Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 14

18.01.2018

Skrócenie Lorentza _ ^ _ ^

 























' '

' '

x t

c x

x t

c t

c









O’ – układ związany z rakietą o długości L’ . Pomiar

długości to równoczesny pomiar obydwu końców  t’=0.

 ^{c t x}   ^{c L}  ^L

L     '   '     0      

Jednoczesne błyski w O’ są niejednoczesne w O.

 ^{c t x}  ^L

t

c     '    '    W tym czasie rakieta

przelatuje odcinek:  x  v  t   c  t  

L  Odcinek ten należy odjąć, gdyż pomiar L był

niejednoczesny.  

 





 ^{L L L L}

x L

L 

 



 

 









0

1

W układzie O mierzymy jednocześnie L



L L 

0



Paradoks bliźniąt

Kosmonauta wyrusza w podróż na  Centauri, jego brat bliźniak zostaje na Ziemi. Obaj bracia - obserwatorzy mierzą czas

pomiędzy dwoma zdarzeniami:

Wylotem rakiety powrotem z podróży

Poruszają się względem siebie z prędkością porównywalną z

prędkością światła  każdy z nich stwierdzi, że jego brat

powinien być młodszy (dylatacja czasu)

Paradoks bliźniąt

Jednakże oba zdarzenia zaszły w tym samym

miejscu, bracia powinni być w tym samym wieku ! (z niezmienniczości interwału)

Jak rozstrzygnąć czy i który z braci będzie młodszy ?

 Cen odległa jest od Ziemi ok. 4,3 lat świetlnych.

Przyjmijmy, że podróż odbywa się z prędkością:

5 , 1 745

,

0 

 c 

v

Według brata na Ziemi

podróż zajmie: lat

v

t l 11 , 5

745 ,

0

3 , 4 2

2  





Dzięki dylatacji czasu, czas mierzony

przez kosmonautę skróci się: t lat

t 7 , 7

5 , 1

5 , '   11 



Paradoks bliźniąt

Dla kosmonauty odległość skróci

się (skrócenie Lorentza) do: ^{l  } _ ^{l } ₁ ⁴ _, ^, ₅ ^{3  2 , 9} Podróż będzie więc trwała:

lat świetlnych

v lat

t l 7 . 7

745 , 0

9 , 2 2

2  

 

 



Tyle samo co policzył brat na Ziemi ! Dla kosmonauty bieg zegarów na Ziemi ulega

spowolnieniu (dylatacja czasu). W czasie jego lotu do układu - Centaura na Ziemi mija tylko:

Ale brat na Ziemi stwierdził, że minęło 11,5 lat. Gdzie podziało się 6 lat!

t lat

t 5 , 1

5 , 1

7 , 7 

 

 

 

Efekt Dopplera

W przypadku fal dźwiękowych znanych z codziennego doświadczenia...

Jeśli źródło dźwięku jest nieruchome względem

obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o niezmienionej częstości.

Jeśli źródło dźwięku porusza się względem obserwatora,

obserwator słyszy

dźwięk o wyższej lub niższej częstości.

Efekt Dopplera klasycznie

Jeśli źródło dźwięku porusza się względem obserwatora,

obserwator słyszy

dźwięk o wyższej lub niższej częstości.

T T v

v

'  



v 1 v

1 v

v ' v

s



 

  



Dla źródła lub obserwatora

oddalającego się zmieniają się znaki !

T

 v



Dla nieruchomego źródła dźwięku i dźwięku o prędkości v:

Dla źródła dźwięku poruszającego się z prędkością v_s:

s s

s

T T

T v v

v v

v v 1

v v

v '

' v

 

 

 

 

 

Częstotliwość ’ będzie:

Efekt Dopplera klasycznie

Jeśli źródło dźwięku porusza się względem obserwatora,

obserwator słyszy

dźwięk o wyższej lub niższej częstości.

T c T

s s

s

1 v /

1 v

c c '

' c v

c

'  

 







  

 



Jeśli źródło światła porusza się względem obserwatora (zbliżanie) mamy:

 

   1 ' 1

Jeśli obserwator porusza się (zbliża się) względem źródła światła

  



 '  1 

Dla źródła lub obserwatora

oddalającego się zmieniają się znaki !

T

 c



Jeśli źródło emituje światło to:

Efekt Dopplera

Źródło i obserwator definiują dwa układy odniesienia poruszające się względem siebie!

Jeśli poruszają się z dużymi prędkościami należy uwzględnić dylatację czasu:

Ruchome źródło

Z punktu widzenia obserwatora poruszające się źródło drga z Częstością



Ruchomy obserwator

Z punktu widzenia źródła czas w układzie poruszającego się

obserwatora biegnie wolniej, dlatego mierzy częstość



    

 



 

 

1 1

1 1

1

2

   

  













 

 

 

1 1 1

1

' f / f f

f    

  

 

 

 





 1

1 1

' f f

f

Relatywistycznie - pełna symetria !

Efekt Dopplera

Efekt Dopplera obserwowany w warunkach laboratoryjnych dla fal elektromagnetycznych jest na ogól bardzo niewielki

(z wyjątkiem akceleratorów cząstek i ciężkich jonów).

Duże efekty widoczne w obserwacjach astronomicznych

Linie emisyjne

Światło emitowane przez wzbudzone atomy.

Linie absorpcyjne

Widoczne w świetle

przechodzącym przez gaz.

W obu przypadkach pozycja linii jest ściśle określona (dla danego atomu)

Efekt Dopplera

Mierząc linie absorpcyjne w widmie galaktyk możemy wnioskować o ich ruchu i wyznaczyć ich prędkość względem nas.

Prawo Hubbla

Dzięki efektowi Dopplera wiemy, że Wszechświat się rozszerza.

W 1929 roku Edwin Hubble jako pierwszy powiązał obserwowane prędkości mgławic z ich odległością od Ziemi.

Zauważył on, że prędkość ucieczki rośnie z odległością od Ziemi:

r H v  

r - odległość, H - stała Hubbla Obecne pomiary: H ~ 72 km/s/Mpc

m Mpc 3 10

1  

Dodawanie prędkości



 



















' '

' '

c dx dt

dt

dx cdt

dx

 







' 1

' '

1 '

' ' '

'

' '

2

2

u

c v

u u v

dt dx c

c dt c dx c dx

dt

dx cdt

dt dx



 







 











  



 







Po podzieleniu równań stronami:

Co będzie jeśli w układzie primowanym obiekt porusza się z prędkością u’c?

c c

v c

c v c

v c v c c

v c

u v  

 



 



 

1

1

Nic, nawet światło nigdy nie przekroczy

Po podzieleniu licznika i mianownika przez dt’:

Pęd i energia relatywistycznie

Klasycznie Relatywistycznie

mv p 

masa

m  m  m ( v ) m ( v )  m 

c m

v m

p    

2 mv

E



 

2 0

2

1 c m

E E

E

mc E

c m E

k

   









 

 ^{p E c} 

p

c p E

E

 /



 



 

 











Transformacja energii i pędu podobna jak transformacja czasu i współrzędnych

 

 



 

 

 



 

 

 





c p E pc

E

' '











E 

pc

Pęd i energia relatywistycznie

Klasycznie Relatywistycznie

mv p  masa

m  m  m ( v ) m ( v )  m 

c m

v m

p    

2 mv

E



 

0

2 0

2

1 c m

E E

E

mc E

c m E

k

   









 

  ^{ }  

 

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

1

1

1

mc inv

c p E

mc c

c m

c m

mc



















 











 



Niezmiennik!

Niezmiennik relatywistyczny

 

2 2

2

p c inv mc

E   

Dlaczego nie zachodzi zjawisko fotoelektryczne na swobodnym elektronie?

Dla fotonu:

c p E

c p

E



 0 



 e e

 ^E

^{ mc}



^{ E}

^{ inv }   ^mc

Przed – układ LAB, po układ elektronu.

   

0 2

2

2

2 2 2

2 2 2 2

















mc E

mc E

mc E

mc E









Albo foton ma energię E=0 Albo elektron ma masę m=0

Niezmiennik relatywistyczny

Przykład:

Rozpad kaonu

MeV/c². Wyznacz maksymalna i minimalną energię pionu, która może zostać zmierzona w układzie laboratoryjnym.

Rozw.

Współczynniki transformacji Lorentza z układu kaonu do układu laboratoryjnego można wyliczyć znając energię kaonu:

3 5 500

833

2

2    

 MeV

MeV c

m c E

m E

K

K 

 

5 25 4 / 16 25

/ 9 1 1 1

1 ²  ₂     ^2    

 

Energię maksymalną, minimalną i pędy w Lab liczymy z transformacji Lorentza energii i pędu.

 ^{E p c}  ^p  ^{p E c} 

E               /

Rozpad kaonu cd.

Energie pionów w układzie

kaonu to z niezmiennika:

2 c

E

 m

Pędy pionów w układzie kaonu to

z niezmiennika dla pionu:

E

 p

c

 m

c

 p

c

 E

 m

c

Mając pędy i energie możemy dokonać transformacji E i p licząc np. E_max.

   











  



 



 













 ^{2 4}

2 2 2

max 4

2 2

max m2c m2c m c

E c

m E

E c

p E

E  _  _  _  _{ }  ^K  ^K _

   











  



 



 













 ^{2 4}

2 2 2

min 4

2 2

min m2c m2c m c

E c

m E

E c

p E

E  _  _  _  _{ }  ^K  ^K _

Podobnie można wyliczyć E_min

Teraz można podstawić dane i uzyskać wynik liczbowy:

E_max 675MeV, E_min 75MeV

 ^{E p c} 

E       

Rozpad kaonu - liczby

Energie pionów w układzie

kaonu to z niezmiennika:

m c MeV

E

250

2

2







Pędy pionów w układzie kaonu to z niezmiennika dla pionu:

   

MeV c

p

MeV MeV

c m E

c p c

m E

c p

194 23

100 4

, 1 5

, 2 100

140 250

2 2

2 4 2

2 2

4 2 2

2 2







































   

 

E

c m E

E c

p E

E

675 3 405

194 5 5

250 4 3

194 5

max 250

4 2 2

max





 



 



  

































 _{    }

   

 

E

c m E

E c

p E

E

75 3 45

194 5 5

250 4 3

194 5

max 250

4 2 2

min





 



 



  

































 _{    }