Wykład 10 Potencjał elektryczny, Prawo Gaussa

(1)

Elektrostatyka



Potencjał pola elektrycznego



Prawo Gaussa

(2)

Potencjał pola elektrycznego

Energia potencjalna zależy od q (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:

zwana potencjałem pola elektrycznego zależy tylko od ładunku wytwarzającego pole Q.

Potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną!

q

r

U

r

)

(

)

(





jednostki [ 1 Volt = 1 V = 1 J /C = 1 N·m / C ]

Zgodnie z zasadą superpozycji pól elektrycznych w przypadku nakładania się pól elektrycznych (pochodzących od różnych ładunków Q_i) ich potencjały sumują się algebraicznie

(3)

Natężenie pola jako gradient potencjału

W ogólności trzeba zapisać 

_

_

_

_

_

_



_

)

(

grad

E

czyli





























z

y

x

E



ˆ



ˆ



_ˆ

To jest recepta jak policzyć E znając potencjał

Wniosek:

natężenie pola E wskazuje kierunek w którym potencjał najszybciej maleje

Stąd praca przenoszenia ładunku próbnego między tymi punktami

Trzeba zauważyć że różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami wynosi



(

)

(

)



)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2 2 1 1 2 1 2

R

q

R

W

q

R

U

R

U

R



















Dlatego można zapisać, że













 

2 1

)

(

)

(

₂ ₁ R R

dr

E

R







(4)

Potencjał ładunku punktowego









2 1 2 0 1 2

4

R R

r

dr

Q





R

Q

R

0

4 )

(







(5)

Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie gdzie wartości potencjału są stałe

- powierzchnie ekwipotencjalne

• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy

(6)

Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie gdzie wartości potencjału są takie same - powierzchnie ekwipotencjalne

• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy

(7)



Strumień pola

elektrycznego

przechodzący przez

powierzchnię zamkniętą

• dzielimy powierzchnię na małe elementy s.

• znajdujemy wektor „normalny” (wektor prostopadły) do powierzchni s • sumujemy wszystkie iloczyny skalarne

Strumień pola

elektrycznego















S

d

E

S

E

E E













cos

S

E

S

E













Uwaga! Strumień zależy od kąta pomiędzy wektorami

(8)

0

) ( ) ( ) (











c b a E

E

d

S

E

d

S

E

d

S

E

d

S



S

d

E

ES

dS

E

dS

E

S

d

E

b a













) ( 0 ) (

0

180 cos



Strumień pola elektrycznego

Przykład! Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym

(9)

Prawo Gaussa

E



Q₁ Q2



  0



i E Q

Strumień przez pow. Zamkniętą: Nie zależy od sposobu ułożenia ład.

Nie zależy od wartości ład. zewnętrznych

Przykład! Zamknięta powierzchnia sferyczna w

polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy

Prawo Gaussa mówi :

strumień natężenia pola

elektrycznego w próżni przez

dowolną powierzchnię zamkniętą

jest proporcjonalny do sumy

algebraicznej ładunków

elektrycznych otoczonych przez

tę powierzchnię







s

E

q

S

d

E

0 



powierzchnia sfery

zależy tylko od ładunku zawartego wewnątrz!







s E

q

R

q

S

d

E

0 2 0 2

4

4 







(10)

Prawo Gaussa – postać różniczkowa

0 0 0

)

,

(





z

y

x

q

E

q

z

E

y

E

x

E

q

E

div

z y x

























  



x

_x

y

_y

z

_

_z

















_ˆ

gdzie operator

Weźmy nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie prostopadłościanu o wym. dx, dy, dz

Po przekształceniach matematycznych można Prawo Gaussa przedstawić w postaci różniczkowej

(11)

Prawo Gaussa - konsekwencje

Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku rozmieszcza się na jego powierzchni

Jeśli E=0 wewnątrz (a to można zmierzyć) to nie może być ładunku

wewnątrz takiego przewodnika – lokuje się on na zewnątrz

Na powierzchni przewodnika

E



0 const





wartość potencjału pola el.

0







E

wartość nat. pola el. gęstość _{powierzchniowa}

(12)

(13)

Prawo Gaussa – zastosowania

nieskończony przewodnik liniowy

R

E

0

2 





Przyjmijmy, że gęstość liniowa

ładunku jednorodna wynosi

_L

Q

dl

dq 





0

0 cos

90 cos

2 

q

EB

EA

o o E









0

2 





rh

h

E



Do obliczeń wartości natężenia pola elektrycznego można zastosować prawo Gaussa w przypadkach, gdy pole ma pewną symetrię

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień







s E

q

S

d

E

0





0 2 1

_

q

B A A E

















t

A– powierzchnia podstawy walca B – powierzchnia boczna

(14)

Prawo Gaussa – zastosowania,

pole elektryczne naładowanej kuli

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą



_E

=

∮

E d S=



q



₀

E

R

Jak policzyć potencjał takiego pola w punkcie r ? Jak policzyć natężenie takiego pola?

Jest to takie samo wyrażenie jak dla ładunku punktowego!

E=

q

4  

₀

r

2

E 4 r

2

=

q



₀

(15)

Prawo Gaussa – zastosowania

jednorodnie naładowana płaszczyzna

Zakładamy że gęstość

powierzchniowa ładunku jest jednorodna i wynosi

przez A przez B przez powierzchnię boczną = 0



_E

=

_A



_B



_D

=

q



₀ Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień



_E

=

∮

E d S=



q



₀

Tutaj pole elektryczne jest stałe i nie zależy od odległości od płaszczyzny