Rówania rózniczkowe 1-go rz˛edu— podstawowe poj˛ecia (Wykład 10; 9.12.2007) Wzrost wykładniczy- przykład

Rówania rózniczkowe 1-go rz˛edu— podstawowe poj˛ecia (Wykład 10; 9.12.2007)

Wzrost wykładniczy- przykład

Załózmy, ˙ze na pocz ˛atku eksperymentu liczebno´s´c kultury bakterii P (0) jest równa 10000. Przyjmujemy, ˙ze liczebno´s´c bakterii podwaja si˛e po upływie 20 minut oraz ˙ze wzrost populacji jest wykładniczy:

P (t + 20) = 2P (t), t ­ 0,

P (t) = 10000a^t = 10000e^{ln at} = 10000e^bt, gdzie 1 6= a > 0 i b = ln a.

Chcemy znale´z´c:

(i) pr˛edko´s´c zmiany liczebno´sci bakterii dla t = 10, t = 30 i t = 50 [min];

(ii) liczebno´s´c populacji dla warto´sci zmiennej t z (i).

Wzrost populacji — c.d.

P (20) = 10000e^20b = 20000 sk ˛ad

e^20b = 2,

b = ln 2/20 = 0,034.

Pochodna P⁰(t) na R jest równa:

P⁰(t) = b · 10000e^tb0,034 · 10000e^0,034t. St ˛ad:

P⁰(10) = 0,, 034 · 10000e^0,034·10 = 477,682;

0,034·10

oraz

P⁰(30) = 0,034 · 10000e^0,034·30 = 942,886;

P (30) = 10000e^0,034·30 = 27731,95 i

P⁰(50) = 0,034 · 10000e^0,034·50 = 1861,142;

P (50) = 10000e^0,034·50 = 54739,47.

Równania ró˙zniczkowe

Dlaczego mogli´smy zało˙zy´c w Przykładzie 1, ˙ze liczebno´s´c bakterii ro´snie wykładniczo? Wynika to st ˛ad, ˙ze pr˛edko´s´c wzrostu populacji jest

proporcjonalna do liczebno´sci bakterii w danej chwili:

P⁰(t) = kP (t), k ­ 0. (1)

Równanie (1) jest przykładem równania ró˙zniczkowego. Mo˙zna sprawdzi´c,

˙ze ma rozwi ˛azania postaci:

P (t) = Ce^kt, C ∈ R. (2)

Z teorii równa´n ró˙zniczkowych wynika, ˙ze wszystkie rozwi ˛azania równania (1) maj ˛a posta´c (2). Dokładnie jedno z tych rozwi ˛aza´n spełnia tzw. warunek pocz ˛atkowy: P (0) = 10000.

Równania ró˙zniczkowe pierwszego rz˛edu

Definicja 1 Równanie postaci

y⁰ = f (t, y), (3)

b˛edziemy nazywa´c równaniem ró˙zniczkowym pierwszego rz˛edu, gdzie y = y(t) jest funkcj ˛a zmiennej t.

Definicja 2 Równanie (3) z warunkiem

y(t₀) = y₀

bedziemy nazywa´c zagadnieniem pocz ˛atkowym.

Przy pewnych, w zagadnieniach praktycznych zazwyczaj spełnionych, zało˙zeniach zagadnienie pocz ˛atkowe ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie.

Rozwi ˛ azanie równania ró˙zniczkowego i zagadnienia pocz ˛ atkowego

Definicja 3 Funkcj˛e y(t) b˛edziemy nazywa´c rozwi ˛azaniem równania ró˙zniczkowego pierwszego rz˛edu (3) na przedziale (a, b), je˙zeli

y⁰ = f (t, y(t)) na przedziale (a, b).

Definicja 4 Funkcj˛e y(t) b˛edziemy nazywa´c rozwi ˛azaniem zagadnienia pocz ˛atkowego, je˙zeli jest rozwi ˛azaniem równania (3) na pewnym przedziale zawieraj ˛acym t₀ oraz

y(t₀) = y₀.

Przykład– ci ˛ agła kapitalizacja odsetek

Bank B prowadzi konto a’vista z ci ˛agł ˛a kapitalizacj ˛a odsetek. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze K(t), kapitał w chwili t, zdeponowany w tym banku spełnia równanie:

K⁰(t) = rK(t),

gdzie r > 0 jest pewn ˛a stał ˛a („roczn ˛a stop ˛a procentow ˛a”); czas t jest liczony w latach. Zakładamy, ˙ze w czasie t = 0 kapitał jest równy K₀.

Ci ˛ agła kapitalizacja odsetek–c.d.

Przy kapitalizacji rocznej, po t latach, kapitał urósłby do warto´sci K₀(1 + r)^t

Je´sli kapitalizacja nast˛epowałaby n razy w roku, to po t latach kapitał byłby równy

K₀

1 + r n

^nt

. (4)

Przechodz ˛ac z n do ∞ (co odpowiadałoby ci ˛agłej kapitalizacji) otrzymujemy:

K(t) = K₀e^rt.

Funkcja K jest rozwi ˛azaniem zagadnienia pocz ˛atkowego:

K⁰(t) = rK(t), K(0) = K₀.

Równania rózniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Definicja 5 Równanie rózniczkowe, które mo˙zna przedstawi´c w postaci:

y⁰ = g(t)h(y) (5)

b˛edziemy nazywa´c równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Je˙zeli g(t) i h(y) s ˛a ci ˛agłe, h(y) 6= 0, to rozwi ˛azanie (5) otrzymujemy znajduj ˛ac rozwi ˛azanie równania

Z 1

h(y)dy = Z

g(t)dt + C, (6)

gdzie C jest dowoln ˛a stał ˛a a całki w (6) rozumiemy s ˛a jako dowolne (aczkolwiek ustalone) funkcje pierwotne.

Równania rózniczkowe o zmiennych rozdzielonych—

istnienie i jednoznaczno´s´c rozwi ˛ azania

Twierdzenie 1 Je˙zeli

• funkcja g jest ci ˛agła na przedziale (a, b),

• funkcja h jest ci ˛agła na przedziale (c, d),

• h(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d),

• t₀ ∈ (a, b) oraz y₀ ∈ (c, d), to dla zagadnienia pocz ˛atkowego

y⁰ = g(t)h(y), y(t₀) = y₀ istnieje dokładnie jedno rozwi ˛azanie.

Ci ˛ agła kapitalizacja odsetek— c.d.

Równanie

K⁰(t) = rK(t),

mo˙zna rozwi ˛aza´c korzystajac z metody „rozdzielania zmiennych”;

otrzymujemy:

Z 1

K dK = Z

rdt, sk ˛ad

ln K = rt + C i

K = e^Ce^rt = C₁e^rt.

Je´sli okre´slony jest warunek pocz ˛atkowy K(0) = K₀, to stała C₁ jest równa K₀.

Wzrost populacji— funkcja logistyczna

Niech N (t)— liczebno´s´c populacji bakterii; zakładamy, ˙ze dN

dt = kN (a − N ), (7)

gdzie a i k s ˛a stałymi dodatnimi. Stała a mo˙ze by´c interpretowana jako ograniczenie górne liczebno´sci populacji, je´sli warunek pocz ˛atkowy ma posta´c N (x0) = N₀ < a.

Równanie (7) nazywane jest w literaturze równaniem logistycznym.

Wzrost populacji — funkcja logistyczna — c.d.

Zauwa˙zmy, ˙ze (7) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, gdzie g(t) = k i h(N ) = N (a − N ), sk ˛ad:

Z dN

N (a − N ) = Z

kdt;

lub

Z dN

N (1 − N/a) = Z

rdt gdzie r = ak.

Uwaga R _dx

f (x) to skrócony zapis R ₁

f (x)dx

Wzrost populacji— c.d.

Poniewa˙z

1 N +

1 a

1 − ^N_a = 1

N (1 − N/a) wi˛ec nasze równanie mo˙zna przepisa´c w postaci:

Z dN

N +

1 adN 1 − ^N_a =

Z

rdt.

Poniewa˙z

Z dN

N = ln |N |+C₁,

Z 1

adN

1 − ^N_a = − ln  

1−N a

+C₂,

Z

rdt = rt+C₃, wi˛ec

ln 

 N 

 = rt + C , gdzie C = C − C − C . (8)

Wzrost populacji— równanie logistyczne

Warunkowi pocz ˛atkowemu N (t₀) = N₀ < a odpowiada nierówno´s´c N (t) < a, t ∈ R,

warunkowi N (t0) = N₀ > a

N (t) > a, t ∈ R, warunkowi N (t₀) = N₀ = a odpowiada

N (t) = a, t ∈ R.

Równanie logistyczne— zało˙zenie N

< a

Przy zało˙zeniu N (t0) = N₀ < a z równania (8) wynika N

1 − ^N_a = e^C0+rt = Ce^rt, (9) gdzie C = e^C0.

Znajdujemy, ˙ze

N = (1 − N

a )Ce^rt, N (1 + C

a e^rt) = Ce^rt, N = Ce^rt

1 + ^C_a e^rt.

Równanie logistyczne— zało˙zenie N

< a— wyznaczanie stałej na podstawie warunku pocz ˛ atkowego

Je´sli dany jest warunek pocz ˛atkowy N (0) = N0 < a, to łatwo pokaza´c, ˙ze C = aN₀

a − N₀

Równanie logistyczne— zało˙zenie N

< a

Funkcja

N (t) = Ce^rt

1 + ^C_a e^rt = a

1 + _C^a e^−rt = a

1 + be^−rt, gdzie b := _C^a .

Poniewa˙z z naszych rozwa˙za´n wynika, ˙ze a, b, r > 0, wi˛ec N⁰(t) > 0 oraz N⁰⁰(t) = abr²e^−rt(be^−rt − 1)

(1 + be^−rt)³ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy b = e^rt, N⁰⁰(t) > 0 dla t < t₀ = ^{ln b}_r i N⁰⁰(t) < 0 dla t > t₀, a wi˛ec t₀ jest punktem przegi˛ecia N.

Funkcja logistyczna— wykres

−5 0 5 10 15

010203040

t

f(t)

Rysunek 1: Wykres funkcji logistycznej dla a = 40, b = 5 i r = 0,5

Lektura uzupełniaj ˛ aca

M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania ró˙zniczkowe zwyczajne, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001.