6. Ró»niczkowanie pod znakiem caªki
w. 6.1 Oblicz pochodne ∂ ∂t Z A f (t, x)µ(dx), gdzie 1. A := [1, 2], f(t, x) := x−1exp(tx4/3), µ := l, 2. A := [1, 2], f(t, x) := x−1cos(2πtx3), µ := l, 3. A := R+, f (t, x) := exp(tx), µ :=P ∞ k=1δk/k!, 4. A := R+, f (t, x) := cos(tx), µ := P ∞ k=1δk/k!(wskazówka: cos(tx) = Re(exp(itx))).
w. 6.2 (*) Niech µ b¦dzie pewn¡ miar¡ sko«czon¡ na przedziale ograniczonym [a, b], − ∞ < a < b < ∞. Przez Lµ oznaczymy transformat¦ Laplace'a miary µ
Lµ(t) := Z exp(tx)µ(dx). Pokaza¢, »e ∂k ∂tkLµ(0) = Z xkµ(dx).
Wywnioskowa¢ st¡d, »e Lµ(t)jest funkcj¡ analityczn¡ na caªym R, rozwijaln¡ w szereg
Taylora Lµ(t) = ∞ X k=0 R xkµ(dx) k! t k .
