Zajecia

Podstawy matematyki

Wykład 3 - Twierdzenia matematyczne, operacje nieskończone, relacje

Oskar Kędzierski 29 marca 2020

Twierdzenia w matematyce

Typowa postać twierdzenia w matematyce, to implikacja.

Twierdzenie

Jeśli A, to B. A→B

Zdanie A (poprzednik implikacji) nazywamy

warunkiem

wystarczającym

na to, żebyB.

Zdanie B (następnik implikacji) nazywamy

warunkiem

koniecznym

, na to, żeby A.

Zdanie A nazywa się tez

założeniem

, a zdanieB

tezą

twierdzenia.

Twierdzenia w matematyce – przykład

Dla dowolnego n∈ N zachodzi następująca implikacja

6|n→3|n,

tzn. jeśli liczba n jest podzielna przez 6, to liczba n jest podzielna

przez 3.

Dla n ∈ Nwarunkiem wystarczającym na bycie podzielnym przez 3

jest bycie podzielnym przez 6.

Dla n ∈ Nwarunkiem koniecznym na bycie podzielnym przez 6 jest

Twierdzenia proste, odwrotne, przeciwstawne, przeciwne

Twierdzenie (proste)

Jeśli A, to B. A→B

Dla ustalonego twierdzenia prostego, możemy napisać twierdzenia do niego

odwrotne, przeciwstawne

i

przeciwne

.

Twierdzenie (odwrotne)

Jeśli B, to A. B→A

Twierdzenia proste, odwrotne, przeciwstawne, przeciwne

Twierdzenie (przeciwstawne)

Jeśli nieprawda, że B, to nieprawda, że A. ¬B→¬A

Twierdzenie (przeciwne)

Jeśli nieprawda, że A, to nieprawda, że B. ¬A→¬B

Twierdzenia proste, odwrotne, przeciwstawne, przeciwne –

cd.

Na mocy prawa transpozycji (tautologii rachunku zdań)

(p→q)↔(¬q→¬p)

twierdzenie proste jest równoważne twierdzeniu przeciwstawnemu, a twierdzenie odwrotne jest równoważne twierdzeniu przeciwnemu. Z prawdziwości twierdzenia prostego, nie wynika prawdziwość twierdzenia odwrotnego, i na odwrót.

Twierdzenia proste, odwrotne, przeciwstawne, przeciwne –

przykład

Dla dowolnego n∈ N prawdziwa jest implikacja

6|n→3|n,

ale nieprawdziwa jest implikacja odwrotna 3|n→6|n,

bo, na przykład n=3 jest liczbą podzielną przez 3, a nie jest liczbą

Twierdzenia proste, odwrotne, przeciwstawne, przeciwne –

przykład

Dla dowolnego n∈ N prawdziwa jest implikacja

36 |n→66 |n.

Dla n ∈ Nwarunkiem koniecznym na nie bycie podzielnym przez 3

jest nie bycie podzielnym przez 6.

Dla n ∈ Nwarunkiem wystarczającym na nie bycie podzielnym

Warunek konieczny i wystarczający

Gdy twierdzenie proste i twierdzenie do niego odwrotne są prawdziwe, wtedy mówimy, że Ajest

warunkiem koniecznym i

wystarczającym

na to, żeB. Równoważnie, mówimy, że A

zachodzi,

wtedy i tylko wtedy

, gdyB.

Twierdzenie

A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy B. A↔B.

Odpowiada to prawu logicznemu (tautologii rachunku zdań)

Warunek konieczny i wystarczający – przykład

Twierdzenie

Trójkąt o bokach o długości a, b, c jest prostokątny i bok o długości c jest przeciwprostokątną wtedy i tylko wtedy, gdy

a2+ b2= c2.

Twierdzenie

Dla n ∈ N

Metody dowodzenia twierdzeń

Aby dowieść twierdzenia postaci A↔B, należy dowieść implikacji A→B oraz B→A.

W ogólności, aby dowieść

równoważności

warunków A₁, . . . , An

(tzn. Ai↔Aj dlai, j =1, . . . , n) wystarczy dowieść implikacji

A₁→A2, A2→A3, . . . , An−1→An, An→A1.

Korzystamy tu z prawa sylogizmu (prawa przechodniości implikacji)

Metody dowodzenia twierdzeń – dowód nie wprost

Dowodem

nie wprost

(

apagogicznym, przez sprowadzenie do

sprzeczności

) nazywamy dowód, który pokazujemy, ze

zaprzeczenie pewnego zdania prowadzi do sprzeczności. Odpowiada to regule dowodzenia

¬A→(B ∧ ¬B)

A .

W szczególności, gdy chcemy dowieść implikacji A→B, to

Dowód nie wprost – przykład

Twierdzenie

Nie istnieje największa liczba pierwsza.

Dowód.

Załóżmy przeciwnie, że istnieje największa liczba pierwsza. Zatem zbiór wszystkich liczb pierwszych jest skończony i możemy je oznaczyć p₁, . . . , pn. Wtedy, z praw arytmetyki, liczba

N= p₁· · · pn+1

rozkłada się na iloczyn liczb pierwszych, zatem jest podzielna przez pewną liczbę pierwszą. Z drugiej strony, z definicji, liczba N nie

dzieli się przez żadną liczbę pierwsza (daje przy dzieleniu resztę 1). Sprzeczność, zatem nie istnieje największa liczba pierwsza.

Zbiór podzbiorów

Definicja

Dla ustalonego zbioru X,

zbiorem podzbiorów

X (lub

zbiorem

potęgowym

zbioruX) nazywamy zbiór, którego elementami są

dokładnie wszystkie podzbiory zbioru X. Oznaczamy go P(X ). A∈ P(X ) ↔ A ⊂ X

Istnienie takiego zbioru wynika z aksjomatów teorii mnogości.

Przykład i) P(∅) = {∅}, ii) P({1}) = {∅, {1}}, iii) P(P({1})) = {∅, {∅}, {{1}}, {∅, {1}}}, iv) P({1,2,3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Zbiór podzbiorów – cd.

Definicja

Jeśli zbiór Ajest skończony, to liczbę jego elementów oznaczamy

przez |A|.

Na przykład |∅| =0, |{1,2}| =2, |{∅, {1,2}}| =2.

Stwierdzenie

Jeśli |X | = n, to|P(X )| =2n_.

Dowód.

Każdy podzbiór zbioru X jest wyznaczony jednoznacznie przez

elementy, które do niego należą. Dla każdego elementu mamy dokładnie 2 możliwości: element należy do podzbioru lub nie należy. Daje to 2·2· · ·2

| {z }

n

Własności zbioru potęgowego

i) P(X ) 6= ∅, ii) X ⊂ Y ↔ P(X ) ⊂ P(Y ), iii) P(X ) ∩ P(Y ) = P(X ∩ Y ). Dowód. i) ∅ ∈ P(X ),

ii) (→) jeśliX ⊂ Y orazA∈ P(X ), toA⊂ X ⊂ Y, zatem A∈ P(Y ),

(←) jeśliP(X ) ⊂ P(Y ), to w szczególnościX ∈ P(X ), skąd X ∈ P(Y ), zatemX ⊂ Y ,

iii) A∈ P(X ) ∩ P(Y ) ↔ A ∈ P(X ) ∧ A ∈ P(Y ) ↔ A ⊂ X ∧ A ⊂ Y ↔ A ⊂ X ∩ Y .

Uogólnione rodziny zbiorów

Niech I będzie niepustym zbiorem a X dowolnym zbiorem.

Rodziną zbiorów

indeksowaną przez zbiór I nazywamy dowolną

funkcję f ze zbioru I do zbioru P(X )(tj. przyporządkowanie

każdemu elementowi i ∈ I pewnego zbioru Ai ∈ P(X ))

f: I ∋ i 7→ Ai ∈ P(X ).

Rodzinę zbiorów indeksowanych przez I oznaczamy także przez {Ai}i∈I,

gdzie Ai = f (i ).

Powyższa konstrukcja pozwala na konstrukcję nieskończonych

Uogólnione rodziny zbiorów – przykład

Niech I = N orazX = R. Definiujemy rodzinę zbiorów{An}n∈N

warunkiem An= {x ∈ R | x ≥ n}. Wtedy A₀ = [0, +∞), A₁ = [1, +∞), itd.

Uogólnione działania na zbiorach

Dla dowolnej rodzin zbiorów {Ai}i∈I indeksowanej przez zbiór I

takiej, że Ai ∈ P(X ) definiujemy

przecięcie rodziny

{Ai}i∈I

\

i∈I

Ai = {x ∈ X | ∀i∈I x∈ Ai},

oraz

sumę rodziny

{Ai}i∈I

[

i∈I

Ai = {x ∈ X | ∃i∈I x∈ Ai}.

Przecięcie rodziny {Ai}i∈I to zbiór elementów zbioruX, które

należą do wszystkich zbiorówAi, a suma rodziny{Ai}i∈I to zbiór

Uogólnione działania na zbiorach – przykład

Jeśli An= {x ∈ R | x ≥ n} = [n, +∞). dla n∈ N,to \ n∈N An= ∅, [ n∈N An= [0, +∞).

Własności uogólnionych działań na zbiorach

Dla dowolnych rodzin {Ai}i∈I, {Bi}i∈I indeksowanych przez I

zachodzi,

i) jeśliA⊂ Ai dla i∈ I, toA⊂Ti∈IAi, ii) jeśliAi ⊂ Adla i∈ I, toSi∈IAi ⊂ A, iii) T

i∈IAi ∩T_i∈IBi =T_i∈I(Ai ∩ Bi), iv) S

i∈IAi ∪S_i∈IBi =Si∈I(Ai ∪ Bi), v) T

i∈IAi ∪Ti∈IBi ⊂Ti∈I(Ai ∪ Bi), vi) S

i∈IAi ∩Si∈IBi ⊃Si∈I(Ai ∩ Bi).

Kontrprzykład dla równości w v) oraz vi), dla dowolnego, niepustego zbioru I otrzymujemy biorąc rodzinę podzbiorów I

Ai = {i }, Bi = I \ {i }.

Dowody powyższych własności opierają sie na prawach rachunku kwantyfikatorów.

Prawa de Morgana dla uogólnionych działań na zbiorach

Dla dowolnego zbioru A⊂ X oraz dowolnej rodziny{Ai}i∈I

podzbiorów zbioru X, z praw de Morgana rachunku

kwantyfikatorów wynikają następujące równości

A\\ i∈I Ai = [ i∈I (A \ Ai), A\[ i∈I Ai = \ i∈I (A \ Ai). Dowód. Pierwsza tożsamość x ∈ A \\ i∈I Ai ↔ x ∈ A ∧ x /∈ \ i∈I Ai ↔ x ∈ A ∧ ¬∀i∈I x ∈ Ai ↔ ↔ x ∈ A ∧ ∃i∈I x ∈ A/ i ↔ ∃i∈I x∈ A ∧ x /∈ Ai ↔ x ∈ [ i∈I (A \ Ai)

Prawa de Morgana dla uogólnionych działań na zbiorach –

cd.

W szczególności, gdy A= X oraz Ai ⊂ X dostajemy

\ i∈I Ai !′ =[ i∈I A′_i, [ i∈I Ai !′ =\ i∈I A′_i.

Pary elementów

Definicja (K. Kuratowski)

Dla dowolnych zbiorów X, Y orazx ∈ X , y ∈ Y definiujemy

parę

elementów (x, y ) ∈ P(P(X ∪ Y ))

(x, y ) = {{x}, {x, y }} ⊂ P(X ∪ Y ),

tzn. (x, y ),to zbiór dwuelementowy, którego elementami są zbiory {x} oraz {x, y }.

Stwierdzenie

Dla x, z ∈ X orazy, w ∈ Y zachodzi

(x, y ) = (z, w ) ↔ (x = z) ∧ (y = w ).

Dowód.

Pary elementów – cd.

Dowód.

(→) rozpatrzmy dwa przypadki

i) |(x, y )| = |(z, w )| =1, wtedyx = y orazz = w, ponadto {{x}} = {{z}}, skądx = y = z = w ,

ii) |(x, y )| = |(z, w )| =2,wtedyx 6= y orazz 6= w, ponadto {x} = {z} oraz{x, y } = {z, w } skądx = z orazy = w.

Iloczyn kartezjański

Definicja

Iloczynem kartezjańskim

zbiorów X, Y nazywamy zbiórX × Y

wszystkich par (x, y ),gdziex ∈ X orazy ∈ Y, tzn.

X× Y = {(x, y ) ∈ P(P(X ∪ Y )) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }, (x, y ) ∈ X × Y ↔ x ∈ X ∧ y ∈ Y . Przykład {1,2,3} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} {3,4} × {1,2,3} = {(3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} ∅ × {1,2,3} = ∅

Podstawowe własności iloczynu kartezjańskiego

Dla dowolnych zbiorów X, Y , Z zachodzi

i) |X | = m, |Y | = n → |X × Y | = mn, ii) X × Y = ∅ ↔ X = ∅ ∨ Y = ∅, iii) X × Y = Y × X ↔ X = Y ∨ X = ∅ ∨ Y = ∅, iv) (X ∩ Y ) × Z = (X × Z ) ∩ (Y × Z ), v) (X ∪ Y ) × Z = (X × Z ) ∪ (Y × Z ), vi) (X \ Y ) × Z = (X × Z ) \ (Y × Z ). Dowód. iv) (x, y ) ∈ (X × Z ) ∩ (Y × Z ) ↔ (x, y ) ∈ X × Z ∧ (x, y ) ∈ Y × Z ↔ x ∈ X ∧ y ∈ Z ∧ x ∈ Y ∧ y ∈ Z ↔ x ∈ (X ∩ Y ) ∧ y ∈ Z ↔ (x, y ) ∈ (X ∩ Y ) × Z .

Iloczyn kartezjański wielu zbiorów

Definicja

Dla dowolnych zbiorów X₁, X₂, . . . , Xn definiujemy ich iloczyn

kartezjański przez

X₁× X₂× · · · × Xn= (X1× X2× · · · × Xn−1) × Xn.

Uwaga

Z formalnego punktu widzenia, na ogół

X₁× (X₂× X₃) 6= (X₁× X₂) × X₃,

Nieskończony iloczyn kartezjański

Niech {Ai}i∈I będzie rodziną zbiorów indeksowaną przez zbiórI.

Definicja

Iloczynem kartezjańskim (zbiorów) rodziny {Ai}i∈I nazywamy zbiór

Y i∈I Ai = {f : I → [ i∈I Ai | f (i ) ∈ Ai}. Uwaga

Istnieje naturalne utożsamienie zbioru A₁× A₂ ze zbiorem Q

i∈{1,2}Ai.

Uwaga

Przy założeniu pewnika wyboru (do dowodu implikacji →) ∀i∈I Ai 6= ∅ ↔

Y

i∈I

Nieskończony iloczyn kartezjański cd.

Definicja

Rzutem

iloczynu kartezjańskiegoQ

i∈IAi rodziny zbiorów {Ai}i∈I

na j-tą współrzędną, gdziej ∈ I, nazywamy funkcję pr_j: Y i∈I Ai → Aj, daną wzorem pr_j(f ) = f (j). Uwaga

Gdy I = ∅ przyjmuje się, że Y

i∈∅

Ai = {∗},

Relacje

Definicja

Relacją

(binarną, dwuargumentową, dwuczłonową) pomiędzy elementami zbioru X iY nazywamy dowolny podzbiór R⊂ X × Y.

Dla x ∈ X , y ∈ Y stosujemy notację xRy ↔ (x, y ) ∈ R.

Definicja

Dziedziną relacji

R⊂ X × Y nazywamy zbiór D(R) = {x ∈ X | ∃y∈Y xRy} = prX(R).

Przeciwdziedziną relacji

R ⊂ X × Y nazywamy zbiór D∗(R) = {y ∈ Y | ∃x∈X xRy} = prY(R).

Relacje – cd.

Definicja

Relacją odwrotnądo relacjiR⊂ X × Y nazywamy relację R−1_{⊂ Y × X} zadaną warunkiem

yR−1

x↔ xRy .

Definicja

Złożeniem relacjiR⊂ X × Y orazS⊂ Y × Z nazywamy relację

oznaczaną przez R· S ⊂ X × Z, zadaną warunkiem x(R · S)z ↔ ∃y ∈Y xRy ∧ ySz.

Definicja

Relację R⊂ X × Y nazywamyfunkcją częściową, jeśli ∀x∈X∀y ∈Y∀y′∈Y xRy ∧ xRy′→y = y′,

Relacje – cd.

Definicja

Relację R⊂ X × Y nazywamy

funkcją

jeśli jest funkcją częściową

oraz

∀x∈X∃y∈YxRy,

tzn. każdy x ∈ X jest w relacji z dokładnie jednym elementem

zbioru Y.

Definicja

Relacje – przykłady

Niech X = {1,2,3}, Y = {3,4}, Z = {1,2,3}.Ustalamy relacje R ⊂ X × Y orazS ⊂ Y × Z

R = {(1,3), (2,3), (3,4)}, S = {(3,1), (3,2), (4,1)}.

Wtedy

D(R) = X , D∗(R) = Y , D(S) = Y , D∗(S) = {1,2},

relacjaR jest funkcją,

relacjaS nie jest funkcją, bo 3S1∧3S2∧16=2, R−1= {(3,1), (3,2), (4,3)},

Własności relacji

Relację R⊂ X × X nazywamy

i)

zwrotną

, jeśli∀x∈X xRx,

ii)

przeciwzwrotną

, jeśli∀x∈X ¬xRx, iii)

symetryczną

, jeśli∀x∈X∀y∈X xRy→yRx, iv)

asymetryczną

, jeśli ∀x∈X∀y∈X xRy→¬yRx,

v)

antysmetryczną

, jeśli∀x∈X∀y∈X xRy ∧ yRx→x = y, vi)

przechodnią

, jeśli∀x∈X∀y∈X∀z∈X xRy∧ yRz→xRz, vii)

spójną

, jeśli∀x∈X∀y∈X xRy∨ yRx ∨ x = y .

Przykład

Relacja R⊂ R × Rzadana warunkiem xRy ↔ x ≤ y jest zwrotna,

nie jest przeciwzrotna (np. 0R0), nie jest symetryczna (np.

1R2∧ ¬(2R1)), nie jest asymetryczna (np.¬(0R0→¬0R0)), jest

Relacja częściowego porządku

Definicja

Relację R⊂ X × X nazywamy relacją

częściowego porządku

, jeśli

jest zwrotna, antysymetryczna oraz przechodnia. Relację R

nazywamy relacją

porządku liniowego

, jeśli jest relacją częściowego porządku i jest spójna.

Przykład

Dla niepustego zbioru X niech R będzie relacją na P(X ) zadaną

warunkiem ARB ↔ A ⊂ B. Relacja R jest relacją częściowego

porządku i jest relacją porządku liniowego dokładnie wtedy, gdy zbiór X ma co najwyżej jeden element.

i) A⊂ A,

ii) A⊂ B ∧ B ⊂ A→A = B,

Relacja podzielności

Definicja

Dla m, n ∈ Zorazm6=0 mówimy, że liczban jest podzielna przez

liczbę m jeśli istniejek ∈ Ztakie, że n= km. Piszemym|n. m|n ↔ ∃k∈Z n= km.

Stwierdzenie

Relacja R⊂ N>0× N>0 zadana warunkiem

mRn↔ m|n,

Relacja podzielności – dowód

i) n =1· nzatemn|n,

ii) jeślin|m oraz m|n, to istniejąk, k′ _{∈ N} takie, że

m= kn, n = k′m, zatemm= kk′m, skądk = k′=1,zatem m= n.

iii) jeślim|n oraz n|l, to istnieją k, k′ ∈ N takie, żen = km oraz l = k′n, zateml = kk′m, czyli m|l.

Porządek leksykograficzny

Definicja

Relacja

porządku leksykograficznego

≤lex⊂ Nn× Nn

zadana warunkiem

α ≤lex β ↔ (α1 < β1)∨((α1= β1)∧(α2, . . . , αn) ≤lex (β2, . . . , βn)),

Porządek leksykograficzny cd.

Przykład

(0,0) ≤lex (0,1) ≤lex (0,2) ≤lex (0,3) ≤lex . . .

≤lex(1,0) ≤lex (1,1) ≤lex (1,2) ≤lex (1,3) ≤lex . . .

≤lex(2,0) ≤lex (2,1) ≤lex (2,2) ≤lex (2,3) ≤lex . . .

Porządek leksykograficzny z gradacją

Definicja

Dla α ∈ Nn niech

|α| = α1+ . . . + αn.

Definicja

Relacja

porządku leksykograficznego z gradacją

≤grlex⊂ Nn× Nn

zadana warunkiem

α ≤grlex β ↔ (|α| < |β|) ∨ (|α| = |β| ∧ α ≤lex β),

Porządek leksykograficzny z gradacją cd.

Przykład

(0,0) ≤grlex(0,1) ≤grlex(1,0) ≤grlex

≤grlex(0,2) ≤grlex(1,1) ≤grlex(2,0) ≤grlex

≤grlex(0,3) ≤grlex(1,2) ≤grlex(2,1) ≤grlex (3,0) ≤grlex . . .

Porządki jednomianowe

Uwaga

Oba porządki są dobre (zobacz następny wykład) i spełniają warunek

α ≤lex β → α + γ ≤lex β + γ,

dla dowolnego γ ∈ Nn i przenoszą się na jednomiany w zmiennych

x₁, . . . , xn, tzn. xα ≤lex xβ ↔ α ≤lex β, gdzie xα = xα1 1 . . . , xnαn. Uwaga

Porządki ≤lex i≤grlex to

porządki wielomianowe

, używane przy

Przykłady

W pierścieniu wielomianów z dwoma zmiennymi x₁, x₂

1≤lex x2 ≤lex x₂2 ≤lex x₂3 ≤lex . . .

≤lex x1 ≤lex x1x2 ≤lex x1x₂2 ≤lex x1x₂3 ≤lex . . .

≤lex x₁2 ≤lex x₁2x2 ≤lex x₁2x₂2≤lex x₁2x₂3 ≤lex . . .

...

1≤grlex x2 ≤grlex x1 ≤grlex

≤grlex x₂2 ≤grlex x1x2 ≤grlex x₂2 ≤grlex

≤grlex x₂3 ≤grlex x1x₂2≤grlex x₁2x2≤grlex x₁3 ≤grlex . . .

Diagram Hassego

Definicja

Dla relacji częściowego porządku R ⊂ X × X na skończonym

zbiorze X,

diagramem Hassego

nazywamy niezorientowany graf,

którego wierzchołkami są elementy zbioru X, a wierzchołki x, y ∈ X są połączone krawędzią, gdyxRy oraz

∀z∈XxRz ∧ zRy →(z = x) ∨ (z = y ).Dodatkowo, wtedy

Diagram Hassego – cd.

diagram Hassego dla relacji zawierania na P({1,2,3}) ∅

{1} {2} {3}

{2,3} {1,3} {1,2} {1,2,3}

Monoid

Definicja

Monoidemnazywamy dowolną parę(M, ·), gdzieM jest zbiorem a · : M × M → M,

funkcją spełniającą warunki

i) istnieje elemente∈ M taki, żeem= me = mdla dowolnego m∈ M (element neutralny),

ii) dla dowolnychm, n, k ∈ M zachodzi(mn)k = m(nk)(łączność).

Uwaga

Element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie, bo jeśli eoraze′

spełniają są elementami neutralnymi, to

e= ee′ = e′

Monoid cd.

Monoid M można zdefiniować nie odwołując się wprost do elementów

zbioruM.

Stwierdzenie

ZbiórM jest monoidem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją funkcje η : {1} → M,

µ : M × M → M,

takie, że następujące diagramy są przemienne

M× {1}idM×η_// pr₁ %% ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ M× M µ  {1} × M η×idM oo pr₂ yyrrrr rrrr rr M M× M × M µ×idM _// idM×µ  M× M µ  M× M µ // M

gdziepr₁, pr₂oznaczają rzuty odpowiednio na pierwszą i drugą

Monoid cd.

Dowód. Jeśli

η(1) = e, µ(m, n) = mn,

to przemienność diagramów jest równoważna zachodzeniu warunkówi)

orazii)w definicji monoidu.

Uwaga

Mówimy, że diagram jestprzemiennyjeśli dowolne dwa złożenia funkcji (odpowiadających strzałkom w diagramie) o wspólnych dziedzinach i przeciwdziedzinach jest równe.

Quasi–porządek

Definicja

Relację R⊂ X × X na zbiorze X nazywamy

quasi–porządkiem

/

praporządkiem

(ang. preorder), jeśli jest

i)

zwrotna

, tzn.∀x∈X xRx,

ii)

przechodnia

, tzn.∀x∈X∀y∈X∀z∈X xRy∧ yRz→xRz.

Przykład

Quasi–porządkiem jest, na przykład, relacja osiągalności na zbiorze wierzchołków grafu skierowanego.

Stwierdzenie

Niech (M, ·) będzie monoidem. Wtedy relacjaR⊂ M × M zadana

warunkiem

xRy ↔ ∃z∈My = xz,

Quasi–porządek cd.

Dowód.

Ćwiczenie.

Uwaga

Monady

Uwagi

Modyfikując definicję posługującą się przemiennością diagramów, można podać definicję monoidu, zastępując zbiór M obiektem

ścisłej kategorii monoidalnej (tj. kategorii posiadającą funktor ⊗,

nazywany

iloczynem tensorowym

, o własnościach podobnych do iloczynu kartezjańskiego).

Przykładem ścisłej kategorii monoidalnej jest np. kategoria zbiorów Set, ale także kategoria endofunktorów pewnej kategorii C.

Obiektami tej kategorii są funktory F:C→C, morfizmami

transformacje naturalne (2-funktory), a iloczynem tensorowym składanie endofunktorów.

Monada

to wybór endofunktora F:C→C oraz zadanie na nim

struktury monoidu w ścisłej monoidalnej kategorii endofunktorów. Szczegółowe definicje pojawią się w wykładzie nr 7.

Kategoryjna definicja iloczynu kartezjańskiego

Dla dowolnej rodziny zbiorów {Ai}i∈I indeksowanej przez zbiórI,

zbiór Q

i∈IAi posiada następującą

własność uniwersalną

.

Stwierdzenie

Dla dowolnego zbioru B oraz rodziny funkcji {gi: B → Ai}i∈I

istnieje

dokładnie jedna

funkcja h: B →Q_i∈IAi taka, że

gi = pri◦h,

gdziepri jest rzutem nai-tą współrzędna w iloczynie kartezjańskim.

Dowód.

Jeśli pewne Xi = ∅, wtedy takżeY = ∅, a funkcja h= ∅ spełnia

warunki stwierdzenia. Gdy I = ∅ istnieje dokładnie jedna funkcja h: B → {∅}, a warunek złożenia jest pusto spełniony. W

pozostałych przypadkach, dla dowolnego b∈ B (h(b))(i ) = gi(b).

Kategoryjna definicja iloczynu kartezjańskiego cd.

Uwaga

Powyższą własność można przyjąć jako definicję iloczynu kartezjańskiego w kategorii zbiorów. Definiuje ona iloczyn kartezjański z

dokładnością do jednoznacznie ustalonego

izomorfizmu

.

W przypadku gdy I = {1,2} definicję można przedstawić na

diagramie przemiennym B h ✤ ✤ ✤ g1 ✟✟✟✟ ✟✟✟✟ ✟✟✟✟ ✟✟✟✟ g2 ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ A₁× A₂ pr₁ zz✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈ pr₂ $$ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ A₁ A₂

Zadanie

Niech k₁◦ pr₁ = k₂◦ pr₂. Jaki zbiórC jest zdefiniowany warunkiem:

dla dowolnego zbioru B oraz funkcjigi: B → Ai dlai =1,2 takich,

że g₁◦ pr₁= g₂◦ pr₂ istnieje dokładnie jedna funkcja h: B → C

taka, że pr_i◦h = gi dla i =1,2? B h ✤ ✤ ✤ g1 ✍✍✍✍ ✍✍✍✍ ✍✍✍✍ ✍✍✍ g2 ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ C pr₁ ~~⑦⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦⑦ pr₂ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ A₁ k₁ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ A2 k₂ ~~⑦⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦⑦ A