Tematyka referatów na Seminarium w roku akademickim 2014/2015
7 Ciało liczb zespolonych. (2 godz., 18 kwietnia, Magdalena Bro˙zy ´nska)
7.1 Poda´c definicj˛e liczby zespolonej. Co to jest cz˛e´s´c rzeczywista, cz˛e´s´c urojona, sprz˛e ˙zenie i moduł liczby zespolonej? Co to jest jednostka urojona? Jaka jest interpretacja geometryczna tych poj˛e´c?
7.2 Co to jest posta´c kanoniczna liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛edziałania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej?
7.3 Co to jest posta´c posta´c trygonometryczna liczby zespolonej? Co to jest argument i argument główny liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej?
7.4 Co nazywamy pierwiastkiem liczby zespolonej? Jaka jest ró ˙znica mi˛edzy pier- wiastkiem liczby zespolonej o zerowej cz˛e´sci urojonej a pierwiastkiem tej liczby rozumianej jako liczby rzeczywistej? Poda´c i zilustrowa´c na przykładzie wzór na wszystkie pierwiastki n–tego stopnia z liczby zespolonej.
7.5 Jak brzmi zasadnicze twierdzenie algebry?
8 Przestrzenie liniowe. (2 godz., 18 kwietnia, Marta Ryłek)
8.1 Sformułowa´c definicj˛e przestrzeni liniowej. Poda´c przykłady.
8.2 Co to jest podprzestrze ´n przestrzeni liniowej? Sformułowa´c warunek konieczny i wystarczaj ˛acy na to, aby podzbiór przestrzeni liniowej był podprzestrzeni ˛a li- niow ˛a. Poda´c przykłady.
8.3 Poda´c definicj˛e kombinacji liniowej. Co to jest zbiór (układ) wektorów liniowo zale ˙znych i niezale ˙znych?
8.4 Co to jest baza przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej? Po- da´c przykłady.
9 Przekształcenia liniowe. (2 godz., 18 kwietnia, Marta Ryłek, Anna Głowacka)
9.1 Poda´c definicj˛e przekształcenia liniowego. Poda´c przykłady. Co nazywamy mono–
, epi–, izo– oraz endomorfizmem?
9.2 Co to jest j ˛adro, obraz oraz rz ˛ad przekształcenia liniowego? Poda´c przykłady.
Jaki jest zwi ˛azek wymiaru przestrzeni z wymiarem j ˛adra i rz˛edem przekształce- nia liniowego? Jaki jest zwi ˛azek j ˛adra z ró ˙znowarto´sciowo´sci ˛a przekształcenia liniowego?
9.3 Poda´c definicj˛e macierzy przekształcenia liniowego. Jak znale´z´c macierz prze- kształcenia danego wzorem?
9.4 Zdefiniowa´c wektor własny i warto´s´c własn ˛a endomorfizmu. Co to jest równanie charakterystyczne i wielomian charakterystyczny macierzy? Jak wykorzysta´c te poj˛ecia do znajdowania wektorów i warto´sci własnych endomorfizmu?
10 Miara i całka Lebesgue’a. (2 godz., 10 maja, Monika Adamiak, Monika Tworo˙zy ´nska) 1
10.1 Co to jest σ−ciało zbiorów? Poda´c przykłady. Co tojest σ−ciało generowane przez rodzin˛e zbiorów? Co to s ˛a zbiory borelowskie?
10.2 Co to jest funkcja mierzalna? Jakie s ˛a warunki mierzalno´sci funkcji rzeczywistej?
10.3 Poda´c definicj˛e i najprostsze własno´sci miary.
10.4 Co to jest miara zewn˛etrzna? Jak wprowadzamy miar˛e Lebesgue’a?
10.5 Co nazywamy funkcj ˛a prost ˛a? Sformułuj twierdzenie o postaci funkcji prostej.
Jak definiujemy całk˛e z funkcji prostej?
10.6 Sformułowa´c definicj˛e całki z funkcji mierzalnej nieujemnej. Jak definiujemy całk˛e (wzgl˛edem miary Lebesgue’a) z dowolnej funkcji rzeczywistej. Co nazywamy funkcj ˛a całkowaln ˛a (sumowaln ˛a)?
11 Przestrzenie topologiczne, metryczne i unormowane. (2 godz., 10 maja, Magdalena Bro˙zy ´nska)
11.1 Co to jest przestrze ´n topologiczna? Co to znaczy, ˙ze jedna topologia jest słabsza od drugiej? Poda´c przykłady.
11.2 Co to jest zbiór otwarty, domkni˛ety, spójny, zwarty? Jakie s ˛a najprostsze własno-
´sci tych zbiorów?
11.3 Co to jest przestrze ´n Hausdorffa. Poda´c przykład przestrzeni która jest i która nie jest przestrzeni ˛a Hausdorffa.
11.4 Co to znaczy, ˙ze ci ˛ag elementów przestrzeni topologicznej jest zbie ˙zny? Poda´c przykłady. Jak zachowuje si˛e zbie ˙zno´s´c ci ˛agów przy osłabianiu (wzmacnianiu topologii)?
11.5 Co nazywamy baz ˛a przestrzeni topologicznej? Jak za jej pomoc ˛a wprowadzi´c topologi˛e? Wyja´sni´c równie ˙z na przykładzie.
11.6 Co nazywamy funkcj ˛a ci ˛agł ˛a? Jak zachowuje si˛e ci ˛agło´s´c w przypadku osłabiania topologii (w dziedzinie i w przeciwdziedzinie)? Co to jest homeomorfizm? Poda´c przykłady.
11.7 Co to jest ci ˛ag Cauchy’ego? Co to jest przestrze ´n zupełna? Poda´c przykłady (pozytywny i negatywny).
12 Elementy analizy funkcjonalnej. (2 godz., 10 maja, Katarzyna S˛edzicka, ˙Zaneta Ka´z- mierska)
12.1 Co to jest norma? Co to jest przestrze ´n unormowana? Co nazywamy ci ˛agiem zbie ˙znym w przestrzeni unormowanej? Co to jest funkcja ci ˛agła (odwzorowuj ˛aca dwie przestrzenie unormowane).
12.2 Co to jest przestrze ´n Banacha? Poda´c przykłady.
12.3 Poda´c definicj˛e iloczynu skalarnego? Co to jest przestrze ´n unitarna? Co to jest przestrze ´n Hilberta? Poda´c przykłady.
12.4 Co to s ˛a wektory ortogonalne? Sformułowa´c twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
12.5 Co to jest operator liniowy? Co to jest operator ograniczony? Sformułowa´c twier- dzenie Banacha o zwi ˛azku operatora ograniczonego i ci ˛agłego. Co to jest norma operatora? Poda´c przykład.
Marek Majewski, Łód´z, 26 kwietnia 2015.
2
