Wykład 1
Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice
http://kk.us.edu.pl
L.I. Schiff, Mechanika Kwantowa
K. Zalewski, Mały Wykład z Mechaniki Kwantowej R.L. Liboff, Wstęp do Mechaniki Kwantowej
S. Brandt, H.D. Dahmen, Mechanika Kwantowa w Obrazach Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej
A. Messiah, Quantum Mechanics A. Bohm, Quantum Mechanics
J.B. Brojan, J. Mostowski, K. Wódkiewicz, Zbiór zadań z mechaniki kwantowej
i wiele innych podręczników
Na początku XX wieku przeważającą większość znanych faktów doświadczalnych można było wyjaśnić w oparciu o ówczesną wiedzę fizyczną, obecnie zwanąklasyczną fizyką teoretyczną.
Trudności z poprawnym opisem teoretycznym dotyczyły głównie:
braku zadowalającego modelu atomu,
braku zadowalającego opisu świeżo odkrytych promieni Roentgena i promieniotwórczości naturalnej,
problemu w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego,
ciepła właściwego ciał stałych w niskich temperaturach, występowania tylko 5 stopni swobody w ruchu cząsteczki dwuatomowej w temperaturze pokojowej.
Na początku XX wieku przeważającą większość znanych faktów doświadczalnych można było wyjaśnić w oparciu o ówczesną wiedzę fizyczną, obecnie zwanąklasyczną fizyką teoretyczną.
Trudności z poprawnym opisem teoretycznym dotyczyły głównie:
braku zadowalającego modelu atomu,
braku zadowalającego opisu świeżo odkrytych promieni Roentgena i promieniotwórczości naturalnej,
problemu w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego,
ciepła właściwego ciał stałych w niskich temperaturach, występowania tylko 5 stopni swobody w ruchu cząsteczki dwuatomowej w temperaturze pokojowej.
W roku 1900 Planckowi udało się wyjaśnić problemy w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego przy założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne może być emitowane jedynie w postaci tzw. kwantów o energii
E = hν = ~ω,
gdzie ω = 2πν jest częstością kołową, ν - częstością promieniowania,
W roku 1900 Planckowi udało się wyjaśnić problemy w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego przy założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne może być emitowane jedynie w postaci tzw. kwantów o energii
E = hν = ~ω,
gdzie ω = 2πν jest częstością kołową, ν - częstością promieniowania,a
~= h 2π gdzieh jest stałą.
W roku 1900 Planckowi udało się wyjaśnić problemy w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego przy założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne może być emitowane jedynie w postaci tzw. kwantów o energii
E = hν = ~ω,
gdzie ω = 2πν jest częstością kołową, ν - częstością promieniowania, a
~= h 2π gdzieh jest stałą.
Później okazało się, żestała Plancka h jest uniwersalną stałą fizyczną:
h = 6.626 070 040(81) × 10−34J· s Częściej używa sięzredukowanej stałej Plancka ~ = 2hπ:
~ = 1.054 571 800(13) × 10−34J· s
= 6.582 119 514(40) × 10−22MeV· s
Później okazało się, żestała Plancka h jest uniwersalną stałą fizyczną:
h = 6.626 070 040(81) × 10−34J· s Częściej używa sięzredukowanej stałej Plancka ~ = 2hπ:
~ = 1.054 571 800(13) × 10−34J· s
= 6.582 119 514(40) × 10−22MeV· s
Particle Data Group Booklet 2018.
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze.Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze. Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Całkowita energia tego promieniowania w temperaturze T na jednostkę objętości wnęki w dowolnej chwili czasu dana jest wzorem:
U(T ) = Z∞
0
u(ω, T )dω,
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze. Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Całkowita energia tego promieniowania w temperaturze T na jednostkę objętości wnęki w dowolnej chwili czasu dana jest wzorem:
U(T ) = Z∞
0
u(ω, T )dω,
u(ω, T )- energia na przedział częstości i na jednostkę objętości,
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze. Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Całkowita energia tego promieniowania w temperaturze T na jednostkę objętości wnęki w dowolnej chwili czasu dana jest wzorem:
U(T ) = Z∞
0
u(ω, T )dω,
u(ω, T )- energia na przedział częstości i na jednostkę objętości,
elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T ) u(ω, T ) = ~ω3
π2c3 1 e
~ω kB T − 1
,
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
, gdzie
elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
, gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej,
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej, c prędkością światła w próżni, a
elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej, c prędkością światła w próżni, a
kB stałą Boltzmanna:
kB = 1.380 648 52(79) × 1023J
K ≈1.38 × 1023J K.
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej, c prędkością światła w próżni, a
kB stałą Boltzmanna:
kB = 1.380 648 52(79) × 1023J
K ≈1.38 × 1023J K.
Wzór podany przez Plancka doskonale zgadza się z doświadczeniem.
Zawiera on w sobie założenie, że promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane jest w postaci kwantów o energii
~ω,
Wzór podany przez Plancka doskonale zgadza się z doświadczeniem.
Zawiera on w sobie założenie, że promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane jest w postaci kwantów o energii
~ω, którego sam Planck długo nie potrafił zaakceptować.
Wzór podany przez Plancka doskonale zgadza się z doświadczeniem.
Zawiera on w sobie założenie, że promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane jest w postaci kwantów o energii
~ω, którego sam Planck długo nie potrafił zaakceptować.
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Wykorzystano je również w modelachEinsteina (1907 r.) i Debye’a (1912) ciepła właściwego ciał stałych
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Wykorzystano je również w modelachEinsteina (1907 r.) i Debye’a (1912) ciepła właściwego ciał stałychoraz w opisieefektu
Comptona (1923).
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Wykorzystano je również w modelachEinsteina (1907 r.) i Debye’a (1912) ciepła właściwego ciał stałychoraz w opisieefektu
Comptona (1923).
W 1803 r. Young dokonał dyfrakcji światła – została stwierdzona dualnanatura promieniowania elektromagnetycznego: niekiedy zachowuje się ono jak fala, a kiedy indziej jak strumień korpuskularnych kwantów.
W 1924 r. de Broglie założył, że cząstki materii mają także charakter dualny, apęd cząstki wiąże się z długością fali λ związkiem
p = h λ,
dualnanatura promieniowania elektromagnetycznego: niekiedy zachowuje się ono jak fala, a kiedy indziej jak strumień korpuskularnych kwantów.
W 1924 r. de Broglie założył, że cząstki materii mają także charakter dualny, apęd cząstki wiąże się z długością fali λ związkiem
p = h λ, albo wektorowo
~ p = ~ ~k,
W 1803 r. Young dokonał dyfrakcji światła – została stwierdzona dualnanatura promieniowania elektromagnetycznego: niekiedy zachowuje się ono jak fala, a kiedy indziej jak strumień korpuskularnych kwantów.
W 1924 r. de Broglie założył, że cząstki materii mają także charakter dualny, apęd cząstki wiąże się z długością fali λ związkiem
p = h λ, albo wektorowo
~ p = ~ ~k, gdzie~k jest wektorem falowym,
Hipoteza ta została potwierdzona w zjawiskudyfrakcji elektronów na kryształach – Davisson i Germer (1927) i niezależnie G.P.
Thomson (1928).
Okazało się również, że mierzalne parametry układów atomowych przyjmująwartości dyskretne.
Wartości dyskretne występowały m.in.:
w klasyfikacji Ritza linii widmowych,
w doświadczeniu Francka–Hertza (1913): dyskretne wartości strat energii w zderzeniach elektronów z atomami,
w doświadczeniu Sterna–Gerlacha (1922): dyskretne wartości składowej momentu magnetycznego atomu w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego.
Okazało się również, że mierzalne parametry układów atomowych przyjmująwartości dyskretne.
Wartości dyskretne występowały m.in.:
w klasyfikacji Ritza linii widmowych,
w doświadczeniu Francka–Hertza (1913): dyskretne wartości strat energii w zderzeniach elektronów z atomami,
w doświadczeniu Sterna–Gerlacha (1922): dyskretne wartości składowej momentu magnetycznego atomu w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego.
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
1 Układ atomowy może istnieć jedynie w pewnych stanach stacjonarnych, z których każdy odpowiada ściśle określonej energii układu. Przejściom z jednego stanu stacjonarnego do drugiego towarzyszy zawsze zysk lub strata pewnej energii, która jest emitowana lub pochłaniana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego lub jako wewnętrzna energia kinetyczna innego układu.
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
1 Układ atomowy może istnieć jedynie w pewnych stanach stacjonarnych, z których każdy odpowiada ściśle określonej energii układu. Przejściom z jednego stanu stacjonarnego do drugiego towarzyszy zawsze zysk lub strata pewnej energii, która jest emitowana lub pochłaniana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego lub jako wewnętrzna energia kinetyczna innego układu.
2 Kwant promieniowania ma częstotliwość równą jego energii podzielonej przez h.
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
1 Układ atomowy może istnieć jedynie w pewnych stanach stacjonarnych, z których każdy odpowiada ściśle określonej energii układu. Przejściom z jednego stanu stacjonarnego do drugiego towarzyszy zawsze zysk lub strata pewnej energii, która jest emitowana lub pochłaniana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego lub jako wewnętrzna energia kinetyczna innego układu.
2 Kwant promieniowania ma częstotliwość równą jego energii podzielonej przez h.
Atom wodoru to układ dwóch ciał złożony z dodatnio
naładowanego jądra i z jednego ujemnie naładowanego elektronu.
W najprostszej wersji jądro atomu wodoru składa się z
pojedynczego protonu, ale może również zawierać 1 lub 2 neutrony.
Wtedy mówimy oizotopach wodoru,odpowiednio deuterze lub trycie.
Jeżeli jądro zawiera więcej protonów, to mówimy oatomie wodoropodobnym.
Taki atom wciąż możemy traktować jakoukład dwóch ciał.
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 =
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 = − ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 = − ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,
gdzie ~ri i ˙~ri, i = 1, 2, są wektorami położenia i prędkości ciał w dowolnie wybranym układzie odniesienia,
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 = − ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,
gdzie ~ri i ˙~ri, i = 1, 2, są wektorami położenia i prędkości ciał w dowolnie wybranym układzie odniesienia,aw drugim równaniu skorzystaliśmy z III zasady dynamiki Newtona.
Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m2.
Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona
m1r~¨1 = F~r~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 = − ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,
gdzie ~ri i ˙~ri, i = 1, 2, są wektorami położenia i prędkości ciał w dowolnie wybranym układzie odniesienia, aw drugim równaniu skorzystaliśmy z III zasady dynamiki Newtona.
Rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego układu odniesienia.
y z
x
~r2
m2
~ r1
m1
~ r
Rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego układu odniesienia.
y z
x
~r2
m2
~ r1
m1
~ r
Układ współrzędnych możemy wybrać inaczej,np. możemy przesunąć go równolegle o pewien wektor
Układ współrzędnych możemy wybrać inaczej, np. możemy przesunąć go równolegle o pewien wektor
y′ z′
x′ m1
~r
~r2′
~r′1
Układ współrzędnych możemy wybrać inaczej, np. możemy przesunąć go równolegle o pewien wektor
y′ z′
x′ m1
~r
~r2′
~r′1
Widzimy, że wektory położenia ~r1 i ~r2 są teraz zupełnie inne.
Układ współrzędnych możemy wybrać inaczej, np. możemy przesunąć go równolegle o pewien wektor
y′ z′
x′ m1
~r
~r2′
~r′1
Widzimy, że wektory położenia ~r1 i ~r2 są teraz zupełnie inne.
Tylko wektor różnicy położeń
~r ≡ ~r1− ~r2
y z
x
y′ z′
x′
~r2 m2
~r1 m1
~r
~r2′
~r′1
~r ≡ ~r1− ~r2
y z
x
y′ z′
x′
~r2 m2
~r1 m1
~r
~r2′
~r′1
Tylko wektor różnicy położeń
~r ≡ ~r1− ~r2
y z
x
y′ z′
x′
~r2 m2
~r1 m1
~r
~r2′
~r′1
pozostaje niezmieniony przy operacji przesunięcia układu
że rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia, dochodzimy do
wniosku, żesiła ~F może zależeć tylko od względnej prędkości
˙~r ≡ ˙~r1− ˙~r2 obu ciałi od czasu.
Dlatego siła oddziaływania ~F obu ciał może zależeć tylko od względnego położenia ~r ≡ ~r1− ~r2.Podobnie, wykorzystując fakt, że rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia, dochodzimy do
wniosku, żesiła ~F może zależeć tylko od względnej prędkości
˙~r ≡ ˙~r1− ˙~r2 obu ciałi od czasu. Zatem równania ruchu przyjmują postać
m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
że rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia, dochodzimy do
wniosku, żesiła ~F może zależeć tylko od względnej prędkości
˙~r ≡ ˙~r1− ˙~r2 obu ciałi od czasu. Zatem równania ruchu przyjmują postać
m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t. Dodajmy stronami oba równania
m1r~¨1+ m2r~¨2 = 0
Dlatego siła oddziaływania ~F obu ciał może zależeć tylko od względnego położenia ~r ≡ ~r1− ~r2.Podobnie, wykorzystując fakt, że rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia, dochodzimy do
wniosku, żesiła ~F może zależeć tylko od względnej prędkości
˙~r ≡ ˙~r1− ˙~r2 obu ciałi od czasu. Zatem równania ruchu przyjmują postać
m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t. Dodajmy stronami oba równania
m1r~¨1+ m2r~¨2 = 0 i podzielmy obie strony przez m1+ m2
¨ ¨
że rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia, dochodzimy do
wniosku, żesiła ~F może zależeć tylko od względnej prędkości
˙~r ≡ ˙~r1− ˙~r2 obu ciałi od czasu. Zatem równania ruchu przyjmują postać
m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t. Dodajmy stronami oba równania
m1r~¨1+ m2r~¨2 = 0 i podzielmy obie strony przez m1+ m2
Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora
R~ ≡ m1r~1+ m2r~2
m1+ m2
,
który opisujepołożenie środka masyrozpatrywanego układu dwóch ciał.
Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora
R~ ≡ m1r~1+ m2r~2
m1+ m2
,
który opisujepołożenie środka masyrozpatrywanego układu dwóch ciał.
Otrzymane równanie przyjmuje więc postać m1r~¨1+ m2r~¨2
m1+ m2 =R~¨ = 0
Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora
R~ ≡ m1r~1+ m2r~2
m1+ m2
,
który opisujepołożenie środka masyrozpatrywanego układu dwóch ciał.
Otrzymane równanie przyjmuje więc postać m1r~¨1+ m2r~¨2
m1+ m2 =R~¨ = 0 ⇒ ˙~R = const.
Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora
R~ ≡ m1r~1+ m2r~2
m1+ m2
,
który opisujepołożenie środka masyrozpatrywanego układu dwóch ciał.
Otrzymane równanie przyjmuje więc postać m1r~¨1+ m2r~¨2
m1+ m2 =R~¨ = 0 ⇒ ˙~R = const.
Wnioskujemy stąd, żeśrodek masy odosobnionego układu dwóch
Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora
R~ ≡ m1r~1+ m2r~2
m1+ m2
,
który opisujepołożenie środka masyrozpatrywanego układu dwóch ciał.
Otrzymane równanie przyjmuje więc postać m1r~¨1+ m2r~¨2
m1+ m2 =R~¨ = 0 ⇒ ˙~R = const.
Wnioskujemy stąd, żeśrodek masy odosobnionego układu dwóch ciał porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t. Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨ r1
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨ r1 =
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t,
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨ r2
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨ r2 =
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨
r2 = − m1
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t.
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨
r2 = − m1
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t. Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨
r2 = − m1
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t. Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨
r2 = − m1
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t. Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego
m1m2
~¨
r − ¨r~=
m2
+ m1
F~~r, ˙~r, t=
m1r~¨1 = F~ ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨
r2 = − m1
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t. Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego
Wróćmy do naszego układu równań ruchu m1r~¨1 = F~~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = − ~F ~r, ˙~r, t.
Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez m1m+m2 2,a drugie przez
m1
m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2
m1+ m2
~¨
r1 = m2
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t, m1m2
m1+ m2
~¨
r2 = − m1
m1+ m2
F~~r, ˙~r, t. Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego
m1m2
~¨
r − ¨r~=
m2
+ m1
F~~r, ˙~r, t= ~F ~r, ˙~r, t.
Zdefiniujmymasę zredukowaną układu dwóch ciał m≡ m1m2
m1+ m2
⇔ 1 m = 1
m1
+ 1 m2
.
Zdefiniujmymasę zredukowaną układu dwóch ciał m≡ m1m2
m1+ m2
⇔ 1 m = 1
m1
+ 1 m2
. Wówczas nasze równanie przyjmie postać
m¨~r = ~F~r, ˙~r, t.
Zdefiniujmymasę zredukowaną układu dwóch ciał m≡ m1m2
m1+ m2
⇔ 1 m = 1
m1
+ 1 m2
.
Wówczas nasze równanie przyjmie postać m¨~r = ~F~r, ˙~r, t.
Widzimy, że problem ruchu dwóch ciał został sprowadzony do ruchu ciała o masie zredukowanej pod wpływem takiej samej siły, którą ciała wzajemnie na siebie oddziaływują,
Zdefiniujmymasę zredukowaną układu dwóch ciał m≡ m1m2
m1+ m2
⇔ 1 m = 1
m1
+ 1 m2
.
Wówczas nasze równanie przyjmie postać m¨~r = ~F~r, ˙~r, t.
Widzimy, że problem ruchu dwóch ciał został sprowadzony do ruchu ciała o masie zredukowanej pod wpływem takiej samej siły, którą ciała wzajemnie na siebie oddziaływują,
jednostajnego ruchu środka masy.
Zdefiniujmymasę zredukowaną układu dwóch ciał m≡ m1m2
m1+ m2
⇔ 1 m = 1
m1
+ 1 m2
.
Wówczas nasze równanie przyjmie postać m¨~r = ~F~r, ˙~r, t.
Widzimy, że problem ruchu dwóch ciał został sprowadzony do ruchu ciała o masie zredukowanej pod wpływem takiej samej siły, którą ciała wzajemnie na siebie oddziaływują,
jednostajnego ruchu środka masy.
Przykład 1.Rozważmy ruch układu elektron-proton. Masa protonu mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu
me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,
mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem
mp≫ me
Przykład 1.Rozważmy ruch układu elektron-proton. Masa protonu mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu
me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem mp≫ me ⇒ 1
me ≫ 1 mp
mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem
mp≫ me ⇒ 1 me ≫ 1
mp ⇒ 1
m = 1 mp + 1
me
Przykład 1.Rozważmy ruch układu elektron-proton. Masa protonu mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu
me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem mp≫ me ⇒ 1
me ≫ 1
mp ⇒ 1
m = 1 mp + 1
me ≈ 1 me,
mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem
mp≫ me ⇒ 1 me ≫ 1
mp ⇒ 1
m = 1 mp + 1
me ≈ 1 me, skąd wynika, że masa zredukowana układu jest w bardzo dobrym przybliżeniu równa masie elektronu,m≈ me.
Przykład 1.Rozważmy ruch układu elektron-proton. Masa protonu mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu
me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem mp≫ me ⇒ 1
me ≫ 1
mp ⇒ 1
m = 1 mp + 1
me ≈ 1 me, skąd wynika, że masa zredukowana układu jest w bardzo dobrym przybliżeniu równa masie elektronu,m≈ me.
Odwróćmy związki definicyjne na wektory określające położenie względne i położenie środka masy
( ~r = ~rp− ~re R~ = mpmr~p+mer~e
p+me
mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem
mp≫ me ⇒ 1 me ≫ 1
mp ⇒ 1
m = 1 mp + 1
me ≈ 1 me, skąd wynika, że masa zredukowana układu jest w bardzo dobrym przybliżeniu równa masie elektronu,m≈ me.
Odwróćmy związki definicyjne na wektory określające położenie względne i położenie środka masy
( ~r = ~rp− ~re
R~ = mpr~p+mer~e ⇒
r~p= mme
p+me~r+ ~R
~
r = − mp ~r+ ~R
Przykład 1.Rozważmy ruch układu elektron-proton. Masa protonu mp≈ 1.67 × 10−27kg≈ 938 MeVc2 ,a masa elektronu
me≈ 9.11 × 10−31kg≈ 0.511 MeVc2 ,a zatem mp≫ me ⇒ 1
me ≫ 1
mp ⇒ 1
m = 1 mp + 1
me ≈ 1 me, skąd wynika, że masa zredukowana układu jest w bardzo dobrym przybliżeniu równa masie elektronu,m≈ me.
Odwróćmy związki definicyjne na wektory określające położenie względne i położenie środka masy
( ~r = ~rp− ~re R~ = mpmr~p+mer~e
p+me
⇒
~
rp= mme
p+me~r+ ~R
~
re = −mmp
p+me~r+ ~R
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
Pomińmy nieistotny dla ruchu względnego wektor ~R i obliczmy
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
me
mp+me |~r|
mp
mp+me |~r| =
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
me
mp+me |~r|
mp
mp+me |~r| = me mp ≈
Pomińmy nieistotny dla ruchu względnego wektor ~R i obliczmy
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
me
mp+me |~r|
mp
mp+me |~r| = me
mp ≈ 0.511 MeVc2 938 MeVc2 =
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
me
mp+me |~r|
mp
mp+me |~r| = me
mp ≈ 0.511 MeVc2
938 MeVc2 =5.45 × 10−4.
Pomińmy nieistotny dla ruchu względnego wektor ~R i obliczmy
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
me
mp+me |~r|
mp
mp+me |~r| = me
mp ≈ 0.511 MeVc2
938 MeVc2 = 5.45 × 10−4. Widzimy, że rozmiary orbit protonu i elektronu w ruchu względnym mają się do siebie jak
|~rp|
|~re| ≈ 5.45 × 10−4.
|~rp|
|~re| =
mpm+me e~r
−mmp
p+me~r =
me
mp+me |~r|
mp
mp+me |~r| = me
mp ≈ 0.511 MeVc2
938 MeVc2 = 5.45 × 10−4. Widzimy, że rozmiary orbit protonu i elektronu w ruchu względnym mają się do siebie jak
|~rp|
|~re| ≈ 5.45 × 10−4.
Jak sie dalej przekonamy te klasyczne rozważania mają charakter czysto jakościowy i niekoniecznie muszą byc spójne z
przewidywaniami ilościowymi otrzymanymi w ramach mechaniki
