Logika matematyczna, rachunek zdań

Logika matematyczna, rachunek zdań

dr Mieczysław Chalfen

UPWR Wrocław 2020/2021

Co to jest zdanie ?

Ale w sensie logiki matematycznej.

• Zdanie (w sensie matematycznym), to taka wypowiedź, która jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

• Mówimy, że wartość logiczna zdania prawdziwego (true) wynosi 1, a zdania fałszywego (false) wynosi 0

• Istnieją także tzw. logiki rozmyte, gdzie wartość logiczna zdania jest pewną liczbą z przedziału [0,1]

W języku polskim zdanie musi mieć podmiot i orzeczenie.

Np. Janek ma ładny rower. – czy to zdanie jest prawdziwe?

Przykłady

• Dziś jest sobota - zdanie fałszywe

• 2+2=4 - zdanie prawdziwe

• Lubisz chodzić do kina ? - to nie jest zdanie

• X>6 - to nie jest zdanie

• Mercedes to łady samochód – to raczej nie jest zdanie

• Wtorek jest zielony - to nie jest zdanie

Działania na zdaniach, formy zdaniotwórcze: p,q,r… ~ ^{∨ ∧ ⟹ ⇔}

Negacja, zaprzeczenie: -p, −𝑝, ~𝑝, ¬𝑝, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑛𝑖𝑒𝑝𝑟𝑎𝑤𝑑𝑎, ż𝑒 𝑝 Nieprawda, że styczeń ma 30 dni. ( Styczeń nie ma 30 dni) Alternatywa: 𝑝 ∨ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑙𝑢𝑏 𝑞

Dziś pójdę do kina lub dziś pójdę do teatru.

(Pójdę do kina lub teatru).

(Dziś pójdę do kina, a może do teatru.) Koniunkcja: 𝑝 ∧ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑖 𝑞

Dziś pójdę na wykład z matematyki i dziś pójdę na basen.

(Pójdę wykład z matematyki a także na basen.)

Implikacja: 𝑝 ⟹ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑢𝑗𝑒 𝑞, 𝑧𝑒 𝑧𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑝 𝑤𝑦𝑛𝑖𝑘𝑎 𝑧𝑑𝑎𝑛𝑖𝑒 𝑞, 𝑝 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑎ł𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑒𝑚, 𝑞 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑒𝑧ą, 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑝 𝑡𝑜 𝑞, 𝑖𝑡𝑑,

Np. Tw. Pitagorasa: Jeżeli T jest trójkątem prostokątnym to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Jeżeli dziś jest wtorek to jutro będzie środa.

Równoważność: 𝑝 ⇔ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦 𝑝 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑟ó𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎ż𝑛𝑒 𝑞

Tabelki działań

p -p

0 1

1 0

p q 𝑝 ∨ 𝑞

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

𝑝 ∨ 𝑞 0 1

0 0 1

1 1 1

Negacja

Alternatywa

p q 𝑝 ∧ 𝑞

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

𝑝 ∧ 𝑞 0 1

0 0 0

1 0 1

Koniunkcja

Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy gdy oba zdania składowe są fałszywe

Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe

p q 𝑝 ⟹ 𝑞

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Implikacja, p implikuje q, z p wynika q, p to założenie q to teza

𝑝 ⟹ 𝑞 0 1

0 1 1

1 0 1

0⟹0 p: 3=8 /+1 q: 4=9

0⟹1

p: 3=8 /∙0 q: 0=0 Ze zdania prawdziwego nie może wynikać zdanie fałszywe.

Z fałszywego założenia może wynikać zarówno prawda jak i fałsz.

p q 𝑝 ⇔ 𝑞

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

𝑝 ⇔ 𝑞 0 1

0 1 0

1 0 1

Równoważność

Zadania złożone:

~

2) (p ⟹(q ∧ s)) ⇔ (q ∧ s)

3) ((~p) ∨ (q ∧ s)) ⟹((p ∨ r) ∧ (p ∨ s))

Kolejność nawiasów, siła działania:

~

1) p ∨ q ⇔ q ∨ p 2) p ⟹q ∧ s ⇔ q ∧ s

3) ~p ∨ q ∧ s ⟹ (p ∨ r) ∧ (p ∨ s) źle: p ∨ r ∧ p ∨ s

Jak zbadać, czy zdanie złożone jest prawdziwe?

Metoda zero-jedynkowa 0-1

NP. p ∨ q ⇔ q ∨ p

p q 𝑝 ∨ 𝑞 𝑞 ∨ 𝑝 ⇔

0 0 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

Zdania złożone, które jest zawsze prawdziwe niezależnie od prawdziwości (lub fałszywości) zdań składowych nazywamy tautologią.

Podstawowe prawa logiczne (

~

(czasami możemy myśleć, że ∨ to dodawanie, ∧ to mnożenie) Przemienność: p ∨ q ⇔ q ∨ p p ∧ q ⇔ q ∧ p

Łączność: (p ∨ q) ∨ s ⇔ p ∨ (q ∨ s) (p ∧ q) ∧ s ⇔ p ∧ (q ∧ s)

Rozdzielność: (p ∨ q) ∧ s ⇔ (p ∧ s) ∨ (q∧ s) (p ∧ 𝑞) ∨ s ⇔ (p ∨ s) ∧ (q ∨ s) Idempotentność: p ∨ p ⇔ p p ∧ p ⇔ p

Prawa pochłaniania: p ∨ F ⇔ p p ∧ F ⇔ F p ∨ T ⇔ T p ∧ T ⇔ p Prawo wyłączonego środka: p ∨ ~p ⇔ T

Prawo sprzeczności: p ∧ ~p ⇔ F

Prawo podwójnego przeczenia: ~(~p) ⇔ p (ale w języku polskim: nigdy nie chodzę do kina) Prawo przechodniości: (p ⟹q) ∧ (q ⟹s) ⟹ (p ⟹s)

Prawo kontrapozycji: (p ⟹q) ⇔ (~q ⟹ ~p) (dowód tw nie wprost)

Dowód prawa przechodniości: (p ⟹q) ∧ (q ⟹s) ⟹ (p ⟹s)

p q s p ⟹q q ⟹ s (p ⟹q) ∧ (q ⟹s) p ⟹s ⟹

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Prawa de Morgana (

~

Zaprzeczenie alternatywy to koniunkcja zaprzeczeń

~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q Przykład:

Idę dziś do kina albo do teatru.

Mamo, pójdę dziś do kina lubpójdę dziś do teatru.

Nie, nie pójdziesz dziś ani do kina, ani do teatru.

Nie prawda, nie pójdziesz dziś do kina i nie pójdziesz dziś do teatru.

Zaprzeczenie koniunkcji to alternatywa zaprzeczeń

~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q Przykład:

Mamo, pójdę dziś do kina ipójdę dziś do teatru.

Nie prawda, wybieraj, albo pójdziesz do kina, albo do teatru.

Nie prawda, nie pójdziesz dziś do kina lub nie pójdziesz dziś do teatru.

Formy zdaniowe ϕ(x) ϕ(x) np. ϕ(x) = x+3>7

ϕ(x,y) np. ϕ(x,y) = x+3>7-y

ϕ(x,y,z) np. ϕ(x,y,z) = x+3>7-y+z

Kwantyfikatory:

- szczegółowy czytamy: istnieje x taki, że ϕ(x)

- ogólny czytamy: dla każdego x zachodzi ϕ(x)

𝑥

ϕ(x)

𝑥

ϕ(x)

𝑥

2𝑥 = 8

𝑥

𝑥² > 0

∃𝑥: 2𝑥 = 8

∀x: 𝑥²> 0

Prawa de Morgana dla form zdaniowych

~

𝑥

ϕ(x) ⇔

𝑥

~ϕ(x) ϕ(x): 𝑥² = −1

Istnieje liczba rzeczywista, taka że 𝑥² = −1

Nieprawda, żadna liczba rzeczywista nie ma własności 𝑥² = −1

Inaczej mówiąc, dla każdej liczby rzeczywistej nieprawda, że 𝑥² = −1

𝑥

~ϕ(x)

~

𝑥 ϕ(x) ⇔

ϕ(x): 𝑥² > 0

Dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi 𝑥² > 0

Nieprawda, nie dla każdej liczby rzeczywistej mamy 𝑥² > 0

Inaczej mówiąc, istnieje liczba, dla której nie zachodzi 𝑥² > 0, np. x=0

Prawa rozdzielności dla kwantyfikatorów

𝑥

(ϕ(x) ∧ ψ 𝑥 ) ⇔

𝑥

ϕ(x) ∧

𝑥

ψ(x) Mamy dwie formy zdaniowe ϕ(x), ψ 𝑥

𝑥

(ϕ(x) ∨ ψ 𝑥 ) ⇔

𝑥

ϕ(x) ∨

𝑥

ψ 𝑥

𝑥

ϕ(x) ∨

𝑥

ψ(x) ⟹

𝑥

(ϕ(x) ∨ ψ 𝑥 )

𝑥

(ϕ(x) ∧ ψ 𝑥 ) ⟹

𝑥

ϕ(x) ∧

𝑥

ψ 𝑥

Uwaga, tutaj implikacji nie da się odwrócić, czyli nie ma równoważności

Rachunek zbiorów

Pojęcie zbioru i relacja należenia do zbioru – to tzw. pojęcia pierwotne, których nie definiujemy.

A, B, X, Y – tak oznaczamy zbiory

a, b, x, y – tak oznaczamy elementy zbiorów

𝑥 ∈ 𝑋, ~ 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ∉X x należy do zbioru X

Moc zbioru 𝑋 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó𝑤, 𝑚𝑜ż𝑒 𝑏𝑦ć 𝑛𝑖𝑒𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑎

Φ 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑝𝑢𝑠𝑡𝑦, 𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑎 ż𝑎𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó𝑤

Działania na zbiorach

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 − 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∼ 𝑥 ∈ 𝐵 Suma

Iloczyn

część wspólna

Różnica

Dopełnienie

Suma

Iloczyn

Różnica

Dopełnienie 𝐴^′ = ∼ 𝐴 = 𝑥: ∼ 𝑥 ∈ 𝐴

Zawieranie dwóch zbiorów

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔

𝑥

(x ∈ 𝐴 ⟹ x ∈ 𝐵)

A B Zbiory A i B są rozłączne gdy 𝐴 ∩ 𝐵 = Φ

A B

Podstawowe prawa rachunku zbiorów

Idempotentność Przemienność Łączność

Rozdzielność

Proszę samodzielnie napisać te prawa i niektóre z nich udowodnić na ćwiczeniach

Prawa de Morgana dla rachunku zbiorów 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶)

𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶) A B 𝐵 ∩ 𝐶 C

Zbiory liczbowe: N, C, W, niewymierne, R, zespolone

2 − 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑛𝑖𝑒𝑤𝑦𝑚𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎

2 = 𝑛

𝑚 − 𝑢ł𝑎𝑚𝑒𝑘 𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑘𝑟𝑎𝑐𝑎𝑙𝑛𝑦 2 = 𝑛²

𝑚²

2𝑚² = 𝑛² − 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑛 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏ą 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡ą, 𝑎 𝑤𝑖ę𝑐 𝑛 = 2𝑘 2𝑚² = 4𝑘²

𝑚² = 2𝑘² − czyli m też jest liczbą parzystą, ale ułamek n

m miał być nieskarcalny − sprzecznosć Dowód przez sprzeczność:

Równoliczność zbiorów X Y

Zbiory X i Y są równoliczne, gdy istnieje funkcja 𝑓: 𝑋 → 𝑌 taka, że dla każdego y istnieje dokładnie jeden x, taki że f(x)=y Mówimy, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz „na zbiór Y”, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym.

Równoliczność zbiorów nieskończonych

Zbiór liczb nieparzystych NP i zbiór liczb parzystych P są równoliczne bo 𝑓: 𝑁𝑃 → 𝑃 𝑓 𝑛 = 𝑛 + 1

Ale uwaga, niespodzianka

Zbiór wszystkich liczb naturalnych N też jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych 𝑓: 𝑁 → 𝑃 𝑓 𝑛 = 2𝑛

Można udowodnić, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych, ale już nie jest równoliczny ze zbiorem liczb niewymiernych i zbiorem Liczb rzeczywistych

Zbiór Cantora

Bierzemy odcinek [0,1], dzielimy na 3 równe części i wyrzucamy środkową, itd. …

Oblicz „długość” końcowego zbioru.

Na n-tym poziomie mamy

0 1 2

Itd. ….

2^𝑛 ∙ 1

3^𝑛 = (2

3)^𝑛→ 0

Inny wariant: dzielimy odcinek [0,1] na pięć równych części i wyrzucamy środkową, itd…

Iloczyn kartezjański.

𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎, 𝑏 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑝𝑜𝑟𝑧ą𝑑𝑘𝑜𝑤𝑎𝑛𝑎

𝐴𝑥𝐵 = { 𝑎, 𝑏 , 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} – zbiór wszystkich par uporządkowanych Def. Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B to

a A B

b

A x B (a,b)

Przykłady

Niech A={3,5,8}, B={a,f}, wtedy A x B = { (3,a), (3,f), (5,a), (5,f), (8,a), (8,f) }

𝑅² = 𝑅𝑥𝑅 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} − 𝑝ł𝑎𝑠𝑧𝑐𝑧𝑦𝑧𝑛𝑎 𝑧 𝑘𝑎𝑟𝑡𝑒𝑧𝑗𝑎ń𝑠𝑘𝑖𝑚 𝑢𝑘ł𝑎𝑑𝑒𝑚 𝑤𝑠𝑝ół𝑟𝑧ę𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ

𝑅³ = 𝑅𝑥𝑅𝑥𝑅 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 − 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠𝑡𝑟𝑧𝑒ń 3 − 𝑤𝑦𝑚𝑖𝑎𝑟𝑜𝑤𝑎 𝑧 𝑘𝑎𝑟𝑡𝑒𝑧𝑗𝑎ń𝑠𝑘𝑖𝑚 𝑢𝑘ł𝑎𝑑𝑒𝑚 𝑤𝑠𝑝ół𝑟𝑧ę𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ

𝑋₁𝑥𝑋₂𝑥𝑋₃𝑥 … 𝑋_𝑛 = {(𝑥₁, 𝑥₂ … 𝑥_𝑛): 𝑑𝑙𝑎 𝑘𝑎ż𝑑𝑒𝑔𝑜 𝑖 = 1. . 𝑛, 𝑥_𝑖∈ 𝑋_𝑖}

(2,3) x {-1} = { (x,y): 2<x<3 oraz y=-1}

Tw. Rozdzielność sumy mnogościowej względem iloczynu kartezjańskiego 𝐴 ∪ 𝐵 𝑥𝐶 = 𝐴𝑥𝐶 ∪ 𝐵𝑥𝐶

A B

C A x C B x C

𝑧 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑥𝐶 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ⇔ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴𝑥𝐶 ∨ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐶 ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐶 ∪ 𝐵𝑥𝐶