Tematyka referatów na Seminarium w roku akademickim 2014/2015
1. Elementy podstaw matematyki. Ci ˛agi liczbowe. (Anna Głowacka, 19. X. 2014)
1.1 Poda´c definicj˛e funkcji f : X → Y. Co to jest dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór warto´sci? Co to jest funkcja ró ˙znowarto´sciowa, „na” oraz bijekcja? Co to jest funkcja odwrotna? Poda´c przykłady.
1.2 Poda´c definicj˛e ci ˛agu. Poda´c definicj˛e granicy ci ˛agu. Wskaza´c interpretacj˛e geo- metryczn ˛a. Co nazywamy ci ˛agiem zbie ˙znym, a co rozbie ˙znym? Poda´c przykłady.
Poda´c własno´sci rachunkowe granicy dla ci ˛agów zbie ˙znych i rozbie ˙znych.
1.3 Poda´c definicj˛e podci ˛agu (liczbowego). Co to jest punkt skupienia ci ˛agu? Poda´c przykłady. Co to jest zbiór domkni˛ety, zwarty (okre´slenie dla podzbiorówR za pomoc ˛a ci ˛agów)? Poda´c przykłady i ilustracj˛e geometryczn ˛a. Jaki jest zwi ˛azek mi˛edzy ci ˛agami ograniczonymi i zbie ˙znymi?
2. Szeregi liczbowe. (Monika Adamiak, 22. XI. 2014)
2.1 Poda´c definicj˛e szeregu liczbowego. Co to znaczy, ˙ze szereg jest zbie ˙zny? Co to znaczy, ˙ze szereg jest rozbie ˙zny? Poda´c przykłady. Poda´c warunek konieczny zbie ˙zno´sci szeregu.
2.2 Sformułowa´c kryterium porównawcze zbie ˙zno´sci szeregu o wyrazach nieujem- nych oraz kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zbie ˙zno´sci szeregu.
2.3 Co to znaczy, ˙ze szereg liczbowy jest zbie ˙zny? Co to jest zbie ˙zno´s´c bezwzgl˛edna i warunkowa? Poda´c (równie ˙z na przykładach) zale ˙zno´sci pomi˛edzy tymi zbie ˙z- no´sciami i zbie ˙zno´sci ˛a w zwykłym sensie. Sformułowa´c i zilustrowa´c na przykła- dach kryterium Dirichleta zbie ˙zno´sci szeregu.
3. Granica funkcji. (Beata St˛epie ´n, 23. XI. 2014)
3.1 Sformułowa´c definicj˛e w sensie Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie (we wszystkich przypadkach). Poda´c ilustracj˛e graficzn ˛a w ró ˙znych sytuacjach.
3.2 Sformułowa´c definicj˛e Heinego i Cauchy’ego funkcji ci ˛agłej w punkcie. Co to jest funkcja ci ˛agła? Sformułowa´c i zilustrowa´c graficznie własno´s´c Darboux.
4. Pochodna funkcji. (Monika Tworo˙zy ´nska, 6. XII. 2014)
4.1 Co to jest iloraz ró ˙znicowy? Poda´c definicj˛e pochodnej funkcji f :(a, b) →R. Co to znaczy, ˙ze funkcja jest ró ˙zniczkowalna w punkcie, w zbiorze? Zinterpretowa´c geometrycznie, poj˛ecia ilorazu ró ˙znicowego i pochodnej. Poda´c definicje stycznej i siecznej.
4.2 Poda´c własno´sci rachunkowe pochodnej. Poda´c zwi ˛azek ró ˙zniczkowalno´sci i ci ˛a- gło´sci funkcji. Poda´c odpowiedni przykład. Sformułowa´c twierdzenia o pochod- nej funkcji odwrotnej i zło ˙zeniu funkcji.
4.3 Co to jest pochodna funkcji w punkcie? Co to jest funkcja ró ˙zniczkowalna? Jakie funkcje s ˛a ró ˙zniczkowalne? Sformułowa´c twierdzenie o zwi ˛azku pochodnej z monotoniczno´sci ˛a.
1
4.4 Sformułowa´c twierdzenie o zwi ˛azku pochodnej z monotoniczno´sci ˛a. Sformuło- wa´c twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a oraz dokona´c interpretacji geometrycznej tych twierdze ´n.
5. Ekstrema funkcji. Pochodne wielu zmiennych. (6. XII. 2014)
5.1. Poda´c definicj˛e pochodnej kierunkowej funkcji f : G → R, G ⊂ Rn. Dokona´c interpretacji geometrycznej. Co to s ˛a pochodne cz ˛astkowe? Co to jest gradient funkcji f : G →R, G⊂Rn? Co to jest jakobian funkcji?
5.2. Sformułowa´c definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji jednej zmien- nej i wielu zmiennych rzeczywistych. Co to jest ekstremum (maksimum, mini- mum) wła´sciwe, globalne? Sformułowa´c warunek konieczny istnienia ekstre- mum funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych.
5.3. Sformułowa´c definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji jednej zmien- nej i wielu zmiennych rzeczywistych. Sformułowa´c warunek wystarczaj ˛acy ist- nienia ekstremum funkcji ró ˙zniczkowalnej jednej zmiennej i dwu zmiennych.
6. Całka nieoznaczona. Całka Riemanna. (10. I. 2014)
6.1. Co to jest funkcja pierwotna? Co to jest całka nieoznaczona.
6.2. Sformułowa´c własno´sci rachunkowe całki nieoznaczonej.
6.3. Poda´c podstawowe wzory całek z funkcji elementarnych. Zilustrowa´c je na przy- kładach.
6.4. Całkowanie przez cz˛e´sci i przez podstawienie. Poda´c twierdzenia i przykłady zastosowania.
6.5. Poda´c definicj˛e podziału, sumy górnej i sumy dolnej Darboux, całki dolnej i gór- nej Darboux oraz całki Riemanna. Jakie funkcje s ˛a całkowalne w sensie Rie- manna? Poda´c przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna.
6.6. Sformułowa´c podstawowe twierdzenie rachunku całkowego oraz twierdzenie o warto´sci ´sredniej. Zilustrowa´c geometrycznie to ostatnie twierdzenie. Jakie s ˛a geometryczne zastosowania całki Riemanna?
Marek Majewski, Łód´z, 3 listopada 2014.
2
