Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów

Kryteria Dirichleta i Abela

zbieżności szeregów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów

Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Kryterium Dirichleta

Kryterium Dirichleta

Jeżeli ciąg jest malejący i zbieżny do zera oraz ciąg sum cześciowych szeregu jest ograniczony, to szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Skorzystamy z Kryterium Dirichleta, w którym i .

Ciąg jest malejący i oraz , czyli ciąg jest

ograniczony.

Zatem z kryterium Dirichleta szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Zbadaj zbiezność szeregu . Rozwiaznie:

Skorzystamy z Kryterium Dirichleta oraz ze wzoru .

Niech i .

Ciąg jest malejący i oraz ,

czyli ciąg jest ograniczony.

Zatem, z kryterium Dirichleta, szereg jest zbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: Kryterium Abela

Kryterium Abela

Jeżeli szereg jest zbieżny oraz ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

( )

a

n

S

n

= + + ⋯ +

b

1

b

2

b

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞ n=1

a

n

b

n

∑

∞ n=1 e −n n

=

a

n _n1

b

n

=

e

−n

( )

a

n

lim

n→∞

a

n

= 0

| | = + + ⋯ +

S

n

∣∣

1_{e e}12 _e1n

∣∣ ∣∣∣

= ⋅

1_e

<

1−1 en 1−1 e

∣

∣∣

e−11

( )

S

n

∑

∞ n=1 e −n n

∑

∞ n=1 sin nπ 3 n √

sin (ix) =

∑

n

i=1 cos −cos x 2 (2n+1)x 2 2 sinx 2

=

a

n _√1_n

b

n

= sin

nπ₃

( )

a

n

lim

n→∞

a

n

= 0

| | =

S

n

∣∣∑

ni=1

sin (i ) =

π3

∣∣

∣

_∣

∣

cos −cos

= 2 sin (n + 1) sin n < 2

π 6 (2n+1)π 6 2 sinπ 6

∣

∣

∣ ∣∣

π 3 π3

∣∣

( )

S

n

∑

∞ n=1 sin nπ 3 n √

∑

∞ n=1

a

n

( )

b

n

∑

∞n=1

a

n

b

n

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zastosujemy Kryterium Abela, w którym i .

Szereg jest szeregiem harmonicznym zbieżnym oraz ciąg jest malejący i , co implikuje ograniczoność ciągu .

Zatem z kryterium Abela szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Zbadaj zbieżność szeregu .

Rozwiązanie:

Zastosujemy Kryterium Abela, gdzie i .

Szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, zbieznym z kryterium Cauchy'ego, bo . Ciąg jest rosnący i , co implikuje ograniczoność ciągu .

Zatem z kryterium Abela szereg jest zbieżny.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:07:59

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=0ab3091ffee90dda44cee454f4890040

Autor: Katarzyna Czyżewska

sin

∑

∞ n=1 n12 _n1

=

a

n _n12

b

n

= sin

1_n

∑

∞ n=1

a

n

( )

b

n

lim

n→∞

b

n

= 0

( )

b

n

sin

∑

∞ n=1 n12 1_n

∑

∞ n=1 ₃n_{(1− )}n₃2n

=

a

n ₃nn

b

n

=

₁₋₃12n

∑

∞ n=1

a

n

lim

n→∞ ₃nn

= < 1

−−

√

n 1 3

( )

b

n

lim

n→∞

b

n

= 0

( )

b

n

∑

∞ n=1 ₃n_{(1− )}n₃2n