Metody analizy sygnałów wibroakustycznych

INSTYTUT KONSTRUKCJI MASZYN

LABORATORIUM

METODY ANALIZY SYGNAŁÓW

WIBROAKUSTYCZNYCH

Methods of analyzing vibro-acoustics signal

Zakres

ć

wiczenia:

1. Rodzaje sygnałów.

2. Metody analizy sygnałów w dziedzinie czasu.

3. Metody analizy sygnałów w dziedzinie cz

ę

stotliwo

ś

ci.

Do wykonania przez studentów:

1. Wykona

ć

pomiary i analizy wybranych typów sygnałów w dziedzinie czasu.

2. Wykona

ć

pomiary i analizy wybranych typów sygnałów w dziedzinie cz

ę

stotliwo

ś

ci.

3. Wykona

ć

sprawozdanie.

1. OGÓLNY PODZIAŁ SYGNAŁÓW

1.1. Rejestracja i przetwarzanie sygnałów wibroakustycznych

Wibroakustyka praktyczna (eksperymentalna) opiera się na pomiarach i rejestracji sygnałów drgań i hałasu generowanych przez maszyny. Sygnały wibroakustyczne w postaci pierwotnej stanowią

określone wielkości mechaniczne i aby mogły zostać zarejestrowane podlegają przetworzeniu na wielkości elektryczne. W budowie przetworników wykorzystuje się fizyczne analogie elektro – mechaniczne np. zjawisko piezoelektryczne.

Przetworzony sygnał wejściowy jest najczęściej słabym sygnałem napięciowym, który musi być odpowiednio wzmocniony. W analizatorach cyfrowych sygnał próbkowany jest w dyskretnych odstępach czasu. Następnie sygnał podlega kodowaniu, czyli zamianie postaci analogowej na cyfrową, która jest zapamiętywana przez urządzenie rejestrujące. Przesyłanie sygnałów w postaci cyfrowej jest najmniej podatne na zakłócenia. Przewaga cyfrowego przetwarzania sygnału na przetwarzaniem analogowym ujawnia się przy stosowaniu bardziej zaawansowanych technik analizy sygnału, gdzie w niektórych przypadkach nie istnieją w ogóle analogowe sposoby przetwarzania

Rys. 1. Próbkowanie i odtwarzanie sygnałów analogowych: a) schemat blokowy układu próbkującego i odtwarzającego sygnał analogowy, b) przebieg czasowy sygnału i jego próbkowanie, c) przebieg czasowy będący

odtworzeniem sygnału

Częstotliwość próbkowania sygnału musi zostać dobrana przy uwzględnieniu twierdzenia Shannona: JeŜeli sygnał ciągły ma ograniczone widmo, czyli nie zawiera składowych częstotliwości wyŜszych niŜ fg, to taki sygnał moŜe być odtworzony bez zniekształceń z próbek pobieranych z

częstotliwością nie mniejsza niŜ 2fg.

Gdy powyŜsza zaleŜność jest niespełniona pojawia się zjawisko aliasingu, polegające na tym

Ŝe w sygnale po przetworzeniu w przetworniku A/C pojawiają się składowe których nie ma w sygnale wejściowym. Częstotliwości tych składowych są kombinacją częstotliwości sygnału wejściowego i częstotliwości próbkowania. Aby moŜna było być pewnym Ŝe podczas próbkowania nie wystąpiło zjawisko aliasingu stosuje się na wejściu przetworników A/C analogowe dolnoprzepustowe filtry anyaliasingowe. Zadaniem tych filtrów jest usunięcie z próbkowanego sygnału składowych o częstotliwościach większych niŜ połowa częstotliwości próbkowania.

1.2. Klasyfikacja sygnałów zdeterminowanych

Sygnały wielkości fizycznych moŜna zaliczyć do dwóch głównych grup - sygnałów zdeterminowanych i sygnałów losowych. Klasyfikacja taka przedstawiona jest schematycznie na rysunku poniŜej.

Rys. 2. Klasyfikacja sygnałów zdeterminowanych

Sygnały zdeterminowane to takie, których przebiegi moŜna w sposób jednoznaczny opisać

za pomocą funkcji matematycznych, przy czym opis ten nie moŜe zawierać wielkości losowych

Sygnały okresowe – to takie, które w dziedzinie czasu moŜna opisać funkcją x(t) taką, Ŝe istnieje T naleŜące do przedziału 0<T<+∞, Ŝe dla kaŜdej chwili czasu t zachodzi równość:

x(t+T) = x(t), przy czym wartość T nazywa się okresem sygnału.

Sygnały nieokresowe – sygnały, dla których nie jest spełniony warunek okresowości.

Sygnały harmoniczne

Sygnałami harmonicznymi (sinusoidalnymi) nazywa się takie sygnały okresowe, które mogą

być opisane następującą funkcją czasu:

)

2

sin(

)

(

t

=

A

⋅

⋅

π

⋅

f

⋅

t

+

ϕ

x

gdzie: A – amplituda sygnału, fo – częstotliwość (w Hz, czyli liczbie cykli na sekundę), 2πfo = ωo – częstotliwość kątowa (w rad/s), ϕ - przesunięcie fazowe (rad),

t -rozpatrywana chwila czasu (s).

ZaleŜność ta moŜe być przedstawiona w formie wykresu w funkcji zmiennej np. czas lub w interpretacji amplitudowo-częstotliwościowej (widmowej).

ms 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 3 2 1 0 -1 -2 -3

Rys. 3. Przebieg sygnały sinusoidalnego i jego widmo

Jest to sinusoida o okresie T = 1/f. Oznacza to, Ŝe sygnał harmoniczny jest ruchem okresowym, dla którego T jest czasem realizacji jednego pełnego cyklu.

Z zaleŜności tej wynika, Ŝe kaŜdy sygnał harmoniczny jest jednoznacznie określony wielkościami: X, fo i ϕ . Warto zauwaŜyć, Ŝe przedstawione na wykresie widmo częstotliwości składa się z jednego składnika amplitudowego (prąŜka) przy danej częstotliwości w przeciwieństwie do ciągłego rozkładu amplitud na osi częstotliwości.

Sygnały poliharmoniczne

Sygnały poliharmoniczne – to takie, które są kombinacją liniową co najmniej dwóch sygnałów harmonicznych, zwanych sygnałami składowymi. Liczba składowych sygnału poliharmonicznego moŜe być w ogólnym przypadku nieskończona. PoniŜej przedstawiono przykład opisu matematycznego sygnału poliharmonicznego złoŜonego z sumy dwóch składowych harmonicznych:

)

2

sin(

)

2

cos(

)

(

t

=

A

⋅

⋅

π

⋅

f

⋅

t

+

ϕ

+

A

⋅

⋅

π

⋅

f

⋅

t

+

ϕ

x

Sygnały harmoniczne stanowią szczególny przypadek sygnałów poliharmonicznych. Aby sygnał mógł być uznany za poliharmoniczny, częstotliwość kaŜdej jego składowej musi być całkowitą

wielokrotnością pewnej częstotliwości f zwanej częstotliwością podstawową.

ms 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10,0 -12,5

Rys. 4. Przebieg sygnału poliharmonicznego i jego widmo

Sygnały prawie okresowe

Sygnały prawie okresowe są to takie sygnały nieokresowe, które mogą być zdefiniowane matematycznie za pomocą funkcji czasu o następującej postaci:

( )

(

)

n=1

x t

X

sin 2π f

t

Θ

∞

=

∑

⋅

⋅

⋅ +

Sygnały, które powstały w wyniku sumowania dwóch lub więcej fal sinusoidalnych o dowolnych częstotliwościach, nie są na ogół sygnałami okresowymi. Mówiąc dokładniej, suma dwóch lub więcej fal sinusoidalnych tworzy sygnał okresowy tylko w tym przypadku, gdy stosunki wszystkich moŜliwych par częstotliwości wyraŜają się liczbami wymiernymi.

Jedną z waŜniejszych właściwości sygnałów prawie okresowych jest to, widmo prąŜkowe jest analogiczne do widma sygnału poliharmonicznego. Jedyna róŜnica polega na tym, Ŝe częstotliwości prąŜków jak wynika z rys. 5 nie są względem siebie współmierne, czyli nie są równo od siebie oddalone. ms 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10,0 -12,5

1.3. Klasyfikacja sygnałów losowych

Sygnały odpowiadające losowym zjawiskom fizycznym nie mogą być opisane dokładnymi zaleŜnościami matematycznymi, poniewaŜ wynik kaŜdej obserwacji sygnału jest jedyny (nieodtwarzalny). Pojedyncza funkcja czasu, opisująca zjawisko losowe, nazywa się funkcją losową lub realizacją, a przy skończonym przedziale czasu - sygnałem obserwowanym.

Rys. 6. Klasyfikacja sygnałów losowych

Do opisania głównych właściwości sygnałów losowych stosuje się cztery funkcje statystyczne: • wartośćśredniokwadratową

• funkcję gęstości prawdopodobieństwa • funkcję autokorelacji

• funkcję widmowej gęstości mocy

2. ANALIZA SYGNAŁÓW

2.1. Analiza w dziedzinie czasu

Wartości średnia, skuteczna i szczytowa stanowią podstawowe miary analizowanego sygnału, wyliczenie tych wartości jest wymagane nawet w najbardziej podstawowych zastosowaniach. Współczynnik szczytu jest miarą impulsowości sygnału.

Wartośćśrednia:

=

∫

dt

t

u

T

u

)

(

1

=

∫

u

t

dt

T

u

)

(

1

Wartości szczytowe:

u

=

max

[ ]

u

(

t

)

u

=

min

[ ]

u

(

t

)

− + −P

=

−

u

u

u

u

u

CRF

=

2.2. Analiza w dziedzinie cz

ę

stotliwo

ś

ci

Do przejścia z funkcji czasu na funkcję częstotliwości moŜna wykorzystać przekształcenie Fouriera. Przekształcenie Fouriera opiera się na załoŜeniu, Ŝe kaŜdy sygnał spełniający tzw. warunki Dirichleta (spełniają je między innymi wszystkie funkcje ciągłe), moŜna przedstawić jako sumę

szeregu sygnałów o róŜnych częstotliwościach:

[

]

1

( )

cos(

)

cos(

)

2

x t

A

A

n

ω

t

B

n

ω

t

= ⋅ +

_∑

⋅

⋅ ⋅ +

⋅

⋅ ⋅

Sygnały dyskretne (próbkowane) przeprowadza się z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości za pomocą tzw. dyskretnej transformaty Fouriera, w której operacje całkowania są

zastąpione operacjami sumowania.

W rezultacie DFT otrzymuje się (1+ 2M -1) – elementowy wektor A:

2 2 1 2 0 π   − − _ ⋅ ⋅_ =

=

∑

⋅

T

A

v e

N

gdzie: m – numer elementu wektora A odpowiadający częstotliwości f(m) = m / T

Transformata Fouriera jest zawsze zespolona, stąd zawiera dwa rodzaje informacji: amplitudę

oraz fazę.

W celu wykonania analizy DFT dokonuje się „wycięcia” fragmentu przebiegu czasowego sygnału (określonej liczby próbek). Najprostszym przypadkiem jest wycięcie sygnału za pomocą okna prostokątnego odpowiadającego po porostu przedziałowi czasu o skończonej długości. UŜycie okna prostokątnego powoduje jednak powstanie silnego efektu przecieku widma, objawiającego się przez maskowanie słabszych prąŜków widma przez pobliskie prąŜki o większych amplitudach. Aby zminimalizować to zjawisko stosuje się zamiast okna prostokątnego okna o innych kształtach, takich aby wartości analizowanego ciągu próbek na początku i na końcu przedziału zmierzały gładko do wartości minimalnej (rysunki 7 i 8). Najczęściej spotykane typy okien to okno Hanninga, Hamminga, trójkątne, Czebyszewa, Blackmana.

ms 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0

Rys. 7. Sygnał wejściowy

ms 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 7,5 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 -7,5

Rysunek 9 przedstawia widmo sygnału harmonicznego o częstotliwości 1000 Hz okienkowanego oknem prostokątnym oraz oknem Hanninga.

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 f [Hz] -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 U [ d B ]

Rys. 9. Analiza widmowa sygnału prostokątnego zastosowaniem okna prostokątnego (linia czerwona) i okna Hanninga (linia niebieska).

Filtracja sygnału

Podczas analizy sygnałów wibroakustycznych często zachodzi potrzeba znajomości wartości sygnału w określonym paśmie częstotliwości. Aby wykonać tego typu analizę konieczna jest filtracja sygnału przy wykorzystaniu odpowiednio dobranych filtrów. RozróŜnia się kilka podstawowych typów filtrów:

• filtr dolno-przepustowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach wyŜszych niŜ częstotliwość

graniczna),

• filtr górno-przepustowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach niŜszych niŜ częstotliwość

graniczna),

• filtr pasmowo-przepustowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach innych niŜ zdefiniowane pasmo filtra),

• filtr pasmowo – zaporowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach takich jak zdefiniowane pasmo filtra).

Filtry pasmowo-przepustowe i pasmowo – zaporowe buduje się poprzez odpowiednie złoŜenie filtrów dolno i górno-przepustowych.

NajwaŜniejszymi parametrami filtrów są częstotliwość graniczna i stromość nachylenia charakterystyki filtra poza pasmem przepustowym.

Częstotliwość graniczna określana jest najczęściej dla punktu charakterystyki w którym tłumienie sygnału osiąga 3 dB (rysunek 10).

Częstotliwość T łu m ie n ie [ d B ] fgran 0 -3 Częstotliwość T łu m ie n ie [ d B ] fgran 0 -3

Nachylenie charakterystyki filtra decyduje o wielkości tłumienia sygnałów poza pasmem przepustowym, im bardziej stromo opada charakterystyka tym filtr jest bardziej zbliŜony do idealnego. Stromość nachylania określa się w jednostkach dB/okt (przykładowo nachylenie 24 dB/okt oznacza Ŝe dwukrotna zmiana częstotliwości sygnału powoduje stłumienie go o 24 dB ).

W przypadku filtrów pasmowych (przepustowych i zaporowych)podstawowymi parametrami są

częstotliwość środkowa pasma i szerokość pasma czyli róŜnica posiedzi częstotliwościami granicznymi górną i dolną. RozróŜnia się dwa typy filtrów pasmowych:

• filtry o stałej szerokości pasma,

• filtry o stałej względnej szerokości pasma.

Częstotliwość T łu m ie n ie [ d B ] f_g 0 -3 f_d fśr B

Rys. 11. Charakterystyka filtra pasmowo-przepustowego

Filtry o stałej częstotliwości pasma B charakteryzują się tym Ŝe ich szerokość nie zmienia się

przy zmianie częstotliwości środkowej (przestrajaniu filtra). Przykładowo pasmo filtra o szerokości pasma 10 Hz i częstotliwości środkowej fśr =100 Hz zawiera się w granicach fd=95Hz do fg=105Hz a

takiego samego filtra o częstotliwości środkowej fśr =1000 Hz zawiera się w granicach fd=995Hz do

fg=1005Hz.

W przypadku filtrów o stałej względnej szerokości pasma relacja pomiędzy szerokością pasma B i częstotliwością środkową fsr jest wielkości stałą (filtry o wyŜszych częstotliwościach środkowych

mają większą szerokość pasma). Do tego typu filtrów naleŜą wykorzystywane bardzo często podczas pomiarów wibroakustycznych filtry oktawowe i 1/3 – oktawowe. W przypadku filtrów oktawowych wartość relacji B/fsr wynosi

1

2

1

3

2

filtrów oktawowych zachowują relację równą 2 (np. …,.31,5Hz, 63Hz, 125Hz, …..). W paśmie jednego filtra oktawowego mieszczą się pasma 3 filtrów 1/3 – oktawowych (np. do filtra oktawowego 63Hz – filtry tercjowe 50Hz, 63Hz i 80Hz). Po przefiltrowaniu sygnału w poszczególnych pasmach dla kaŜdego pasma obliczana jest wartość skuteczna sygnału (bądź szczytowa) i w razie potrzeby jego poziom. Analizę oktawową przedstawia się na wykresach w zaleŜności od częstotliwości (przykładową

2 5 3 1 .5 ₄0 ₅0 ₆3 ₈0 1 0 0 1 2 5 1 6 0 2 0 0 2 5 0 3 1 5 4 0 0 5 0 0 6 3 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 5 0 1 6 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 1 5 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 3 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 5 0 0 1 6 0 0 0 f [Hz] -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 Lp A [ d B ]

Rys. 12. Analiza FFT sygnału wejściowego i okienkowanego (krzywa wyŜsza)

Na podstawie informacji o wartościach skutecznych (ew. poziomach) w poszczególnych oktawach moŜna obliczyć wartość skuteczną (poziom) analizowanego sygnału.

∑

=

X

X

∑

⋅

=

L

10

log

10

3. WYKONANIE

Ć

WICZENIA

• Badanie podstawowych estymat czasowych sygnału.

Badanie polega na określeniu wartości średniej, skutecznej, szczytowej oraz współczynnika szczytu wybranych sygnałów. Wykorzystując układ pomiarowy (np. taki jak przedstawiony na rysunku) naleŜy zarejestrować przebiegi czasowe wygenerowanych sygnałów.

1 _{2 3}

Rys. 13. Schemat stanowiska pomiarowego (1 – generator sygnału, 2 - przetwornik A/C, 3 - komputer z oprogramowaniem do akwizycji i analizy sygnałów)

Zarejestrowane wybrane sygnały a następnie dokonać obliczeń (zaleŜności 4 – 7) podstawowych estymat sygnałów.

Tabela 1 Analiza estymat czasowych sygnałów

L.p. Wykres fragmentu przebiegu czasowego badanego sygnału

Wartość średnia [ ] Wartość skuteczna [ ] Wartość szczytowa [ ] Współczynnik szczytu

Opisać analizowany przebieg (kształt, okresowość, inne uwagi)

Dokonać porównania wartości mierzonych estymat pomiędzy poszczególnymi sygnałami – wyciągnąć wnioski.

Dla wszystkich przebiegów okresowych określić częstotliwość.

Dla przebiegu harmonicznego określić długość okresu i częstotliwość oraz podać

minimalną częstotliwość próbkowania. • Analiza sygnału w dziedzinie częstotliwości.

Wykonać analizy częstotliwościowe sygnałów przedstawionych w tabeli 1. Dokonać

identyfikacji podstawowych składowych widma (częstotliwość, amplituda) - uzupełnić tabelę 2

Tabel 2 Analiza widmowa

L.p. Analiza widmowa badanego sygnału

Identyfikacja składowych (częstotliwość

Opisać otrzymane widma sygnału, dokonać identyfikacji składowych

Dokonać kwalifikacji badanych sygnał zgodnie z rys 2 i rys 7

Obliczyć relację pomiędzy częstotliwościami składowych analizowanego sygnału – wyciągnąć wnioski

• Dla wybranego przebiegu wykonać analizę widmową z zastosowaniem okna Hanninga i z zastosowaniem okna prostokątnego..

Tabela 3 Wpływ zastosowania okna wygładzającego na widmo analizowanego sygnału

Widmo sygnału (okno prostokątne) Przebieg czasowy (okno Hanninga)

Porównać otrzymane analizy – wyciągnąć wnioski dotyczące wpływu zastosowania okna wygładzającego.

• Na podstawie zarejestrowanego widma sygnału naszkicować jego przybliŜony przebieg czasowy (z zaznaczeniem wartości i jednostek na osiach).

Tabela 4 Identyfikacja przebiegu czasowego na podstawie widma sygnału

• Filtracja sygnału

Wykonać analizę oktawową wybranego sygnału, określić poszczególnych zanotować wartości w poszczególnych oktawach, narysować wykres (patrz rys 12).

Tabela 5 Analiza oktawowa

Analiza oktawowa sygnału typu ………….. Sumaryczny

poziom sygnału

Napisać wnioski dotyczące wzajemnych relacji wartości sygnału w poszczególnych oktawach.

• Wnioski

4. LITERATURA.

[1] Cempel Czesław „Wibroakustyka stosowana" PWN, Warszawa 1989 r.

[2] Engel Zbigniew "Ochrona środowiska przed drganiami i hałasem" PWN, Warszawa 2001 r.

[3] Bendat, Piersol „Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych ”PWN, Warszawa 1976 r. [4] Lyons „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów” WKŁ, Warszawa 2000 r.