Podstawy przetwarzania sygnałów 1. Liczby zespolone — powtórka

Podstawy przetwarzania sygnałów 1. Liczby zespolone — powtórka

Ćw. 1.1 Niech x = 3 − 4i, y = 3 + i. Wyznacz x, y, x + y, x − y, x · y, ^x_y, |x| , |y|.

Ćw. 1.2 Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby x = 1 − i√

3, y = 1 + i, x · y, x y.

Ćw. 1.3 Narysuj wykres funkcji f : [−2, 2] → C, f (t) = 1 + it.

Ćw. 1.4 Oblicz pochodne funkcji f (t) = t + ¹_t + 2i(t − ¹_t) oraz g(t) = 2e^it+ 3e^−it.

Ważne:

e^z =

∞

X

k=0

z^k k!, cos z =

∞

X

k=0

(−1)^kz^2k 2k!,

sin z =

∞

X

k=0

z^2k+1 (2k + 1)!. Wzory Eulera:

e^iz = cos z + i sin z, e^−iz = cos z − i sin z, a stąd

cos z = e^iz + e^−iz

2 , sin z = e^iz− e^−iz 2i .

Ćw. 1.5 Oblicz sin i, cos i oraz e^−iπn. Ćw. 1.6 Oblicz moduł

a) e^−2iπ35, b) e^it, t ∈ R,

c) ^P∞_n=0 ⁽³ⁱ⁾_n!ⁿ.

Ćw. 1.7 Wykaż, że e^z = e^z oraz sin z = sin z.

Ćw. 1.8 Oblicz e³ⁱ, e²⁺ⁱ oraz ^e5i−e_2i⁻⁵ⁱ.