Rysunek przedstawia wykres funkcji y f x. Wska rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y f x 1. A. B. Zadanie 3.

73

V I I . Z B I Ó R P R Z YK à A DOW Y C H Z A DA ē M A T U R A L N Y C H

ZADANIA ZAMKNIĉTE Zadanie 1. (1 pkt) Liczba 3090 39˜ jest równa A. 210 3B. 300 3C. 120 9D. 2700 27 Zadanie 2. (1 pkt) Liczba

8 32339˜ jest równa A. 33B.

32 93C. 43D. 53 Zadanie 3. (1 pkt) Liczba log24 jest równa A. 2log2log20B. 2log26logC. 2log6log12D. log30log6 Zadanie 4. (1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A. 40pB. 40pC. 42,5pD. 42,5p! Zadanie 5. (1 pkt) 4% liczby x jest równe 6, zatem A. 150xB. 150xC. 240xD. 240x! Zadanie 6. (1 pkt) Liczba y to 120% liczby.x Wynika stąd, Īe A. 0,2yxB. 0,2yxxC. 0,2xyD. 0,2xyy Zadanie 7. (1 pkt) Rozwiązaniem równania31 22

x x  jest liczba A. 4 3B. 3 4C. 3 8D. 8 3 74

Zadanie 8. (1 pkt) Mniejszą z dwóch liczb speániających równanie2 560xx jest A. 6B. 3C. 2D. 1 Zadanie 9. (1 pkt) Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej

  

12xmxf. Wynika stąd, Īe A. 0mB. 1mC. 2mD. 3m Zadanie 10. (1 pkt) Funkcja f jest okreĞlona wzorem34 dla1 () 21 dla1

xx fx xx­ ® t¯. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? A. 0B. 1C. 2D. 3 Zadanie 11. (1 pkt) Rysunek przedstawia wykres funkcji



xfy. WskaĪ rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji

 

1xfy. A. B. C. D.

01

1 x

y



xfy 01

1 x

y 01

1 x

y 01

1 x

y 01

1 x

y

75

–15x0

–33x0 51x0

51x0

Zadanie 12. (1 pkt) Który z zaznaczonych przedziaáów jest zbiorem rozwiązaĔ nierównoĞci |2|3xd? A. B. C. D. Zadanie 13. (1 pkt) WskaĪ równanie osi symetrii paraboli okreĞlonej równaniem2 411yxx. A. 4xB. 2xC. 2xD. 4x Zadanie 14. (1 pkt) WskaĪ funkcjĊ kwadratową, której zbiorem wartoĞci jest przedziaá



3,f. A.

 

2 ()23fxx B.

 

2 ()23fxx C.

 

2 ()23fxx D.

 

2 ()23fxx Zadanie 15. (1 pkt) Zbiorem rozwiązaĔ nierównoĞci2 5xt jest A.

   

f‰f,55,B.

 

f‰f,55,C.



f,5D.



f,5 Zadanie 16. (1 pkt) Wykres funkcji kwadratowej

 

2 ()314fxxniemapunktówwspólnychz prostą o równaniu A. 1 yB. 1yC. 3yD. 5y 76 Zadanie 17. (1 pkt) Prosta o równaniu ya ma dokáadnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej 2 ()610.fxxx Wynika stąd, Īe A. 3aB. 0aC. 1aD. 3a Zadanie 18. (1 pkt) Jaka jest najmniejsza wartoĞü funkcji kwadratowej 2 ()43fxxx w przedziale 3,0? A. 7B. 4C. 3D. 2 Zadanie 19. (1 pkt) Dane są wielomiany32 ()32,()23.WxxxVxxx StopieĔ wielomianu()()WxVx˜ jest równy A. 6B. 5C. 4D. 3 Zadanie 20. (1 pkt) Ile rozwiązaĔ rzeczywistych ma równanie 45130x? A. 1B. 2C. 3D. 4 Zadanie 21. (1 pkt) WskaĪ liczbĊ rozwiązaĔ równania211 0 11x x . A. 0B. 1C. 2D. 3 Zadanie 22. (1 pkt) WskaĪ równanie prostej równolegáej do prostej o równaniu27yx. A. 27yxB. 1 5 2yxC. 1 2 2yxD. 21yx Zadanie 23. (1 pkt) Które z równaĔ opisuje prostą prostopadáą do prostej o równaniu 45yx? A. 43yxB. 1 3 4yxC. 1 3 4yxD. 43yx Zadanie 24. (1 pkt) Punkty

 

3,1A i

 

9,7C są przeciwlegáymi wierzchoákami prostokąta ABCD. PromieĔ okrĊgu opisanego na tym prostokącie jest równy A. 10B. 62C. 5D. 32

77

Zadanie 25. (1 pkt) Liczba punktówwspólnychokrĊguorównaniu

   

22 314xyz osiami ukáadu wspóárzĊdnych jest równa A. 0B. 1C. 2D. 4 Zadanie 26. (1 pkt) ĝrodek S okrĊgu o równaniu22 462210xyxy ma wspóárzĊdne A. (2,3)SB. (2,3)SC. (4,6)SD. (4,6)S Zadanie 27. (1 pkt) Dane są dáugoĞci boków5 BC i3 AC trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym E (zobacz rysunek). Wtedy A. 3 sin 5EB. 4 sin 5EC. 334 sin 34ED. 534 sin 34E Zadanie 28. (1 pkt) Kąt D jest ostry i 1 sin 4D. Wówczas A. 3 cos 4DB. 3 cos 4DC. 13 cos 4DD. 13 cos 4D! Zadanie 29. (1 pkt) Kąt D jest kątem ostrym i1 tg 2D. Jaki warunek speánia kąt D? A. 30DD B. 30DD C. 60DD D. 60D!D

.

A

B CE 78

D

ES A

B

Zadanie 30. (1 pkt) Kąt miĊdzy ciĊciwą AB a styczną do okrĊgu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miarĊD 62 D. Wówczas A. D 118 EB. D 124 EC. D 138 ED. D 152 E Zadanie 31. (1 pkt) Kąt Ğrodkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym áuku. Suma ich miar jest równa180.D Jaka jest miara kąta Ğrodkowego? A. 60D B. 90D C. 120D D. 135D Zadanie 32. (1 pkt) RóĪnica miar kątówwewnĊtrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równolegáobokiem, jest równa 40.D Miara kąta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa A. 120DB. 110DC. 80DD. 70D Zadanie 33. (1 pkt) Odcinki BC i DE są równolegáe. DáugoĞci odcinków AC, CEi BCsą podane na rysunku. DáugoĞü odcinka DE jest równa A. 6B. 8C. 10D. 12

A

B C

D E46

4

79

Zadanie 34. (1 pkt) Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe A. 64 cm2 B. 32 cm2 C. 16 cm2 D. 8 cm2 Zadanie 35. (1 pkt) Ciąg

 

na jest okreĞlony wzorem

   

239 dla1.n nann˜t Wynika stąd, Īe A. 381aB. 327aC. 30aD. 30a! Zadanie 36. (1 pkt) Liczby,1x 4 i 8 (w podanej kolejnoĞci) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa A. 3B. 1C. 1D. 7 Zadanie 37. (1 pkt) Liczby8, 4 i1x (w podanej kolejnoĞci) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa A. 3B. 5,1C. 1D. 15 Zadanie 38. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest A. 25B. 24C. 21D. 20 Zadanie 39. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest A. 16B. 20C. 25D. 30 Zadanie 40. (1 pkt) Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąĞü na dwóch spoĞród piĊciu miejsc w kinie, jest równa A. 25B. 20C. 15D. 12 Zadanie 41. (1 pkt) Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa A. 1B. 1,5C. 2D. 2,5 Zadanie 42. (1 pkt) Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebnoĞci jest równa wartoĞü0123 liczebnoĞü5211 A. 0B. 0,5C. 1D. 5 80 Zadanie 43. (1 pkt) ĝrednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie czĊstoĞci jest równa A. 1B. 1,2C. 1,5D. 1,8 Zadanie 44. (1 pkt) Ze zbioruliczb{1,2,3,4,5,6,7,8}wybieramylosowojednąliczbĊ. Liczba poznacza prawdopodobieĔstwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy A. 0,25pB. 0,25pC. 1 3pD. 1 3p! Zadanie 45. (1 pkt) OzdarzeniachlosowychAi Bsązawartychw:wiadomo, ĪeBA, ()0,7PA i ()0,3PB. Wtedy A. ()1PAB‰B. ()0,7PAB‰C. ()0,4PAB‰D. ()0,3PAB‰ Zadanie 46. (1 pkt) Przekątna szeĞcianu ma dáugoĞü 3. Pole powierzchni caákowitej tego szeĞcianu jest równe A. 54 B. 36C. 18D. 12 Zadanie 47. (1 pkt) Pole powierzchni caákowitej szeĞcianu jest równe 24 cm2 . ObjĊtoĞü tego szeĞcianu jest równa A. 8 cm3B. 16 cm3C. 27 cm3D. 64 cm3

3

czĊstoĞü w % 0123

10 wartoĞü

20

30

40 0

81

Zadanie 48. (1 pkt) Przekątna prostopadáoĞcianu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma dáugoĞü A. 13B. 29C. 34D. 38 Zadanie 49. (1 pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku dáugoĞci 6. ObjĊtoĞü tego walca jest równa A. S18B. S54C. S108D. S216 Zadanie 50. (1 pkt) Przekrój osiowy stoĪka jest trójkątem równobocznym o boku dáugoĞci 6. Pole powierzchni bocznej tego stoĪka jest równe A. S12B. S18C. S27D. S36

2 3

5 6 6 82

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. (2 pkt) RozwiąĪ równanie231 122

x x  . Zadanie 52. (2 pkt) RozwiąĪ ukáad równaĔ35 23

xy xy

­ ®

¯. Zadanie 53. (2 pkt) RozwiąĪ nierównoĞü 0762dxx. Zadanie 54. (2 pkt) RozwiąĪ równanie036223xxx. Zadanie 55. (2 pkt) Ofunkcji liniowej fwiadomo, Īe(1)2foraz, Īe do wykresu tej funkcjinaleĪy punkt

 

3,2P . Wyznacz wzór funkcji f. Zadanie 56. (2 pkt) Oblicz miejsca zerowe funkcji 21 dla0 () 2 dla0

xx fx xxd­ ® !¯. Zadanie 57. (2 pkt) Naszkicuj wykres funkcji 21 dla0 () 2 dla0

xx fx xxd­ ® !¯. Zadanie 58. (2 pkt) Oblicz najmniejszą wartoĞü funkcji kwadratowej2()61fxxx w przedziale 1,0. Zadanie 59. (2 pkt) Wielomiany

  

2 bxaxxW i



xxxxV23 2 są równe. Obliczi .ab Zadanie 60. (2 pkt) WyraĪenie3 31

x xx  zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Zadanie 61. (2 pkt) Napisz równanie prostej równolegáej do prostej o równaniu2110xy i przechodzącej przez punkt (1,2).P Zadanie 62. (2 pkt) Wyznacz równanie okrĊgu stycznego do osi Oy, którego Ğrodkiem jest punkt

 

5,3S.

83

Zadanie 63. (2 pkt) Wyznacz równanieokrĊguo Ğrodku

 

5,3Sprzechodzącegoprzezpoczątekukáadu wspóárzĊdnych. Zadanie 64. (2 pkt) Wyznacz równanie prostej zawierającej Ğrodkową CD trójkąta ABC, którego wierzchoákami są punkty:

 

1,2A,

 

1,6B,

 

10,7C. Zadanie 65. (2 pkt) W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają dáugoĞci 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarĊ .D Oblicz sincos.DD˜ Zadanie 66. (2 pkt) Kąt D jest ostry i 1 sin. 4D Oblicz232tgD. Zadanie 67. (2 pkt) Punkt D leĪy na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którymBCAC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, ĪeCDADAB (patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC. Zadanie 68. (2 pkt) Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym24AB i13 BCAC. Zadanie 69. (2 pkt) Liczby 4, 10, c są dáugoĞciami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Zadanie 70. (2 pkt) Liczby 6, 10, c są dáugoĞciami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Zadanie 71. (2 pkt) Liczby 6, 10, c są dáugoĞciami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c. Zadanie 72. (2 pkt) Liczby1x, x, 5 są dáugoĞciami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x.

AB

C D 84

Zadanie 73. (2 pkt) Obwód czworokąta wypukáego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz dáugoĞü przekątnej BD. Zadanie 74. (2 pkt) Ile wyrazów ujemnych ma ciąg

 

na okreĞlony wzorem2422 nnan dla1tn? Zadanie 75. (2 pkt) Liczby 2, 3x, 8 są w podanej kolejnoĞci pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. Zadanie 76. (2 pkt) Wyrazami ciągu arytmetycznego

 

na są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztĊ 2. Ponadto312.a Oblicz15a. Zadanie 77. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, Īe w ich zapisie dziesiĊtnym wystĊpuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste? Uwaga: przypominamy, Īe zero jest liczbą parzystą. Zadanie 78. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20? Zadanie 79. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 wiĊksza od cyfry jednoĞci? Zadanie 80. (2 pkt) Na jednejprostejzaznaczono3punkty, a na drugiej 4punkty(patrzrysunek).Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchoákami są trzy spoĞród zaznaczonych punktów ? Zadanie 81. (2 pkt) ĝrednia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.

85

Zadanie 82. (2 pkt) Oblicz Ğrednią arytmetyczną danych przedstawionych na poniĪszym diagramie czĊstoĞci Zadanie 83. (2 pkt) Oblicz medianĊ danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1. Zadanie 84. (2 pkt) Oblicz medianĊ danych przedstawionych w postaci tabeli liczebnoĞci wartoĞü0123 liczebnoĞü4311 Zadanie 85. (2 pkt) Ze zbioruliczb{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}wybieramylosowojednąliczbĊ. Oblicz prawdopodobieĔstwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2. Zadanie 86. (2 pkt) Ze zbioruliczbnaturalnychdwucyfrowychwybieramylosowojednąliczbĊ. Oblicz prawdopodobieĔstwo otrzymania liczby podzielnej przez 15. Zadanie 87. (2 pkt) Rzucamydwa razysymetrycznąszeĞciennąkostkądogry. ObliczprawdopodobieĔstwo otrzymania iloczynu oczek równego 5. Zadanie 88. (2 pkt) A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w :, Īe AB oraz

 

3,0 AP i

 

4,0 BP. Oblicz().PAB‰ Zadanie 89. (2 pkt) A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w :, Īe AB oraz

 

3,0 AP i

 

7,0 BP. Oblicz prawdopodobieĔstwo róĪnicyAB\.

czĊstoĞü w % 0123

10 wartoĞü

15

30

45 0 86

Zadanie 90. (2 pkt) Przekątna szeĞcianu ma dáugoĞü 9. Oblicz pole powierzchni caákowitej tego szeĞcianu. Zadanie 91. (2 pkt) Przekrój osiowy stoĪka jest trójkątem równoramiennym o podstawie dáugoĞci 12. WysokoĞü stoĪka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stoĪka. Zadanie 92. (2 pkt) Oblicz sinus kąta miĊdzy przekątną szeĞcianu a jego páaszczyzną podstawy.

9 12

8

87

Zadanie 93. (2 pkt) Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, ĪeDRBP. Zadanie 94. (2 pkt) Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by))CADABC. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, Īe CEAC.

AB

CD P

Q R AB

C D E 88

ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI Zadanie 95. Oblicz sumĊ wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyáącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0, 1, 2, 3}. Zadanie 96. Zpojemnika,wktórymsądwa losywygrywające i trzylosypuste,losujemydwa razy po jednymlosie bezzwracania. ObliczprawdopodobieĔstwo, Īeotrzymamyconajmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci uáamka nieskracalnego. Zadanie 97. Z miejscowoĞci A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeĪdĪają naprzeciw siebie dwaj rowerzyĞci.Rowerzysta jadącyz miejscowoĞciBdomiejscowoĞciAjedzie zeĞrednią prĊdkoĞcią mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowoĞci A do miejscowoĞci B wyjeĪdĪa o 1 godzinĊ wczeĞniej i jedzie ze Ğrednią prĊdkoĞcią o 7 km/h wiĊkszą od Ğredniej prĊdkoĞcidrugiegorowerzysty. RowerzyĞci spotkali siĊ wtakimmiejscu, Īerowerzysta jadący z miejscowoĞci A przebyá do tego miejsca139 caáej drogi z A do B. Z jakimi Ğrednimi prĊdkoĞciami jechali obaj rowerzyĞci? Zadanie 98. UczeĔ przeczytaá ksiąĪkĊ liczącą 480 stron, przy czym kaĪdego dnia czytaá taką samą liczbĊ stron. Gdybyczytaá kaĪdegodniao8stronwiĊcej,toprzeczytaábytĊksiąĪkĊo3dni wczeĞniej. Oblicz, ile dni uczeĔ czytaá tĊ ksiąĪkĊ. Zadanie 99. Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejnoĞci ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, wpodanejkolejnoĞcisąpierwszym, drugimi siódmymwyrazemciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c. Zadanie 100. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, Īe suma pierwszych piĊciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejnoĞci ciąg geometryczny. Zadanie 101. Podstawą ostrosáupa prawidáowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennegoACSjest równe 120oraz 13:10:ASAC. Obliczpolepowierzchni bocznej tego ostrosáupa.

89

Zadanie 102. Podstawą ostrosáupa ABCDEjestkwadrat ABCD. Punkt Fjest ĞrodkiemkrawĊdziAD, odcinekEFjestwysokoĞcią ostrosáupa (patrz rysunek).Oblicz objĊtoĞüostrosáupa,jeĞli wiadomo, Īe 15 AE, 17 BE. Zadanie 103. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym30 BC, 40AC, 50 AB. Punkt W jest Ğrodkiem okrĊgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz dáugoĞü odcinka CM. Zadanie 104. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym90q)ACBoraz 5 AC,12 BC zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leĪy na prostej AB i kąt90q)EHA. Oblicz pole trójkąta HAE. Zadanie 105. WykaĪ, Īe prawdziwa jest nierównoĞü26505021212.

AB

C

D E H

A

B C

M W

AB

CD

E F 90

Zadanie 106. Udowodnij, Īe jeĞli a)x, y są liczbami rzeczywistymi, toxyyx222t. b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, Īe 1 zyx, to 31222tzyx. Zadanie 107. Punkt D leĪy na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którymBCAC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, ĪeCDAD oraz BDAB (patrz rysunek). Udowodnij, Īe 5 ˜))ADCACD. Zadanie 108. Dane są dwa póáokrĊgi o wspólnym Ğrodku O i Ğrednicach odpowiednio AB i CD(punkty A, B, C, D i O są wspóáliniowe). Punkt P leĪy na wewnĊtrznym póáokrĊgu, punkt R leĪy na zewnĊtrznym póáokrĊgu, punkty O, P i R są wspóáliniowe. Udowodnij, Īe 180q))APBCRD.

AB

C D ABCD

R P O

91

P rz y k áa d o w e za d a n ia

Odpowiedzi do zadaĔ zamkniĊtych Odpowiedzi do zadaĔ otwartych Nr zadaniaOdpowiedĨ Nr zadaniaOdpowiedĨ 51 85 x8030trójkątów 522x, 1 y817 x 531,7x829,0 5421 x lub3x lub 3x831 55 37 31 xy841 56 21 

x85 11

7 57wykres 86 151 584y87 181 591 a1 b884,0 60

  

13

362  xx

xx 894,0 6102yx90162 62

   

95322 yx91S60 63

   

345322 yx92 33 6442xy93dowód 65 52 94dowód

Nr zadania12345678910111213141516171819202122232425 OdpowiedĨ ACBAABDBDADCCABDCCBBBDBCC 26272829303132333435363738394041424344454647484950 ACDABCBCBCBACBBAAABBCADBB 92

66 15

47 9510392 6736q, 72q, 72q96 107 6860977kmh, 14kmh 6910 c9815 706 c lub10 c99

° ¯

° ®

­ 7515

3 cb

a lub ° ¯° ®­ 3131

31 cb

a 718 c lub342c1002na lub73nan 725 x lub6 x10131320 7316 BD102 320964 745 wyrazów1031452 757 x104 169750 767215a105dowód 772125106dowód 789 liczb107dowód 7972liczby108dowód