Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 10

7.XII.2017

Prawo powszechnego ciążenia

r

G mM F 

Opisuje zarówno spadanie jabłka z drzewa jak i ruchy Księżyca i planet.

Grawitacja jest opisywana przez jeden parametr, stałą Newtona (grawitacji):

2

11 2

10 67

,

6

G  

potwierdzona przez

doświadczenie Cavendisha (1798), w którym zmierzył oddziaływanie kul ołowianych masach:

m = 0.73 kg i M = 158 kg.

Doświadczenie Cavendisha

kx a

m

F    



  



 I M

Dla sprężyny Dla wahadła torsyjnego

 

  T ^I

I  2

 k

T m m

k 

   2

2

4

T

 I

 

2

2 r

G mM F L

L   

 

  ¹

2



 r

G LmM

2 2

2

4

2

T I LmM

G   r  

Doświadczenie Cavendisha

2 2

2

4

2

T I LmM

G   r  

Cavendish (1798),

zmierzył oddziaływanie kul ołowianych masach:

m = 0.78kg,  =51mm i M = 158 kg,  =300mm . L=1,8m, I  2mr

=mL

/2=1,26kg  m

Odległości między środkami kul r=230mm

Wyznaczył: T (po odchyleniu z położenia równowagi)

i  (spowodowany zbliżeniem kul na r=230mm) Cavendish wyliczył gęstość Ziemi jako  =5,48 ± 0,038g/cm

Stała grawitacyjna G została wyznaczona później (1873 - 75 lat po eksperymencie Cavendisha) jako: G = 6.74 × 10

m³ kg

s

G = 6.672 × 10

m³ kg

s

Prawo powszechnego ciążenia

R mg m GM

F 



2

11 2

10 67

,

6

G  

R

G mM F 

kg M  5 , 98  10

Promień Ziemi R=6370 km, g=9,81m/s

R

g R

gR M

G gR







  

 

 4

3

3 3

4 2 2

Wyznaczenie G i  są równoważne

GR g

 

 

4

3

Prawo powszechnego ciążenia

r mg m GM

F 



2

11 2

10 67

,

6

G  

r

G mM F 

kg M  5 , 98  10

Masa Ziemi wynosi 5,98 × 10

kg Promień Ziemi R=6370 km

 

2 2

2 2

10 83

, 37 9

, 6

10 98

, 5 67 , 6

10 37

, 6

10 98

, 5 10

67 , 6

2

6 2

24 11

2

s m s

m kg

N

kg Nm

z

m

kg R

g GM



 

 







 





Doświadczenie Jolly’ego

Doświadczenie Philippa von Jolly’ego (1809- 1884) wykonane na Uniwersytecie

Monachijskim (1878). Kule z rtęcią (5kg) zawieszone na szalkach (linki 25m).

1. Kule z rtęcią na górze, puste na dole 2. Zmiana położenia kuli prawej (na dół),

trzeba zrównoważyć układ +31,7 mg na lewej szalce

3. Pod dolna szalke wsuwamy kulę ołowianą o masie 5775,2 kg. Trzeba znow

równoważyć układ – dodatkowo +0,59 mg Dlaczego należy równoważyć szalki przy zmianie położenia kolby z rtęcią?

Dlaczego należy równoważyć szalki przy wsunięciu kuli z ołowiu?

G = 6.46 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²

Prawo powszechnego ciążenia

r

G mM F 

Prawo powszechnego ciążenia sformułowane zostało dla mas punktowych.

Ale stosuje się je także dla oddziaływań ciał sferycznie symetrycznych.

Siła ciążenia dla ciała przy powierzchni Ziemi:

Z Z Z

Z Z Z

Z

R gR GM

R albo g GM

R mg G mM

F











2 2

Prawo powszechnego ciążenia

Stąd energia

potencjalna w polu

grawitacyjnym:

const

r GMm r

GMmdr

E

 

  

Energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M określona jest z dokładnością do stałej i wynosi:

Zwyczajowo przyjmuje się const = 0, co jest równoważne ustaleniu

   

r r

r r GMm

r F r E

F





 

 



 ^{r  }  ^{ 0  const  0}

E

r E

  GMm

Powinniśmy policzyć energię potencjalną

pochodzącą od powłoki kulistej !

Energia potencjalna od powłoki kulistej



 sin 2 R

Powierzchnia pierścienia:





 R d r

GM r

dm

dE

  GM   2

sin 

1 1 1

1

długość.

Masa:

 d R 





 R d

dS  

 2

sin

Gęstość

powierzchniowa

4 R

M

  







 dS R d

dm    2

sin 

Energia

potencjalna od paska:

 d 

Rd 

R

M

sin  R r

r

szer.

Energia

potencjalna od powłoki kulistej

 cos

2

2

2 2

1

 r  R  rR  r

Wszystkie punkty pierścienia są jednakowo odległe od masy próbnej M₁, a twierdzenie cosinusów daje:

1 2 1

1

1

2

sin

2 dr

r

R d GM

r R

dE

  GM       

Po zróżniczkowaniu

wzoru cosinusów mamy:

Energia potencjalna od paska:

 d 

Rd 

R

M

sin  R r

r

 ^  ^{rR  d }

d rR dr

r   2  cos  2 sin  2

r dr r

d

R

1

sin  

  

Energia

potencjalna od powłoki kulistej

1 1

2

r dr

R dE

_{ } GM 

Dla:

Całkowanie po r₁ prowadzi do:

 d 

Rd 

R

M

sin  R r

r

R r

r R

r R

r    

 

R dr

R r

R r

1

 2







r

M E GM

r

R dr GM

r

R dE GM

E

p

R r

R r R

r

R r

p p

1

2 1

1

1

2 4

 



 





 















Jak dla masy

punktowej !

Energia potencjalna wewnątrz powłoki kulistej

Dla:

Całkowanie po r₁ prowadzi do:

r R

r r

R R

r    

  r dr

r R

r R

1

 2





R

M E GM

r

Rr dr GM

r

R dE GM

E

p

r R

r R r

R

r R

p p

1

1 1

1

2 4

 



 





  













Energia potencjalna

jest stała wewnątrz

powierzchni kulistej !

Ruch w polu grawitacyjnym -model

Dwuwymiarowy ruch ciała po zakrzywionej powierzchni.

Profil wysokości odpowiada energii potencjalnej pola grawitacyjnego:

Siły od powłoki kulistej i wewnątrz kuli jednorodnej

Dla powłoki:

Wewnątrz kuli o jednorodnym rozkładzie masy:

 

3

; 4 3

4 r M R

r

M      

     

   



 











 



 



R r

r F

R r r

M r GM

F r

r E

F

0

2 1

R r

i

const 

 

   

3 1 3

3 2

3 3

4 1 2

1

R

r M GM

R R r

r GM

r

r M r GM

F        

  ^{r GM M r}

F  



Potencjał od kuli jednorodnej

Siła:

I ostatecznie:

  ^{r C}

R

M dr GM

r F

U    

₂



  R

r R

M r GM

F  



Daje energię potencjalną:

Z warunku:

R M C GM

R M GM

R M R GM

r

U

) 2

(       

R M C GM

2

3







  R

M GM

R r R

M r GM

U 2

3 2

1 2

1

 



 



 

Potencjał od kuli jednorodnej

Siła:

 

R r R

M r GM

F  



Energia potencjalna:

  R

M GM

R r R

M r GM

U 2

3 2

1 2

3

1

 



 



 

R0

 

F

 

U

0 1

R M

 GM

0 1

2 3

R M

 GM

Wewnątrz kuli

Ruch satelity

Satelita na orbicie kołowej o promieniu R.

Siła grawitacji:

R

G mM

F 

jest siłą dośrodkową konieczną do utrzymania satelity na orbicie:

R mV R

G mM

2

2



R gR

V  GM



s V  7 , 91 km

Pierwsza prędkość kosmiczna (R = R_Z).

Prędkość pozioma konieczna do “oderwania”

od Ziemi (zaniedbując jej ruch wirowy)