Rozwiązanie tego równania posiada częstość charakterystyczną ω = sqrt (g/ L ). Całkę pierwszą (1.2.23) moŜemy traktować jako energię mechaniczną E’ , układu :

½ ( dθ/ dt) 2 - (g / L) cos(θ) = E’ (1.2.25)

( W tym przypadku E’ = E/ mL2 , E – energia układu o masie m ) Kwadratura przyjmuje postać :

t = ∫ dθ’ / sqrt { 2 [ E’ + (g/ L) cos(θ) ] } (1.2.26) ( dla uproszczenia opuściliśmy druga stałą całkowania, która w danym przypadku odgrywa rolę przesunięcia fazy ) Całka w (1.2.26) moŜe być przekształcona do postaci całki pierwszego rodzaju, podobnie jak było to dla (1.2.11).

W tym celu naleŜy wprowadzić zmienną cos(ω) = -E’ (L/g), w wyniku tego (1.2.26) moŜna zapisać następująco : θ

T = sqrt ( L/2g) ∫ dθ’ / sqrt [ cos(θ) – cos(ω) ] (1.2.27) 0

Wykorzystując przekształcenia cos(θ) = 1 – 2k2 sin2 (φ) , k = sin(ω/2) , po nieskomplikowanych przekształceniach (1.2.27) przyjmie Ŝądaną postać :

θ

t = sqrt( L/g) ∫ dφ’ / sqrt [ 1 - 2k2 sin2 (φ’) ] (1.2.28) 0

gdzie jawnej postaci modułu k odpowiada wyraŜenie : k = sqrt { ½ [ 1 + (E’L/g) ] } = sin(ω/2).

WyraŜając to w pojęciach funkcji eliptycznych Jakobiego otrzymamy :

sn [ t sqrt (g/L) , k ] = sin(φ) = (1/k) sin (θ/2) (1.2.29) co prowadzi do wymaganego wyniku wyraŜenia θ jako jawnej funkcji czasu :

θ(t) = 2 arcsin { k sn [ t (g/L) , k ] } (1.2.30) Podobnie jak w przypadku zadania liniowego, okres ruchu moŜemy obliczyć jako całkę (1.2.26). Granice całkowania ograniczamy tutaj połoŜeniem równowagi θ = 0 i klasycznym „punktem powrotu” θ0 = arccos (- E’L/g) , który zgodnie z definicją jest zmienną ω. Łatwo pokazać, wykorzystując przekształcenia cos(θ) = 1 - 2k2 sin2 (φ) i k = sin(ω/2), Ŝe w pojęciach φ temu punktowi powrotu odpowiada π/2. Uwzględniając, Ŝe okres określony jest jako czas konieczny do wykonania pełnego cyklu ruchu ( tj. od punktu θ = 0 do punktu θ0 , a następnie od punktu -θ0 do punktu θ = 0 ), całka (1.2.28), obliczana w granicach od 0 do π/2 , powinna być pomnoŜona przez 4 :

π/2

T(k) = 4 sqrt( L/g) ∫ dφ / sqrt [ 1 - 2k2 sin2 (φ) ] = 4 sqrt(L/g) F( π/2, k ) (1.2.31) 0

WyraŜenie dla okresu, jak widać jest całką eliptyczną zupełną pomnoŜoną przez pewien współczynnik.

PoniewaŜ F( π/2 , 0 ) = π/2 z (1.2.29) otrzymujemy :

T(0) = 2π sqrt(L/g) = 2π/ω (1.2.32) Co dokładnie przedstawia sobą okres zwykłego ruchu harmonicznego, opisywanego równaniem (1.2.24). Zamieniając moduł w (1.2.31) modułem uzupełniającym k’ = sqrt (1 - k2 ), moŜna obliczyć okres zespolony :

T(k’) = 4 sqrt(L/g) F(p/2, k’ ) (1.2.33)

Dwuokresowego ruchu. Na pierwszy wzgląd pojęcie okresu zespolonego dla wahadła moŜe wydawać się pozbawione fizycznego sensu. Jednak moŜna go rozpatrywać jako okres , który wahadło miałby przy zmianie znaku grawitacji tj.

jeśli odwrócić świat do góry nogami. To łatwo zobaczyć z samej definicji : k : k = sin(ω/2) = sqrt [ ½ ( 1 + (E’L/g) ]

1.3 Dynamika na płaszczyźnie fazowej.

Do tej pory praktycznie nie dokonywaliśmy prób poglądowego przedstawienia rozwiązania róŜnych omawianych wcześniej równań róŜniczkowych – za wyjątkiem pewnych obrazów związanych z ruchem periodycznym „określającym połoŜenie zmiennej” x = x(t). Najcenniejszym z naszego punktu widzenia opisaniem ruchu jest zbadanie jego

zachowania na płaszczyźnie fazowej. W szeregu przypadków, jak zobaczymy dalej, moŜe być ono przeprowadzone bez całkowania równań ruchu. Powróćmy teraz do zagadnienia liniowego (1.1.1) w postaci pary równań (1.1.4) ; dwie zmienne niezaleŜne x, y określają przestrzeń, w której „porusza się ” rozwiązanie. Jest to przestrzeń fazowa tego układu, poniewaŜ jest ona dwuwymiarowa moŜemy posłuŜyć się terminem „płaszczyzna fazowa”. W przypadku układu n równań pierwszego rzędu :

x1• = f1 ( x1, … ,xn ) x2• = f2 ( x1, … ,xn )