Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria Środowiska
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
6. Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
Funkcję postaci
y = x
a, gdzie a ∈ R \ {0} nazywamy funkcją potęgową.
Przykłady
• a = 2k − 1, k ∈ N \ {0}
Rysunek 1. Wykresy funkcji f (x) = x, g(x) = x3, h(x) = x5.
-1 1
-2 -1 0 1 2 x
y f
g h
• D
f= R;
• zbiór wartości R;
• funkcja rosnąca;
• funkcja nieparzysta.
• a = 2k, k ∈ N \ {0}
Rysunek 2. Wykresy funkcji f (x) = x2, g(x) = x4, h(x) = x6.
1
-1 0 1 x
y f
g h
• D
f= R;
• zbiór wartości R
+∪ {0};
• funkcja parzysta.
• a = 2k − 1, k ∈ Z
−∪ {0}
Rysunek 3. Wykresy funkcji f (x) = x−1, g(x) = x−3, h(x) = x−5.
-1 1
-2 -1 0 1 2 x
y f
g h
• D
f= R \ {0};
• zbiór wartości R \ {0};
• funkcja nieparzysta;
• funkcja różnowartościowa.
• a = 2k, k ∈ Z
−Rysunek 4. Wykresy funkcji f (x) = x−2, g(x) = x−4, h(x) = x−6.
1
-2 -1 0 1 2
x
y f
g h
• D
f= R \ {0};
• zbiór wartości R \ {0};
• funkcja parzysta.
• a =
k1, k = {2, 4, . . . }
Rysunek 5. Wykresy funkcji f (x) = x12, g(x) = x13, h(x) = x14.
1
0 1 2 x
y f
g h
• a =
k1, k = {3, 5, . . . }
Rysunek 6. Wykresy funkcji f (x) = x13, g(x) = x15, h(x) = x17.
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y f
g h
Działania na potęgach a ̸= 0 a
0= 1
a
1= a
a
n+1= a
n· a
Jeśli m, n ∈ R, a, b ∈ R
+, to a
m· a
n= a
m+nam
an
= a
m−n(a · b)
n= a
n· b
n(
ab)
n=
abnn(a
m)
n= a
m·na
−n=
a1nn ∈ N, a ∈ R \ {0}
a
mn= √
na
mn ∈ N \ {0}, m ∈ N, a > 0 Działania na pierwiastkach
Jeśli m, n ∈ N, m, n > 1, a, b > 0, to
√
na · b = √
na · √
nb
n
√a b
=
n√a
n√ b
m√
√
na =
m·n√ a ( √
na)
p= √
na
pa · √
nb = √
na
n· b
Funkcje pierwiastkowe
• Funkcją odwrotną do funkcji f : [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = x
2jest funkcja pierwiastek kwadratowy
√ : [0, + ∞) → [0, +∞), x 7→ √ x.
• n = 2k, k ∈ Z
+Funkcją odwrotną do funkcji potęgowej f : [0, + ∞) → [0, +∞), f(x) = x
njest funkcja √
n: [0, + ∞) → [0, + ∞), x 7→ √
nx.
• n = 2k + 1, k ∈ Z
+Funkcją odwrotną do funkcji f : R → R, f(x) = x
njest funkcja pierwiastek √
n: R → R, x 7→ √
nx.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI PIERWIASTKOWE
∀
a,b>0a = b ⇐⇒ a
2= b
2∀
a,b<0a = b ⇐⇒ a
2= b
2∀
a,b>0a 6 b ⇐⇒ a
26 b
2∀
a,b<0a 6 b ⇐⇒ a
2> b
2 Przykładowe zadania1. Rozwiązać równanie x = √ x + 2.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x + 2 > 0, czyli x > −2.
Podnosimy obie strony do kwadratu.
x
2= ( √ x + 2)
2x
2= x + 2 x
2− x − 2 = 0
∆ = 9, x
1= −1 /∈ D, x
2= 2
Sprawdzamy, czy powyższe pierwiastki są rozwiązaniami równania x = √ x + 2.
Odpowiedź: x = 2.
2. Rozwiązać równanie √
4x + 5 − √
2x − 6 = 3.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc 4x + 5 > 0, czyli x > −
54oraz 2x − 6 > 0, czyli x > 3. Zatem D = [3, +∞).
Wyrażenie to podnosimy do kwadratu.
( √
4x + 5 − √
2x − 6)
2= 3
24x + 5 − 2 √
4x + 5 √
2x − 6 + 2x − 6 = 9
−2 √
8x
2− 14x − 30 = −6x + 10
√ 8x
2− 14x − 30 = 3x − 5
Równanie podnosimy po raz kolejny do kwadratu.
( √
8x
2− 14x − 30)
2= (3x − 5)
28x
2− 14x − 30 = 9x
2− 30x + 25
x
2− 16x + 55 = 0, ∆ = 36, x
1= 5, x
2= 11
Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważ- nym i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcych, sprawdzamy, czy otrzymane wyniki są faktycznie rozwiązaniami wyjściowego równania.
Odpowiedź: x ∈ {5, 11}.
3. Rozwiązać nierówność √
x + 5 > 7 − x.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x + 5 > 0, czyli x > −5.
• Dla x > 7 prawa strona nierówności jest ujemna, lewa natomiast jest dodatnia. Czyli nierówność zachodzi w sposób oczywisty dla każdego x > 7.
• Dla x 6 7 obie strony nierówności są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu (zacho- wując kierunek nierówności).
( √
x + 5)
2> (7 − x)
2x + 5 > 49 − 14x + x
2x
2− 15x + 44 < 0
∆ = 49, x
1= 4, x
2= 11, czyli x ∈ (4, 11)
Uwzględniając warunek wstępny x 6 7 otrzymujemy x ∈ (4, 7].
Bierzemy sumę odpowiedzi z obu przypadków, czyli x > 7 lub x ∈ (4, 7].
Odpowiedź: x ∈ (4, +∞).
4. Rozwiązać nierówność √
x
2+ x − 12 < 6 − x.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x
2+ x − 12 > 0, czyli ∆ = 49, x
1= −4, x
2= 3. Stąd D = ( −∞, −4] ∪ [3, +∞).
Ponieważ lewa strona nierówności jest nieujemna, więc prawa także musi być w tym przypadku dodatnia. Zatem bierzemy pod uwagę tylko wartości x < 6.
Więc D = ( −∞, −4) ∪ (3, 6).
Teraz możemy podnieść obie strony do kwadratu ( √
x
2+ x − 12)
2< (6 − x)
2x
2+ x − 12 < 36 − 12x + x
213x < 48
x <
4813Odpowiedź: x ∈ (−∞, −4] ∪ [3,
4813).
Zadania
Znaleźć dziedzinę funkcji:
1. f (x) =
√x(4 − x).
2. f (x) = √
x
2+ 2x − 15.
3. f (x) = √ x + √
−x.
4. f (x) =
√|x − 3| − 2.
5. f (x) = 3 √ x + 3.
6. f (x) = 2 √ 1 − x.
Rozwiązać równanie:
7. x
2+ x + 12 √
x + 1 = 36.
8. √
x
2+ 4x + 4 = 5.
9. √
2x + 1 + √
x − 5 = 4.
10. √
x + 4 + x = 3.
11. x
2− 4x = 28 + √
x
2− 4x + 2.
12. 7(6 √
x − 5) = 4(3 − 2 √ x).
13. x
2+ 4 = 5 √ x
2− 2.
14.
√(9 − 5x)(3 − x) = 9 − x.
15. 2 √
x − 2 = x − 5.
16. √
x + 1 + √
x − 1 = 1.
17. √ x − √
2x − 1 = 1 − x.
18.
√
