Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej

(1)

Wykład 6

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

(2)

tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności,

(3)

Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły ~F(~r, t) = −~∇V (~r, t) powinna nam dać możliwie dokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności,opis jej ruchu.

(4)

tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności,opis jej ruchu.

Funkcja falowa ψ(~r, t) jest rozwiązaniem równania falowego Schr¨odingera

i ~∂ψ(~r, t)

∂t = −~²

2m ∇²ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t).

(5)

i ~∂ψ(~r, t)

∂t = −~²

2m ∇²ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t).

Postulat I.Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki

reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni HilbertaHwszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki.

(6)

tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności,opis jej ruchu.

i ~∂ψ(~r, t)

∂t = −~²

2m ∇²ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t).

Np. operator energii i~_∂t^∂ , operator pędu −i~~∇, albo operator położenia ~r.

(7)

i ~∂ψ(~r, t)

∂t = −~²

2m ∇²ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t).

Np. operator energii i~_∂t^∂ , operator pędu −i~~∇, albo operator położenia ~r.

(8)

Ω |µi = ωµ|µi ,

gdzie µ jest pewną (jedną lub więcej) liczbą kwantową, od której zależy wartość własna ωµ.

Postulat II.W wyniku dokładnego pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez operator Ω możemy otrzymać tylko jedną z jego wartości własnych ωµ.

(9)

Rozważmy równanie własne operatora liniowego Ω reprezentującego pewną zmienną dynamiczną

Ω |µi = ωµ|µi ,

Jeżeli wartość własna ωµ podlega pomiarowi, to musi być ona liczbą rzeczywistą, co implikuje, że operator Ω reprezentujący zmienną dynamiczną musi być hermitowski.

(10)

Ω |µi = ωµ|µi ,

Jeżeli wartość własna ωµ podlega pomiarowi, to musi być ona liczbą rzeczywistą, co implikuje, że operator Ω reprezentujący zmienną dynamiczną musi być hermitowski.

(11)

Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni.

Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie ﬁzycznie interesujące własności ruchu cząstki.

(12)

W każdym obszarze rozpatrywanego układufunkcja falowa ψ(~r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schr¨odingera daje pełny

kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V(~r, t).

(13)

kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V(~r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru.

(14)

Alternatywnie możemy rozpatrywać wiele niezależnych powtórzeń tego samego ruchu w jednym obszarze przestrzeni, mierząc czas zawsze od pewnej konkretnej chwili początkowej.

(15)

Alternatywnie możemy rozpatrywać wiele niezależnych powtórzeń tego samego ruchu w jednym obszarze przestrzeni, mierząc czas zawsze od pewnej konkretnej chwili początkowej.

(16)

przestrzeni Hilberta H.

(17)

Taki ruch będzie opisywany przezfunkcję falową ψ(~r, t).

Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ |µi}

operatora liniowego Ω tworzyukład ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H.

⇒ Każdy stan |ψi ∈ H można rozwinąć w szereg Fouriera względem{ |µi}.

|ψi =^X Z

µ

c_µ|µi ,

(18)

|ψi =^X Z

µ

c_µ|µi ,

gdzie^P^R

µ oznacza sumowanie po dyskretnym i całkowanie po ciągłym zakresie widma operatora Ω.

(19)

Taki ruch będzie opisywany przezfunkcję falową ψ(~r, t).

Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ |µi}

operatora liniowego Ω tworzyukład ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H.

|ψi =^X Z

µ

c_µ|µi ,

gdzie^P^R

Postulat III.Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej

reprezentowanej przez operator liniowy Ω, które dadzą wynik ωµ

jest proporcjonalna do |cµ|².

(20)

|ψi =^X Z

µ

c_µ|µi ,

gdzie^P^R

Postulat III.Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej

reprezentowanej przez operator liniowy Ω, które dadzą wynik ωµ

jest proporcjonalna do |cµ|².

(21)

Postulat ten został zaproponowany przezMaxa Borna

(1882-1970).Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnymrozkładem prawdopodobieństwa.

(22)

pewnymrozkładem prawdopodobieństwa.

Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem

własnym.

(23)

własnym.

W pozostałych sytuacjach możemy mówić tylko o

prawdopodobieństwie, z którym możemy uzyskać jakąś określoną wartość zmiennej dynamicznej.

(24)

pewnymrozkładem prawdopodobieństwa.

własnym.

Jeśli operatory Ω i Γ reprezentujące zmienne dynamiczne komutują, to jak pokazaliśmy wcześniej, mają wspólne wektory własne, a więc reprezentowane przez nie zmienne są jednocześnie mierzalne.

(25)

własnym.

Jeśli operatory Ω i Γ reprezentujące zmienne dynamiczne komutują, to jak pokazaliśmy wcześniej, mają wspólne wektory własne, a więc reprezentowane przez nie zmienne są jednocześnie mierzalne.

(26)

V(~r, t) ≡ V (~r),

(27)

Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki.

Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V(~r, t) ≡ V (~r),tzn., że operator Hamiltona ma postać

H= −~²

2m∇²+ V (~r) .

(28)

V(~r, t) ≡ V (~r), tzn., że operator Hamiltona ma postać

H= −~²

2m∇²+ V (~r) .

Wtedy równanie Schr¨odingera możemy sprowadzić do równania własnego operatora Hamiltona

HuE(~r) = EuE(~r) ,

(29)

Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki.

Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V(~r, t) ≡ V (~r), tzn., że operator Hamiltona ma postać

H= −~²

2m∇²+ V (~r) .

HuE(~r) = EuE(~r) , które w notacji Diraca można zapisać w postaci

H |E i = E |E i .

(30)

V(~r, t) ≡ V (~r), tzn., że operator Hamiltona ma postać

H= −~²

2m∇²+ V (~r) .

HuE(~r) = EuE(~r) , które w notacji Diraca można zapisać w postaci

H |E i = E |E i .

(31)

Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy:

funkcje dobrze zlokalizowane – odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii

funkcje niezlokalizowane – odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii.

Połączmy oba przypadki w jeden.

(32)

Połączmy oba przypadki w jeden.Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarzeL i sztywnych ścianach.

(33)

Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarzeL i sztywnych ścianach.Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej.

(34)

Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarzeL i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. ⇒ Wewnątrz pudełka energia może przyjmowaćwartości dyskretne, a na granicachfunkcja falowa musi znikać.

(35)

Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarzeL i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. ⇒ Wewnątrz pudełka energia może przyjmowaćwartości dyskretne, a na granicachfunkcja falowa musi znikać.

(36)

wartości na przeciwległych ścianach pudełka.

Są to tzw.periodyczne warunki brzegowe,które na skutek

znoszenia się wkładów do obserwabli ﬁzycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian.

(37)

Alternatywnie można założyć, żefunkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka.

Wkłady do obserwabli ﬁzycznych pochodzące od przeciwległych ścian znoszą się, gdyżwektory powierzchni przeciwległych ścian są skierowane w przeciwnych kierunkach, co przy jednakowych wartościach funkcji falowej i jej gradientu powoduje kasowanie się odpowiednich wkładów do całki powierzchniowej.

(38)

wartości na przeciwległych ścianach pudełka.

Wkłady do obserwabli ﬁzycznych pochodzące od przeciwległych ścian znoszą się, gdyżwektory powierzchni przeciwległych ścian są skierowane w przeciwnych kierunkach, co przy jednakowych wartościach funkcji falowej i jej gradientu powoduje kasowanie się odpowiednich wkładów do całki powierzchniowej.

(39)

Operator Hamiltona

H = p~²

2m + V (~r)

jestoperatorem hermitowskim,gdyż operator pędu p~= −i~~∇

jestoperatorem hermitowskim,a energia potencjalna jest rzeczywista.

(40)

jestoperatorem hermitowskim,a energia potencjalna jest rzeczywista.Istotnie

H^† =

(41)

Operator Hamiltona

H = p~²

2m + V (~r)

jestoperatorem hermitowskim,a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

=

(42)

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

= p~² 2m

!†

+ (V (~r))^†

(43)

Operator Hamiltona

H = p~²

2m + V (~r)

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

= p~² 2m

!†

+ (V (~r))^†

=

(44)

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

= p~² 2m

!†

+ (V (~r))^†

= 1

2m

~p^†²+ V (~r)^∗=

(45)

Operator Hamiltona

H = p~²

2m + V (~r)

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

= p~² 2m

!†

+ (V (~r))^†

= 1

2m

~p^†²+ V (~r)^∗=H

(46)

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

= p~² 2m

!†

+ (V (~r))^†

= 1

2m

~p^†²+ V (~r)^∗=H ⇔ p~^†= ~p i V(~r)^∗= V (~r) .

(47)

Operator Hamiltona

H = p~²

2m + V (~r)

H^† = ~p²

2m + V (~r)

!†

= p~² 2m

!†

+ (V (~r))^†

= 1

2m

~p^†²+ V (~r)^∗=H ⇔ p~^†= ~p i V(~r)^∗= V (~r) .

(48)

(ϕ|pxψ)

(49)

Udowodnimy hermitowskość składowej p^x operatora pędu.

(ϕ|pxψ) =

(50)

(ϕ|pxψ) =

−∞

ϕ^∗(x) −i~

dx ψ(x)dx =

(51)

(ϕ|pxψ) =

+∞

Z

−∞

ϕ^∗(x)

−i~ d dx

ψ(x)dx = − i~

+∞

Z

−∞

ϕ^∗(x)dψ(x) dx dx

(52)

(ϕ|pxψ) =

−∞

ϕ^∗(x) −i~

dx ψ(x)dx = − i~

−∞

ϕ^∗(x) ψ(x) dx dx

=

(53)

(ϕ|pxψ) =

+∞

Z

−∞

ϕ^∗(x)

−i~ d dx

ψ(x)dx = − i~

+∞

Z

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

(54)

(ϕ|pxψ) =

−∞

ϕ^∗(x) −i~

dx ψ(x)dx = − i~

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

=

(55)

(ϕ|pxψ) =

+∞

Z

−∞

ϕ^∗(x)

−i~ d dx

ψ(x)dx = − i~

+∞

Z

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

= − i~ ϕ^∗(x)ψ(x)|⁺_−∞^∞+

+∞

Z

−∞

−i~dϕ(x) dx

∗

ψ(x)dx

(56)

(ϕ|pxψ) =

−∞

ϕ^∗(x) −i~

dx ψ(x)dx = − i~

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

= − i~ ϕ^∗(x)ψ(x)|⁺_−∞^∞+

+∞

Z

−∞

−i~dϕ(x) dx

∗

ψ(x)dx

=

(57)

(ϕ|pxψ) =

+∞

Z

−∞

ϕ^∗(x)

−i~ d dx

ψ(x)dx = − i~

+∞

Z

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

= − i~ ϕ^∗(x)ψ(x)|⁺_−∞^∞+

+∞

Z

−∞

−i~dϕ(x) dx

∗

ψ(x)dx

= 0 +(p^xϕ|ψ),

(58)

(ϕ|pxψ) =

−∞

ϕ^∗(x) −i~

dx ψ(x)dx = − i~

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

= − i~ ϕ^∗(x)ψ(x)|⁺_−∞^∞+

+∞

Z

−∞

−i~dϕ(x) dx

∗

ψ(x)dx

= 0 +(p^xϕ|ψ),

dla dowolnych funkcji ϕ(x) i ψ(x),cnd.

(59)

(ϕ|pxψ) =

+∞

Z

−∞

ϕ^∗(x)

−i~ d dx

ψ(x)dx = − i~

+∞

Z

−∞

= − i~

+∞

Z

−∞

d

dx (ϕ^∗(x)ψ(x)) dx + i~

+∞

Z

−∞

dϕ^∗(x)

dx ψ(x)dx

= − i~ ϕ^∗(x)ψ(x)|⁺_−∞^∞+

+∞

Z

−∞

−i~dϕ(x) dx

∗

ψ(x)dx

= 0 +(p^xϕ|ψ),

dla dowolnych funkcji ϕ(x) i ψ(x),cnd.

(60)

Zadanie. Udowodnić hermitowskość operatora pędu ~p = −i~~∇ w trzech wymiarach.

Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi,

(61)

Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi,a więc operatory te reprezentują mierzalnewielkości ﬁzyczne.

(62)

Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, a więc operatory te reprezentują mierzalnewielkości ﬁzyczne.