Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J S e ria: A U T O M A T Y K A z. 136
2002 N r k o l. 15 5 6
L u iz a D O L A T A , P a w e ł K O M IN E K P o lite c h n ik a P o z n a ń s k a
WYKORZYSTANIE INFORMACJI DODATKOWYCH W ALGORYTMIE EWOLUCYJNYM DLA 2-WYMIAROWEGO NIEREGULARNEGO PROBLEMU ROZKROJU
S t r e s z c z e n i e . W p ra c y ro z w a ż a n y j e s t p ro b le m 2 -w y m ia ro w e g o n ie re g u la rn e g o r o z k ro ju ( 2 -D C P ) m in im a liz u ją c y d łu g o ś ć ta ś m y . Z e w z g lę d u n a d u ż ą z ło ż o n o ś ć o b lic z e n io w ą d o j e g o r o z w ią z a n ia p ro p o n u je się z a s to s o w a n ie a lg o ry tm u e w o lu c y jn e g o z lo k a ln y m p r z e s z u k iw a n ie m (G L S ) b a z u ją c y m n a is to tn y c h c e c h a c h w s k a z a n y c h p r z e z e k s p e rta . W s z y s tk ie c e c h y s u g e ro w a n e p r z e z e k s p e rta p rz e d u w z g lę d n ie n ie m ic h w a lg o ry tm ie s ą z w e ry fik o w a n e e k s p e ry m e n ta ln ie z a p o m o c ą te s tu k o re la c ji. W p r a c y p r z e d s ta w io n o a d a p ta c ję a lg o ry tm u G L S , a w s z c z e g ó ln o ś c i d o s to s o w a n ie a lg o ry tm u lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia o ra z o p e ra to ra re k o m b in a c ji d o ro z w a ż a n e g o 2 -D C P . R o z d z ia ł 5 z a w ie ra e k s p e ry m e n t, w k tó ry m p o r ó w n u je się d z ia ła n ia s ta n d a rd o w e g o a lg o ry tm u e w o lu c y jn e g o z a lg o ry tm e m b a z u ją c y m n a p ro p o n o w a n y c h p r z e z e k s p e rta c e c h a c h .
THE USE OF ADDITIONAL INFORMATION IN EVOLUTION ARY
ALGORITHM FOR SOLVING TWO DIMENTION IRREGULAR CUTTING PROMBLEM
S u m m a r y . T h e p a p e r c o n s id e rs 2 - d im e n tio n c u ttin g p ro b le m (2 -D C P ) o f m in im iz in g th e s tr ip e le n g th . B e c a u s e o f h ig h c o m p u ta tio n a l c o m p le x ity o f th e p ro b le m th e u s e o f e v o lu tio n a r y a lg o rith m w ith lo c a l s e a rc h (G L S ) b a s e d o n s ig n ific a n t fe a tu re s is p r o p o s e d . T h e p a p e r p r e s e n ts a d a p ta tio n o f lo c a l s e a rc h a lg o rith m a n d re c o m b in a tio n o p e r a to r to th e c o n s id e r e d 2 -D C P . T h e o p e ra to r, w h ic h ta k e s in to a c c o u n t s ig n if ic a n t fe a tu r e s p r o p o s e d b y e x p e r t is e x p e rim e n ta lly v e rifie d . S e c tio n 5 in c lu d e s c o m p u ta tio n a l e x p e rim e n t, w h ic h c o m p a re s th e s ta n d a rd e v o lu tio n a ry a lg o rith m E A w ith th e G L S b a s e d o n s ig n ific a n t fe a tu re s .
1. Wprowadzenie
R ó ż n o r o d n o ś ć p r a k ty c z n y c h p r o b le m ó w w y w o łu je w ie lk ie z a in te re s o w a n ie ro z p o z n a w a n ie m n a tu r y ty c h p r o b le m ó w w c e lu o p r a c o w a n ia e fe k ty w n y c h m e to d s łu ż ą c y c h
34 L. D olata, P. K om inek
d o ic h r o z w ią z a n ia . W ię k s z o ś ć p ra k ty c z n y c h p r o b le m ó w o p ty m a liz a c ji k o m b in a to ry c z n e j z a lic z a n a j e s t d o k la s y tz w . p r o b le m ó w N P -tru d n y c h (G a re y , J o h n s o n 1 9 7 9 ), d la k tó ry c h p ra k ty c z n e z a s to s o w a n ie d o k ła d n y c h m e to d o p ty m a liz a c ji j e s t o g ra n ic z o n e j e d y n ie d o p r o b le m ó w o n ie w ie lk ic h r o z m ia ra c h . W y k a z a n ie N P -tru d n o ś c i p r o b le m u o p ty m a liz a c y jn e g o n ie p o c ią g a z a s o b ą k o n ie c z n o ś c i re z y g n a c ji z p o s z u k iw a ń p ro s te g o (w ie lo m ia n o w e g o ) a lg o ry tm u r o z w ią z u ją c e g o te n p ro b le m , tz n . z n a jd u ją c e g o ro z w ią z a n ie o e k s tre m a ln e j w a rto ś c i fu n k c ji c e lu . P o z o s ta ją d o w y b o ru d w ie d ro g i p o s z u k iw a n ia ro z w ią z a n ia . P ie r w s z a z n ic h p o le g a n a z a s to s o w a n iu a lg o ry tm u o z ło ż o n o ś c i w y k ła d n ic z e j, n p . a lg o ry tm p o d z ia łu i o g r a n ic z e ń lu b a lg o ry tm u p r o g ra m o w a n ia d y n a m ic z n e g o (J a n ia k 1 9 9 9 ). D ru g a p o le g a n a z n a le z ie n iu w ie lo m ia n o w e g o a lg o ry tm u a p ro k s y m a c y jn e g o , z n a jd u ją c e g o r o z w ią z a n ie p r z y b liż o n e (s u b o p ty m a ln e ). M e to d y p rz y b liż o n e , d o k tó ry c h m o ż n a z a lic z y ć m .in .:
h e u ry s ty k i, m e ta h e u ry s ty k i i sie c i n e u ro n o w e n ie g w a r a n tu ją u z y s k a n ia ro z w ią z a n ia o p ty m a ln e g o , a le p o z w a la ją n a z n a le z ie n ie „ d o b re g o ” ro z w ią z a n ia w c z a s ie a k c e p to w a ln y m d la u ż y tk o w n ik a . D o b ry m p rz y k ła d e m a lg o ry tm ó w z z a k re s u r o z w ią z y w a n ia p r o b le m ó w k o m b in a to r y c z n y c h m o g ą b y ć a lg o ry tm y h y b ry d o w e , k tó re p o w s ta j ą w s k u te k p o łą c z e n ia a lg o r y tm ó w m e ta h e u ry s ty c z n y c h z a lg o ry tm a m i lo k a ln e g o p rz e s z u k iw a n ia . N a p rz y k ła d J o h n s o n ( 1 9 9 0 ) z a s to s o w a ł a lg o ry tm lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia z s y m u lo w a n y m w y ż a r z a n ie m , a F re is le b e n , M e r z (1 9 9 6 ) p o łą c z y li a lg o ry tm lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia z a lg o r y tm e m g e n e ty c z n y m . Z a d a n ie m a lg o ry tm u lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia (a n g . lo c a l s e a rc h ) j e s t z n a le z ie n ie o p tim u m lo k a ln e g o w o b rę b ie s ą s ie d z tw a , n a to m ia s t z a d a n ie m a lg o ry tm u
m e ta h e u ry s ty c z n e g o w y ty c z e n ie k ie r u n k u p rz e s z u k iw a ń .
W w y n ik u b a d a ń p r z e p r o w a d z o n y c h n a d m e ta h e u ry s ty k a m i z a u w a ż o n o , ż e w ie le s p o ś r ó d tr u d n y c h o b lic z e n io w o p r o b le m ó w c e c h u je tz w . z ja w is k o „ g lo b a ln e j w y p u k ło ś c i”
(a n g . b ig v a lle y ) (B o e s e 1 9 9 4 ). O z n a c z a to , ż e b a rd z o d o b re ro z w ią z a n ia - o p tim a lo k a ln e - w w ię k s z o ś c i s ą p o ło ż o n e s to s u n k o w o b lis k o sie b ie . B lis k o ś ć tę m o ż n a z in te rp r e to w a ć ja k o n ie p r z y p a d k o w e p o d o b ie ń s tw o ty c h r o z w ią z a ń m ię d z y so b ą , a e le m e n ty w s p ó ln e ro z w ią z a ń z a k lu c z o w e w o k r e ś le n iu k ie r u n k u p rz e s z u k iw a ń .
P rz y k ła d e m w y s tę p o w a n ia p e w n y c h w s p ó ln y c h c e c h , c h a ra k te ry z u ją c y c h k o rz y s tn e p o ło ż e n ie w z b io r z e r o z w ią z a ń , k tó r e m o ż n a tra k to w a ć ja k o z b ió r r e g u ł z a p e w n ia ją c y c h d o b re ro z w ią z a n ia , m o ż e b y ć p r a c a J a s z k ie w ic z i in. (1 9 9 9 ) c z y te ż J a s z k ie w ic z , K o m in e k (2 0 0 0 ). W p r a c a c h a u to rz y w y m ie n ia ją p o je d y n c z e łu k i j a k r ó w n ie ż fra g m e n ty ś c ie ż e k (c y k li) ja k o c e c h y , k tó r e p o w in n y m o ż liw ie c z ę s to w y s tę p o w a ć w k o le jn y c h ro z w ią z a n ia c h . In fo rm a c je o is to tn y c h c e c h a c h d o b ry c h ro z w ią z a ń s ta n o w ią c e n n e r e p o z y to r iu m w ie d z y ,
W ykorzystanie inform acji dodatkowych.. 35
k tó re p o w in n o b y ć w y k o rz y s ta n e d o u k ie r u n k o w a n ia p o s z u k iw a ń , a z a te m p r z y s p ie s z e n ia p ro c e s u w y z n a c z a n ia n a jle p s z e g o r o z w ią z a n ia . W s p o m n ia n a w ie d z a m o ż e p o c h o d z ić o d e k s p e rta ( w ie d z a d z ie d z in o w a ) i o p ie ra ć s ię n p . n a s ta ty s ty c z n ie is to tn y c h c e c h a c h d o b ry c h r o z w ią z a ń b ą d ź t e ż m o ż e b y ć p o z y s k iw a n a a u to m a ty c z n ie (u c z e n ie m a s z y n o w e , a n g . m a c h in ę le a rn in g ) n a p o d s ta w ie a n a liz y h is to rii p r z e b ie g u a lg o ry tm u ( K o m in e k 2 0 0 1 ). W y d a je s ię z a te m , ż e e f e k ty w n o ś ć w y m ie n io n y c h m e to d m e ta h e u ry s ty c z n y c h m o ż n a p o p r a w ić ,
„ w z m a c n ia ją c ” j e w ie d z ą o p ro b le m ie p o z y s k a n ą o d e k s p e rta i/lu b w y in d u k o w a n ą z h is to rii p r z e s z u k iw a n ia p r z e s tr z e n i ro z w ią z a ń .
W p ra c y p r z e d s ta w im y s p o s ó b r o z w ią z y w a n ia p ro b le m u 2 -w y m ia ro w e g o r o z k ro ju (2 - D C P ) z a p o m o c ą a lg o ry tm u e w o lu c y jn e g o z lo k a ln y m p r z e s z u k iw a n ie m (G L S ), w y k o rz y s tu ją c e g o w i e d z ą p o c h o d z ą c ą o d e k s p e rta i z w e r y f ik o w a n ą e k s p e ry m e n ta ln ie . S f o r m u ło w a n ie p r o b le m u z a m ie s z c z o n e j e s t w ro z d z ia le 2 . R o z d z ia ł 3 p r z e d s ta w ia c e c h y r o z w ią z a ń p ro p o n o w a n e p r z e z e k s p e rta o ra z w e ry fik a c ję e k s p e ry m e n ta ln ą ty c h c e c h . O p is a lg o ry tm u G L S o r a z a d a p ta c ję o p e ra to ra r e k o m b in a c ji d o ro z p a try w a n e g o p r o b le m u p r z e d s ta w ia ro z d z ia ł 4 . E k s p e ry m e n t o b lic z e n io w y z a w a rty j e s t w ro z d z ia le 5. R o z d z ia ł 6 z a w ie ra p o d s u m o w a n ie .
2, Sformułowanie problemu
R o z w a ż a n a j e s t w e r s ja 2 -D C P , w k tó re j o b s z a r ta ś m y , z k tó re g o m a j ą b y ć w y c in a n e fig u ry o n ie r e g u la r n y c h k s z ta łta c h , j e s t p ro s to k ą te m o u s ta lo n e j s z e ro k o ś c i i n ie o g ra n ic z o n e j d łu g o ś c i. W o g ó ln o ś c i w y c in a n e fig u ry s ą d o w o ln y m i w y p u k ło -w k lę s ły m i w ie lo k ą ta m i, k tó re m o g ą r ó w n ie ż z a w ie r a ć o tw o ry . K ry te riu m s ta n o w i d łu g o ś ć w y k o rz y s ta n e j ta ś m y a ty m s a m y m p o w ie r z c h n ia u ż y te j ta ś m y , k tó r a j e s t m in im a liz o w a n a .
W c e lu r o z w ią z a n ia p r o b le m u z a s to s o w a n a z o s ta ła p r o c e d u r a B o tto m U p - L e f t J u s tifie d , w k tó re j p ie r w s z y e le m e n t u m ie s z c z a n y j e s t w le w y m g ó rn y m n a r o ż n ik u ta ś m y . U m ie s z c z a n ie k o le jn y c h e le m e n tó w j e s t z w ią z a n e z ic h p r z e s u w a n ie m m a k s y m a ln ie d o g ó ry i w le w o ta k , a b y e le m e n ty n ie n a c h o d z iły n a sie b ie . Z u w a g i n a f o r m a t p o s ia d a n y c h d a n y c h k o n ie c z n e b y ło o b lic z a n ie p o la p o w ie rz c h n i u k ła d a n y c h e le m e n tó w . D o o b lic z e n ia p o la p o w ie rz c h n i z a s to s o w a liś m y n a s tę p u ją c y w z ó r:
P = ' / 1 ^ x , A y l , (1 )
i
36 L. P olata, P. K om inek
g d z ie :
P - p o le p o w ie r z c h n i fig u ry , i - k o le jn a p a ra w ie rz c h o łk ó w ,
x i — w s p ó łr z ę d n a x ś r o d k a b o k u p o m ię d z y p a r ą w ie r z c h o łk ó w i,
Ay , - p r z y ro s t w z g lę d e m w s p ó łrz ę d n e j y p o m ię d z y p a r ą w ie r z c h o łk ó w i.
W z ó r m o ż n a w y k o rz y s ta ć ró w n ie ż d la fig u r p o s ia d a ją c y c h o tw ó r. W ty m p rz y p a d k u o b lic z a n e j e s t p o le fig u ry , a n a s tę p n ie p o le o tw o ru w e d łu g te g o s a m e g o w z o ru .
3. Analiza rozwiązań
Z d o ś w ia d c z e n ia w ie m y , ż e d la w ie lu p r o b le m ó w k o m b in a to ry c z n y c h , n p .: 0/1 p r o b le m u p le c a k o w e g o ( J a s z k ie w ic z 2 0 0 0 ), p r o b le m u k o m iw o ja ż e r a ( F re is le b e n , M e r z 1 9 9 6 ), p r o b le m u s z e re g o w a n ia z a d a ń ( J ó z e fo w s k a i in . 1 9 9 8 , J ó z e fo w s k a , W ę g la r z 1 9 9 9 , J a n ia k 1 9 9 9 ) a lg o ry tm y m e ta h e u ry s ty c z n e d z ia ła ją le p ie j n iż a lg o ry tm y lo s o w e g o p r z e g lą d u . P o n a d to w ś r ó d b a d a c z y a lg o ry tm ó w m e ta h e u ry s ty c z n y c h (b a z u ją c y c h n a a lg o ry tm ie lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia ) p a n u je p rz e k o n a n ie , ż e d o b ra re p re z e n ta c ja o ra z d o b r a s tr u k tu r a s ą s ie d z tw a g w a r a n tu je d o b re d z ia ła n ie ty c h a lg o ry tm ó w .
P r z y jm u je s ię z a te m h ip o te z ę , ż e m u s i is tn ie ć j a k a ś s z c z e g ó ln a r e g u ła b ą d ź c e c h a r z ą d z ą c a u ło ż e n ie m r o z w ią z a ń , n a k tó re j to w n ie ja w n y s p o s ó b o p ie r a ją s w o je d z ia ła n ie p o p u la r n e m e ta h e u ry s ty k i.
W p rz y p a d k u , k ie d y z a c h o d z i p o tr z e b a b a d a n ia , c z y p o m ię d z y b a d a n y m i z m ie n n y m i z a c h o d z ą j a k i e ś z a le ż n o ś c i, c z ę s to s to s o w a n y m te s te m j e s t te s t k o re la c ji. Z a le ż n o ś ć k o r e la c y jn a d w ó c h z m ie n n y c h p o le g a n a o k r e ś le n iu z m ia n y śre d n ie j w a r to ś c i je d n e j z m ie n n e j w p r z y p a d k u z m ia n y d ru g ie j z m ie n n e j. Z a le ż n o ś ć ta j e s t s z c z e g ó ln y m p rz y p a d k ie m z a le ż n o ś c i s to c h a s ty c z n e j, k tó r a w y s tę p u je w te d y , g d y w r a z z e z m i a n ą je d n e j z m ie n n e j z m ie n ia s ię r o z k ła d p ra w d o p o d o b ie ń s tw a d ru g ie j z m ie n n e j.
J e ś li m ię d z y b a d a n y m i z m ie n n y m i n ie m a z w ią z k u s to c h a s ty c z n e g o , to n ie m a r ó w n ie ż z w ią z k u k o re la c y jn e g o . W c e lu o k r e ś le n ia s to p n ia z a le ż n o ś c i m ię d z y b a d a n y m i z m ie n n y m i m o ż n a p o s łu ż y ć się w s p ó łc z y n n ik ie m k o re la c ji. W s p ó łc z y n n ik te n m ó w i o s ile z a le ż n o ś c i m ię d z y b a d a n y m i z m ie n n y m i.
W ro z d z ia le z a m ie s z c z o n o w y n ik i b a d a ń z a le ż n o ś c i p o m ię d z y w a r to ś c ią fu n k c ji c e lu (fu n k c ji d o p a s o w a n ia ) r o z w ią z a n ia x a ś re d n im p o d o b ie ń s tw e m s ( x ) d o in n y c h z e z b io r u C, a le n ie g o r s z y c h ro z w ią z a ń , w y z n a c z a n y m n a p o d s ta w ie n a s tę p u ją c e g o w z o ru :
W ykorzystanie inform acji dodatkowych... 37
2> ( x >y)
s ( x ) = ^ i k w _ , ( 2 )
g d z ie i ( x , y ) - j e s t p o d o b ie ń s tw e m x i y.
B a d a n ia p r z e p r o w a d z o n o n a r ó ż n y c h in s ta n c ja c h 2 -D C P o r ó ż n y c h lic z b a c h u k ła d a n y c h fig u r. D la k a ż d e j in s ta n c ji w y g e n e ro w a n o 5 0 lo k a ln y c h m in im ó w . T a b lic a 1 p r z e d s ta w ia ś r e d n ie w a r to ś c i k o re la c ji d la ty c h in s ta n c ji.
T a b lic a 1 R e z u lta ty te s tó w k o re la c y jn y c h d la 5 0 p rz y k ła d o w o w y g e n e ro w a n y c h
o p tim ó w lo k a ln y c h p r o b le m u 2 -D C P Cecha podobieństwa
średnia wielkość pól figur ułożona
od początku taśmy
średnia wielkość pól figur ułożona od końcu
taśmy
średnia liczba par figur tak samo ułożonych na taśmie
średnia liczba par figur powyżej średniej tak
samo ułożonych na taśmie
K orelacja z fu n k c ją dopasowania
-0.23 -0.22 -0.30 -0.41
Z p r z e d s ta w io n y c h w y n ik ó w m o ż n a z a u w a ż y ć , ż e n a jw y ż s z ą k o re la c ję o trz y m a n o d la c e c h y , j a k ą j e s t lic z b a p a r fig u r p o w y ż e j ś re d n ie j ta k s a m o u ło ż o n y c h n a ta ś m ie . C e c h a ta w y n ik a b e z p o ś re d n io z lic z b y p a r fig u r ta k s a m o u ło ż o n y c h n a ta ś m ie . W z w ią z k u z ty m k o le jn y m k r o k ie m j e s t w y k o rz y s ta n ie tej c e c h y d o re k o m b in a c ji ro z w ią z a ń . P rz y k ła d o w y a lg o ry tm o p e r a to r a r e k o m b in a c ji z a c h o w u ją c e g o p a ry f ig u r z d e fin io w a n o w ro z d z ia le 4 .3 .
4. Adaptacja algorytmu ewolucyjnego do rozwiązania problemu rozkroju
D o z n a le z ie n ia s u b o p ty m a ln e g o ro z w ią z a n ia p ro p o n u je s ię a lg o ry tm e w o lu c y jn y z lo k a ln y m p r z e s z u k iw a n ie m (G L S ). Z a d a n ie m a lg o ry tm u lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia j e s t z o p ty m a liz o w a n ie o s o b n ik ó w p o p rz e p ro w a d z o n e j o p e ra c ji re k o m b in a c ji (s ta n d a r d o w o w a lg o ry tm ie g e n e ty c z n y m o p e r a c ji k rz y ż o w a n ia i m u ta c ji). Z a te m p o p u la c ja r o z w ią z a ń , n a k tó re j o p e r u je a lg o ry tm e w o lu c y jn y , s k ła d a s ię z a w s z e z lo k a ln y c h o p tim ó w . P ro c e d u rę , a lg o ry tm u G L S w y k o r z y s ty w a n ą w p ra c y m o ż n a p rz e d s ta w ić n a s tę p u ją c o :
38 L. Dolata, P. K om inek
P r o c ed u rę 1 A L G O R Y T M _ G Ł S ; b e g i n
k :=0
for /:=1 to N do b e g i n
U T W Ó R Z _ N O W E _L OS O WE _R OZ W IĄ ZA NI E Z Z N A J DŹ _L OK A LN E_ OP T IM UM y £ Z^(7) D O D A J y d o P
e n d ; repeat
WY B IE RZ _L O S O W O _ D W A _ R O Z W I Ą Z A N I A Z, i Z2 z P R E K O M B I N U J Z, i Z2 W C E L U _ O TR ZY M AN IA Z3 ; Z N A J DŹ _L OK A LN E_ OP T IM UM y £ Z"'5 (/)
IF JEST _L E PS ZY _N I Ż_ NA JG O RS ZY _Z P I_INNY T H E N ; W YM IE Ń_ N AJGORSZEGO_OSOBNIKA;
k : = k + 1
O N T I L W A R U N E K _ S T O P U { k > k max) e n d ;
g d z ie ,
P - o z n a c z a p o p u la c ję , - r o z m ia r p o p u la c ji, k m3x - u s ta lo n a lic z b a ite ra c ji.
Z j ( / ) - s ą s ie d z tw o ro z w ią z a n ia z d la in s ta n c ji /
4 .1 . S p o s ó b k o d o w a n i a
S p o s ó b k o d o w a n ia ro z w ią z a n ia n ie p o w in ie n b y ć u z a le ż n io n y je d y n ie o d in tu ic ji c z y te ż n a tu r a ln e g o p o d e jś c ia . K o d o w a n ie p o w in n o b y ć p r z e d e w s z y s tk im e f e k ty w n e z p u n k tu w id z e n ia p r o c e d u r y lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia i o p e ra to ra re k o m b in a c ji.
R o z w ią z a n ie d la 2 -D C P j e s t z d e fin io w a n e j a k o lis ta p r io ry te to w a , n a k tó re j z n a jd u ją s ię fig u ry w k o le jn o ś c i ic h u k ła d a n ia n a ta ś m ie . P rz y k ła d ta k ie g o ro z w ią z a n ia s k ła d a ją c e g o s ię z 20 fig u r i o d p o w ia d a ją c e j lis ty p rio ry te to w e j p r z e d s ta w ia r y s . l .
W ykorzystanie inform acji dodatkowych... 39
L I S T A P R I O R Y T E T O W A [ 2-4-1-5-9-7-9-13-10-15-17-18-11-12-14-8-6-20-16-3 ] R y s .l . P r z y k ła d o w e r o z w ią z a n ie
F i g .l . S o lu tio n e x a m p le
4 .2 . L o k a l n a o p t y m a l iz a c j a
A lg o r y tm lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia w y k o rz y s ty w a n y d la te g o p ro b le m u b a z u je n a a lg o ry tm ie z a c h ła n n e g o lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia (a n g . G re a d y L o c a l S e a rc h ). P o le g a n a z n a le z ie n iu r o z w ią z a n ia lo k a ln ie o p ty m a ln e g o w o b rę b ie s ą s ie d z tw a . R o z w ią z a n ie s ą s ie d n ie g e n e ro w a n e j e s t p o p r z e z lo s o w y w y b ó r d w ó c h f ig u r i z a m ia n ie ic h m ie js c a m i n a liś c ie p rio ry te to w e j.
ł 1
L I S T A P R I O R Y T E T O W A [2-4-1-5-9-7-9-13-10-15-17-18-11-12-14-8-6-20-16-3 ]
L I S T A P R I O R Y T E T O W A P O Z A M I A N I E [2-4-1-5-9-7-9-13-10-12-17-18-11-15-14-8-6-20-16-3]
4 .3 . R e k o m b i n a c j a r o z w i ą z a ń
W s z y s tk ie m ia ry p o d o b ie ń s tw a p ro p o n o w a n e p r z e z e k s p e rta i te s to w a n e w r o z d z ia le 3 s ą b a rd z ie j lu b m n ie j s k o r e lo w a n e z j a k o ś c i ą r o z w ią z a n ia . O p e ra to r re k o m b in a c ji z d e f in io w a n y w tej p ra c y z a c h o w u je w g e n e ro w a n y m p o to m k u p a ry f ig u r w s p ó ln e d la o b u w c z e ś n ie j w y b r a n y c h r o d z ic ó w i j e s t s fo rm u ło w a n y w n a s tę p u ją c y s p o s ó b :
Procedure OPER AT O R_ RE KO M BI NA CJ I begin
U TW ÓR Z_ G RU P Y _ Z _ F I G U R _ K T Ó R E _ W Y S T Ę P U J Ą _ U ROD ZI C ÓW W. TEJ SAMEJ KOLEJNOŚCI
40 L. P olata, P. K om inek
U T W Ó R Z _ G R U P Y _ Z _ P O Z O S T A Ł Y C H _ F I G U R f o r K A Z D E J _ G R U P Y do
O C E Ń _ W S T A W I E N I E _ G R U P Y
WSTAW_DO_POTOMKA_NAJLEPSZĄ_GRUPĘ W_NAJLEPSZE_MIEJSCE e n d
5. Eksperyment obliczeniowy
E k s p e r y m e n t o b lic z e n io w y z o s ta ł p rz e p ro w a d z o n y n a k o m p u te r z e P C k la s y P e n tiu m 150 M H z , 6 4 M R A M . D la k a ż d e g o a lg o ry tm u p rz e p ro w a d z o n o 2 0 n ie z a le ż n y c h te s tó w d la k a ż d e j in s ta n c ji. R y s u n e k 2 p rz e d s ta w ia re z u lta ty e k s p e ry m e n tu d la a lg o ry tm u E A , G L S o ra z M S L S . E A o z n a c z a s ta n d a rd o w y a lg o ry tm e w o lu c y jn y , w k tó ry m o p e r a to r re k o m b in a c ji p o le g a ł n a lo s o w y m w y b o rz e m ie js c a w y m ia n y f ig u r m ię d z y ro z w ią z a n ia m i ( m ie js c a k rz y ż o w a n ia ). G L S j e s t p ro p o n o w a n y m a lg o ry tm e m G L S z o p e r a to r e m re k o m b in a c ji o p is a n y m w ro z d z ia le 4 .3 i a lg o ry tm e m lo k a ln e g o p rz e s z u k iw a n ia . D o d a tk o w o , r e z u lta ty E A i G L S z o s ta ły p o r ó w n a n e z a lg o ry tm e m w ie lo k ro tn e g o lo k a ln e g o p r z e s z u k iw a n ia (a n g . m u ltip le s ta r t lo c a l s e a rc h - M S L S ). T e s to w a n e in s ta n c je z a w ie ra ły fig u ry c z w o r o k ą tn e b e z o tw o ró w . W ie lk o ś ć in s ta n c ji w y n o s iła 10, 2 0 i 3 0 . C z a s o b lic z e ń w k a ż d y m p rz y p a d k u w y n o s ił 12 0 s e k u n d .
10 20 30
1500 .Długość taśmy
1000 i | ^
500 , i
2000 1500 ■ 1000
500
Długość taśmy
5 5 5
5000 4000 3000 2000 1000 0
Długość taśmy
ł *
i
w
<w
_J UJ _J
O | GLS EA MSLS GLS EA MSLS
R y s.2 . G r a f i c z n e p o r ó w n a n ie r e z u lta tó w . K a ż d y w y k re s p r z e d s ta w ia in n ą in s ta n c ję p r o b le m u i z a w ie r a w y n ik i p o r ó w n a ń a lg o r y tm ó w (o d le w e j) G L S , E A , M S L S w f u n k c ji d łu g o ś c i ta ś m y . Z u w a g i n a m a ły r o z r z u t w y n ik ó w n ie k tó r e s łu p k i b łę d ó w m o g ą b y ć n ie w id o c z n e
F ig . 2. G r a p h i c a l c o m p a r is o n o f th e r e s u lts . E a c h c h a r t c o r r e s p o n d s to a d i f f e r e n t in s ta n c e . E a c h c h a r t c o n ta in s t h r e e b o x p lo ts r e p r e s e n t i n g th e d is tr ib u tio n o f s t r i p e le n g th f o r ( f ro m le ft to r i g h t ) G L S , E A , a n d M S L S . N o te t h a t th e b o x p lo ts a r e in m a n y c a se s p r a c tic a ll y in v is ib le b e c a u s e o f th e v e r y lo w d is p e r s io n o f t h e re s u lts
W ykorzystanie inform acji dodatkowych.. 41
6. Podsumowanie
A lg o r y tm g e n e ty c z n y z lo k a ln y m p rz e s z u k iw a n ie m z o s ta ł z p o w o d z e n ie m w y k o rz y s ta n y d o 2 -w y m ia r o w e g o n ie re g u la rn e g o p r o b le m u r o z k ro ju . Z a s to s o w a n o p o d e jś c ie b a z u ją c e n a te c h n ic e s u g e r o w a n ia i w e ry fik a c ji c e c h ro z w ią z a ń w c e lu z a s to s o w a n ia ic h do tw o r z e n ia o p e r a to r a r e k o m b in a c ji. P r z e p ro w a d z o n e e k s p e ry m e n ty o b lic z e n io w e d e m o n s tru ją , ż e G L S w y k o r z y s tu ją c y e fe k ty w n y o p e ra to r re k o m b in a c ji z a p e w n ia w y ż s z ą ja k o ś ć r o z w ią z a n ia w r e la ty w n ie k r ó tk im c z a s ie w p o r ó w n a n iu z in n y m i k la s y c z n y m i m e to d a m i.
W s z c z e g ó ln o ś c i:
• d o k o n a n o z w e r y f ik o w a n ia z a le ż n o ś c i p o m ię d z y p ro p o n o w a n y m i c e c h a m i p o d o b ie ń s tw a r o z w ią z a ń i w a r to ś c ią fu n k c ji c e lu ,
• z d e f in io w a n o m ia rę p o d o b ie ń s tw a p o m ię d z y ro z w ią z a n ia m i,
• p r z e d s ta w io n o id e ę u w z g lę d n ie n ia is to tn y c h c e c h r o z w ią z a ń w o p e ra to ra c h tw o r z e n ia n o w e g o ro z w ią z a n ia , w s z c z e g ó ln o ś c i:
• z a p r o p o n o w a n o p ro c e d u r ę a lg o ry tm u G L S , w k tó re j k a ż d e n o w e r o z w ią z a n ie j e s t o p ty m a liz o w a n e a lg o ry tm e m lo k a ln e g o p rz e s z u k iw a n ia ,
• z a p r o p o n o w a n o p r o c e d u r ę re k o m b in a c ji ro z w ią z a ń , w k tó re j n o w e ro z w ią z a n ie z a w ie r a w s p ó ln e c e c h y ro d z ic ó w , z a p e w n ia ją c e tw o rz e n ie r e la ty w n ie d o b re g o r o z w ią z a n ia .
Podziękowania
P r a c a ta z o s ta ła w y k o n a n a i f in a n s o w a n a w ra m a c h p ro je k tu b a d a w c z e g o K B N n r 8 T l 1F 0 0 6 19 o r a z w r a m a c h s u b s y d iu m d la u c z o n y c h n r 4 /2 0 0 1 , f in a n s o w a n e g o p rz e z F u n d a c ję N a u k i P o ls k ie j.
L IT E R A T U R A
1. B o e s e K ., K a h n g A ., M u d d u S .: A n e w a d a p tiv e m u ltis ta rt te c h n iq u e fo r c o m b in a to ria l g lo b a l o p tim iz a tio n . O p e ra tio n s R e s e a rc h L e tte rs , v o l. 16, p p . 1 0 1 - 1 1 3 ,1 9 9 4 .
2. D o la ta L .: P r z e tw a r z a n ie w e k to r o w e d la p ro b le m u r o z k ro ju . P r a c a m a g is te rs k a , P o lite c h n ik a P o z n a ń s k a , P o z n a ń 2 0 0 0 .
42 L. Dolata, P. K om inek
3. F r e is le b e n B ., M e r z P .:, A g e n e tic lo c a l s e a rc h a lg o rith m fo r tr a v e llin g s a le s m a n p ro b le m . In H .-M . V o ig t, W . E b e lin g , I. R e c h e n b e rg , H .-P . S c h w e fe l (e d s .), P ro c e e d in g s o f th e 4 th C o n f e r e n c e o n P a ra lle l P ro b le m S o lv in g f la m N a tu re - P P S N I V , p p . 8 9 0 - 9 0 0 ,1 9 9 6 . 4 . G a re y M ., J o h n s o n D .: C o m p u te rs a n d in tra c ta b ility : A g u id e to th e th e o ry o f N P -
c o m p le te n e s s , F re e m a n , S a n F ra n c is c o , C a lif, 1979.
5. J a n ia k A .: W y b ra n e p ro b le m y i a lg o ry tm y s z e re g o w a n ia z a d a ń i ro z d z ia łu z a s o b ó w . A k a d e m ic k a o fic y n a w y d a w n ic z a P L J , W a rs z a w a 199 9 .
6. J a s z k ie w ic z A ., K o m in e k P .: D e v e lo p in g e ffic ie n t g e n e tic lo c a l s e a rc h ty p e h e u r is tic s o n th e b a s is o f g lo b a l c o n v e x ity te s ts - v e h ic le ro u tin g e x a m p le , R e s e a rc h R e p o rt R A - 0 0 1 /2 0 0 0 , In s titu te o f C o m p u tin g S c ie n c e , P o z n a ń 2 0 0 0 .
7. J o h n s o n D .S .: L o c a l O p tim iz a tio n a n d th e T ra v e lin g S a le s m a n P ro b le m . A n n u a l In t.
C o llo q iu m o n A u to m a ta , L a n g u a g e s a n d P ro g ra m m in g , s .l 1 6 - 1 6 1 ,1 9 9 0 .
8. J ó z e fo w s k a J ., M ik a M ., R ó ż y c k i R ., W a lig ó ra G ., W ę g la rz J.: M in im a liz a c ja m a k s y m a ln e g o o p ó ź n ie n ia w d y s k re tn o -c ią g ły c h p ro b le m a c h s z e re g o w a n ia - a lg o ry tm y h e u ry s ty c z n e , Z e s z y ty N a u k o w e P o lit. SI., se r.: A u to m a ty k a , z. 123, s .2 2 1 - 2 3 2 , G liw ic e
1 998.
9. J ó z e fo w s k a J ., W ę g la r z J.: A p p r o x im a tio n a lg o rith m s fo r s o m e d is c r e te - c o n tin u o u s s c h e d u lin g p r o b le m s , B u le ttio n o f th e P o lis h A c a d e m y o f S c e in c e , T e c h n ic a l S c ie n c e s , 4 1 , 3 9 1 - 3 9 9 , 1 993.
10. K o m in e k P .: Z a s to s o w a n ie a lg o ry tm ó w m e ta h e u ry s ty c z n y c h s te ro w a n y c h w i e d z ą do r o z w ią z y w a n ia z ło ż o n y c h p r o b le m ó w o p ty m a liz a c ji k o m b in a to ry c z n e j. R o z p r a w a d o k to r s k a , P o lite c h n ik a P o z n a ń s k a , P o z n a ń 2 0 0 1 .
11. K o m in e k P .: O p e ra to ry g e n e ty c z n e + u c z e n ie m a s z y n o w e = e fe k ty w n e a lg o ry tm y e w o lu c y jn e , Z e s z y ty N a u k o w e P o lit. SI., ser. A u to m a ty k a , z. 125, s . l 6 5 -1 7 5 , G liw ic e
1 998.
12. W a lk o w ia k R .: S e k w e n c y jn e i w s p ó łb ie ż n e a lg o ry tm y d la p ro b le m u ro z k ro ju , R o z p r a w a d o k to r s k a , P o lite c h n ik a P o z n a ń s k a , P o z n a ń 199 6 .
R e c e n z e n t: P ro f. d r h a b . in ż. J ó z e f G ra b o w s k i
A b s t r a c t
In th is p a p e r w e s tu d y th e 2 - d im e n tia l irre g u la r c u ttin g p ro b le m . A s th e p r o b le m is N P - h a r d th e r e e x is ts n o e x a c t a lg o rith m to m in im iz e th e s trip e le n g th in p o ly n o m ia l tim e u n le s s P = N P . A lth o u g h th e m e ta h e u r is tic p ro c e d u re s d o n o t g u a ra n te e th e o p tim a l s o lu tio n , th e y g iv e g o o d s u b o p tim a l s o lu tio n s in re la tiv e ly s h o rt tim e . In th e p a p e r a n o u tlin e o f e v o lu tio n a r y a lg o r ith m w ith lo c a l s e a rc h (G L S ) is p re s e n te d w ith a d e s c rip tio n o f lo c a l s e a rc h a lg o r ith m a n d r e c o m b in a tio n o p e ra to r. G L S a lg o rith m s d e fin e o n ly a g e n e ra l s c h e m e o f th e
W ykorzystanie inform acji dodatkowych.. 43
c a lc u la tio n s . T h is g e n e ra l s c h e m e h a s to b e c u s to m iz e d fo r a g iv e n c o m b in a to ria l p ro b le m . T h e c u s to m iz a tio n c o n s is ts in d e fin in g th e w a y n e w s o lu tio n s a re o b ta in e d .
T h e n e w s o lu tio n in G L S a lg o rith m is o b ta in e d b y re c o m b in a tio n o p e ra to r, w h ic h ta k e s in to a c c o u n t s ig n if ic a n t fe a tu re s . A ll fe a tu re s o f th e s o lu tio n p ro p o s e d b y e x p e rt a re e x p e r im e n ta lly v e r if ie d . S e c tio n 5 in c lu d e s c o m p u ta tio n a l e x p e rim e n t, w h ic h c o m p a r e s th e s ta n d a rd e v o lu tio n a r y a lg o rith m E A w ith th e G L S b a s e d o n s ig n ific a n t fe a tu re s .
S o m e r e le v a n t c o n c lu s io n s a re in c lu d e d in th e la s t p a rt o f th e p a p e r.
