Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria Środowiska
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
2. Funkcja i jej własności
Niech X, Y będą zbiorami. Każdy podzbiór R ⊂ X × Y nazywamy relacją.
Relację f ⊂ X × Y nazywamy funkcją, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:
∀
x∈X∃
y∈Y(x, y) ∈ f,
∀
x∈X∀
y,y0∈Y(x, y) ∈ f ∧ (x, y
0) ∈ f =⇒ y = y
0. f : X → Y , y = f (x)
D
f– dziedzina funkcji f
Zbiór wartości funkcji f to zbiór tych elementów y ∈ Y , dla których istnieje x ∈ X takie, że y = f (x).
Miejsce zerowe
Miejsce zerowe funkcji y = f (x) to każda wartość argumentu x, dla której wartość funkcji równa się zero. Do wyznaczenia miejsca zerowego funkcji rozwiązujemy równanie f (x) = 0, gdzie x ∈ D
f. Równość funkcji
Dwie funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
•
D
f= D
g= D,
•
dla każdego x ∈ D f (x) = g(x).
Monotoniczność funkcji f : X → Y
•
Funkcję f nazywamy silnie rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀
x1,x2∈A(x
1< x
2=⇒ f (x
1) < f (x
2)).
•
Funkcję f nazywamy silnie malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀
x1,x2∈A(x
1< x
2=⇒ f (x
1) > f (x
2)).
•
Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀
x1,x2∈A(x
16 x
2=⇒ f (x
1) > f (x
2)).
•
Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀
x1,x2∈A(x
16 x
2=⇒ f (x
1) 6 f (x
2)).
•
Funkcję f nazywamy stałą, jeśli
∃
c∈Y∀
x∈Xf (x) = c.
Funkcja różnowartościowa
Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy każdej
parze różnych argumentów przyporządkowuje różne wartości funkcji, tzn.
Funkcja „na”
Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” (surjekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X taki, że y = f (x).
Funkcja wzajemnie jednoznaczna
Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest iniekcją i surjekcją.
Złożenie funkcji
Jeżeli dane są funkcje f : X → Y
1oraz g : Y
2→ Z, gdzie Y
1⊂ Y
2, to istnieje funkcja h : X → Z określona wzorem h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)), zwana złożeniem funkcji f z funkcją g.
Funkcja odwrotna
Funkcję g : Y → X nazywamy odwrotną do funkcji f : X → Y wtedy i tylko wtedy, gdy (g ◦ f )(x) = x dla każdego x ∈ X oraz (f ◦ g)(y) = y dla każdego y ∈ Y .
Uwaga: Wykresy funkcji f i do niej odwrotnej są wzajemnie symetryczne do prostej o równaniu y = x.
Funkcja okresowa
Funkcja okresowa o okresie t 6= 0 to funkcja f : X → Y taka, że dla każdego x ∈ D
frównież (x+t) ∈ D
foraz f (x) = f (x + t).
Funkcja parzysta
Funkcja parzysta to funkcja f taka, że dla każdego x ∈ D
foraz −x ∈ D
fi f (−x) = f (x).
Uwaga: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY . Funkcja nieparzysta
Funkcja nieparzysta to funkcja f taka, że dla każdego x ∈ D
foraz −x ∈ D
fi f (−x) = −f (x).
Uwaga: Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0, 0).
Funkcja ograniczona
Funkcja ograniczona to funkcja f , której zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym.
Przekształcenia wykresów funkcji
Załóżmy, że mamy wykres funkcji f : D → R, D ⊂ R. Aby na podstawie tego wykresu otrzymać wykres funkcji
•
g(x) = f (x − p) + q, należy wykres funkcji f przesunąć o wektor ~u = [p, q].
•
g(x) = −f (x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX.
•
g(x) = f (−x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OY .
•
g(x) = −f (−x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem punktu (0, 0).
•
g(x) = |f (x)|, należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX dla wartości ujemnych, natomiast dla wartości dodatnich pozostawić bez zmian.
•
g(x) = f (|x|), należy wykres funkcji f dla argumentów ujemnych usunąć, natomiast dla argumen-
tów nieujemnych pozostawić bez zmian i odbić symetrycznie względem osi OY .
Przykładowe zadania
1. Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak:
a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe,
c) monotoniczność,
d) parzystość, nieparzystość,
e) różnowartościowość, f) okresowość,
g) najmniejsza i największa wartość.
Odpowiedź:
a) D
f= R \ {−2, 2}, ZW
f= R.
b) Miejsca zerowe: −4, 0, 4.
c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziałach: (−3, −2), (−2, −1), (1, 2), (2, 3).
Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: (−∞, −3), (−1, 1), (3, +∞).
d) Funkcja f jest nieparzysta.
e) Funkcja f nie jest różnowartościowa.
f) Funkcja f nie jest okresowa.
g) Nie istnieje najmniejsza i największa wartość funkcji f .
2. Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji g(x) = f (x + 1) + 1.
Rozwiązanie: Wykres funkcji f przesuwamy o wektor ~u = [−1, 1].
Odpowiedź:
Zadania
Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak:
a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe,
c) monotoniczność,
d) parzystość, nieparzystość,
e) różnowartościowość, f) okresowość,
g) najmniejsza i największa wartość.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Na podstawie wykresu funkcji f , wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości:
7. ujemne. 8. dodatnie.
Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji:
9. g(x) = f (x + 1) + 1.
10. g(x) = f (−x).
11. g(x) = −f (x).
12. g(x) = −f (−x).
13. g(x) = f (|x|).
14. g(x) = |f (x)|.
Narysować wykres funkcji:
15. f (x) = |x − 1| − 3.
16. f (x) = (x + 1)
2− 1.
17. f (x) = |x
2− 1|.
18. f (x) = |(x − 2)
2− 1|.
Na podstawie wykresu funkcji f , w oparciu o przekształcenia wykresów funkcji, narysować wykres funkcji g, jeżeli:
19. f (x) = |x|, g(x) = |x − 1| − 1.
20. f (x) = x
2, g(x) = (x −
12)
2+
14. 21. f (x) = x
2, g(x) = |(x + 1)
2− 3|.
22. f (x) = √
x, g(x) = − √ x − 1.
23. f (x) =
1x, g(x) =
x+2x+1.
24. f (x) = 3
x, g(x) = |3
x− 1| + 1.
25. f (x) = log
12
x, g(x) = log
12
