Zbadać zbieżność ciągu:
1. an=n2n−42
2n2
+ i · n2−2n3+3n3. 2. an=1+i2 n.
3. an= (√
n2− 2 − n) + in1−3n2+2n2. 4. an= 3nn44−3n+5−3n2+1 + √n
2n+ 3n· i.
5. an= (3+i)nn4−3in+54−3n2+1. 6. an= √n
n + 3n· i.
7. an= (√
n2+ 3 − n) + i3nn33−3n+2n2. 8. an= −4n2n44−n+3+n2+1 +√n
4n+ 3n· i.
9. an= n
√2n+5n
n2−1 + i2n3n55−3n+8n2. 10. an= 3nn44−n−2n+12+2 + √n
2n+ 4n+ 3n· i.
11. an=nn33+5−1n
3
+ i(√
n2+ 4n −√
n2+ 1).
12. an= 2nsin n2+32 +√ i
n2+3n−n. 13. an= √n
3n+ 4n+ i3nn22−3n+5+5n−7. 14. an=1 −n32n
2
+3nin33+in−2n+i2−2i. 15. an= 2n5n44−3n−3n+52+1 + √n
4n+ 3n· i.
16. an= (√
n2− 6 − n) + i4n1−3n2+2n2 . 17. an= 3+(2−i)nin2−2n+i2.
18. an= (
√ 3+i)n
n! .
Zbadać zbieżność szeregu 19. +∞P
n=1 (1+i√
3)n n3
20. +∞P
n=1
sin n!
n4 + in+23n . 21. +∞P
n=0
(2+i)n·cos n!
n! . 22. P∞n=0(3+4i)n! n. 23. P∞n=0sin n!+3in2+5 . 24.
+∞
P
n=1 (1+i)n
n3 . 25.
+∞
P
n=1
(i)n+sin n n4 . Szeregi potęgowe.
26. Zbadać dla jakich z ∈ C szereg
+∞
P
n=1 in
3n·n4zn jest zbieżny.
27. Zbadać dla jakich z ∈ C szereg
+∞
P
n=0 2n
n!zn jest zbieżny.
28. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu:
+∞
P
n=0 in+2
2n+n2(z − i)n. 29. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu:
+∞
P
n=0 3n+2
2n+n2(z + i)n. Granica funkcji. Obliczyć:
30. lim
z→i z4+1 z2+1, 31. lim
z→2−i z−2+i z2−4z+5,
1
32. lim
z→−i
z3−i z2+(1+i)z+i.
1. Odpowiedzi:
1. e−8−12i.
2. 0.
3. −13i.
4. 13 + 3i.
5. 3−i10 . 6. 3i.
7. 3i.
8. −12 + 4i.
9. 32i.
10. 3 + 4i.
11. e6+ 2i.
12. 23i.
13. 4 +13i.
14. e−3+13i.
15. 52 + 4i.
16. −43i.
17. −1+2i5 . 18. 0.
19. rozbieżny.
20. rozbieżny.
21. zbieżny bezwzględnie.
22. zbieżny bezwzględnie.
23. zbieżny bezwzględnie.
24. rozbieżny.
25. zbieżny bezwzględnie.
26. zbieżny w kole |z| 6 3.
27. zbieżny dla z ∈ C 28. R = 2
29. R = 23. 30. ∞.
31. 12i.
32. −3−3i2 .
2
