dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in». 13 stycznia 2017

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I ⁰ .in». 13 stycznia 2017

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania do- datkowych informacji.

Wzory i wªasno±ci logarytmów:

Niech a, b ∈ R + \ {1}, x, y ∈ R + , n ∈ N oraz f (x), g(x) > 0 wówczas:

a) log _a 1 = 0, b) log _a a = 1, c) a ^log

^x = x,

d) n · log _a x = log _a x ⁿ ,

e) log _a (x · y) = log _a x + log _a y, f ) log _a ^x _y = log _a x − log _a y, g) log _a x = ^log _log

^x

b

a , -wzór na zamian¦ podstawy logarytmu h) log _a b = _log ¹

b

a ,

i) log _a x > log _a y ⇔ x < y o ile a ∈ (0, 1), j) log _a f (x) > log _a g(x) ⇔ f (x) < g(x) o ile a ∈ (0, 1), k) log _a x < log _a y ⇔ x < y o ile a ∈ (1, +∞), l) log _a f (x) < log _a g(x) ⇔ f (x) < g(x) o ile a ∈ (1, +∞), Wzory z trygonometrii:

ϕ 0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂ sin ϕ 0 ¹ ₂ ^√ ₂ ^{2 √} ₂ ³ 1 cos ϕ 1 ^√ ₂ ^{3 √} ₂ ^{2 1} ₂ 0

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

ϕ ^π ₂ − α ^π ₂ + α π − α π + α ^3π ₂ − α ^3π ₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α cos ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α (a) sin ² x + cos ² x = 1, (b) tg x = _{cos x} ^{sin x} ,

(c) ctg x = _{tg x} ¹ , (d) tg x · ctg x = 1,

(e) sin 2x = 2 sin x cos x, (f ) cos 2x = cos ² x − sin ² x,

(g) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, (h) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y, (i) tg(x ± y) = 1∓tg x tg y ^{tg x±tg y} , (j) ctg(x ± y) = ctg x ctg y∓1

ctg x±ctg y ,

(k) sin x + sin y = 2 sin ^x+y ₂ cos ^x−y ₂ , (l) sin x − sin y = 2 cos ^x+y ₂ sin ^x−y ₂ , (m) cos x + cos y = 2 cos ^x+y ₂ cos ^x−y ₂ , (n) cos x − cos y = −2 sin ^x+y ₂ sin ^x−y ₂ ,

1