dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 28 grudnia 2016

(1)

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 28 grudnia 2016

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów (nie dotyczy legalnej ±ci¡gi do kolokwium nr 1) jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Przydatne wzory:

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c) ⁰ = 0 c ∈ R

2. (x ^α ) ⁰ = αx ^α−1 ( ^α ) ⁰ = α ^α−1 · ⁰ α ∈ R \ {0}

3. ( √

ⁿ

x) ⁰ = ¹

n

ⁿ

√ x

ⁿ⁻¹

√

n

⁰

=

⁰

n

ⁿ

√

ⁿ⁻¹

n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x) ⁰ = cos x (sin ) ⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x) ⁰ = − sin x (cos ) ⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x) ⁰ = _cos ¹

2

x (tg ) ⁰ = _cos

2⁰

x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x) ⁰ = − _sin ¹

2

x (ctg ) ⁰ = − _sin

2⁰

x 6= kπ, k ∈ N 8. (a ^x ) ⁰ = a ^x · ln a (a ) ⁰ = a · ln a · ⁰ a > 0 9. (e ^x ) ⁰ = e ^x (e ) ⁰ = e · ⁰

10. (ln x) ⁰ = _x ¹ (ln ) ⁰ =

⁰

x > 0

11. (log _a x) ⁰ = _{x ln a} ¹ (log _a ) ⁰ = _{ln a}

⁰

a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x) ⁰ = ^√ ¹

1−x

²

(arcsin ) ⁰ = ^√

⁰

1−

²

|x| < 1 13. (arccos x) ⁰ = ^√ ⁻¹

1−x

²

(arccos ) ⁰ = ^√ ⁻

⁰

1−

²

|x| < 1 14. (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

2

(arctg ) ⁰ = ₁₊

⁰2

15. (arcctg x) ⁰ = _1+x ⁻¹

2

(arcctg ) ⁰ = ⁻

⁰

1+

²

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = ^f

1

g

lub f · g = ^g

1 f

0 0 lub ^∞ _∞

∞ − ∞ f − g =

1 g

−

¹_f

1 f g

0 0

1 ^∞ , ∞ ⁰ , 0 ⁰ f ^g = e ^{g ln f} 0 · ∞

Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y 0 = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ).

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan

f ⁰ (x ₀ ) − g ⁰ (x ₀ ) 1 + f ⁰ (x 0 ) · g ⁰ (x 0 )

. W przypadku gdy 1 + f ⁰ (x ₀ ) · g ⁰ (x ₀ ) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

1

(2)

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 28 grudnia 2016

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R _√ ₁

a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

²

+a dx = ln x + √

x ² + a

+ c a ∈ R

20. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln ^a+x _a−x

+ c a > 0, |x| 6= a

21. R f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = ¹ _n sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − ¹ _n cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

²

+1)

ⁿ

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

2

)

ⁿ⁻¹

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

²

)

ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

²

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 28 grudnia 2016

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 28 grudnia 2016

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów (nie dotyczy legalnej ±ci¡gi do kolokwium nr 1) jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Przydatne wzory:

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c) 0 = 0 c ∈ R

2. (x α ) 0 = αx α−1 ( α ) 0 = α α−1 · 0 α ∈ R \ {0}

3. ( √

x) 0 = 1

n

√ x

 √

 0

=

n

√

n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x) 0 = cos x (sin ) 0 = (cos ) · 0

5. (cos x) 0 = − sin x (cos ) 0 = (− sin ) · 0

6. (tg x) 0 = cos 1

x (tg ) 0 = cos

x 6= π 2 + kπ, k ∈ N 7. (ctg x) 0 = − sin 1

x (ctg ) 0 = − sin

x 6= kπ, k ∈ N 8. (a x ) 0 = a x · ln a (a ) 0 = a · ln a · 0 a > 0 9. (e x ) 0 = e x (e ) 0 = e · 0

10. (ln x) 0 = x 1 (ln ) 0 =

x > 0

11. (log a x) 0 = x ln a 1 (log a ) 0 = ln a

a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x) 0 = √ 1

1−x

(arcsin ) 0 = √

1−

|x| < 1 13. (arccos x) 0 = √ −1

1−x

(arccos ) 0 = √ −

1−

|x| < 1 14. (arctg x) 0 = 1+x 1

(arctg ) 0 = 1+

15. (arcctg x) 0 = 1+x −1

(arcctg ) 0 = −

1+

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = f

lub f · g = g

0 0 lub ∞ ∞

∞ − ∞ f − g =

−

0 0

1 ∞ , ∞ 0 , 0 0 f g = e g ln f 0 · ∞

Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y 0 = f 0 (x 0 )(x − x 0 ).

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan

f 0 (x 0 ) − g 0 (x 0 ) 1 + f 0 (x 0 ) · g 0 (x 0 )

. W przypadku gdy 1 + f 0 (x 0 ) · g 0 (x 0 ) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

1

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 28 grudnia 2016

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x α dx = α+1 1 x α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= π 2 + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R 1

cosh

x dx = tgh x + c

11. R 1

sinh

x dx = − ctgh x + c

12. R a x dx = ln a 1 a x + c a > 0

13. R e x dx = e x + c

14. R 1

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R 1

cos

x dx = tg x + c x 6= π 2 + kπ, k ∈ N

16. R 1

sin

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 28 grudnia 2016

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 28 grudnia 2016

1. (c) ⁰ = 0 c ∈ R

2. (x ^α ) ⁰ = αx ^α−1 ( ^α ) ⁰ = α ^α−1 · ⁰ α ∈ R \ {0}

x) ⁰ = ¹

√

⁰

n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x) ⁰ = cos x (sin ) ⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x) ⁰ = − sin x (cos ) ⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x) ⁰ = _cos ¹

x (tg ) ⁰ = _cos

x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x) ⁰ = − _sin ¹

x (ctg ) ⁰ = − _sin

x 6= kπ, k ∈ N 8. (a ^x ) ⁰ = a ^x · ln a (a ) ⁰ = a · ln a · ⁰ a > 0 9. (e ^x ) ⁰ = e ^x (e ) ⁰ = e · ⁰

10. (ln x) ⁰ = _x ¹ (ln ) ⁰ =

11. (log _a x) ⁰ = _{x ln a} ¹ (log _a ) ⁰ = _{ln a}

a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x) ⁰ = ^√ ¹

(arcsin ) ⁰ = ^√

|x| < 1 13. (arccos x) ⁰ = ^√ ⁻¹

(arccos ) ⁰ = ^√ ⁻

|x| < 1 14. (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

(arctg ) ⁰ = ₁₊

15. (arcctg x) ⁰ = _1+x ⁻¹

(arcctg ) ⁰ = ⁻

0 · ∞ f · g = ^f

lub f · g = ^g

0 0 lub ^∞ _∞

1 ^∞ , ∞ ⁰ , 0 ⁰ f ^g = e ^{g ln f} 0 · ∞

Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y 0 = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ).

f ⁰ (x ₀ ) − g ⁰ (x ₀ ) 1 + f ⁰ (x 0 ) · g ⁰ (x 0 )

. W przypadku gdy 1 + f ⁰ (x ₀ ) · g ⁰ (x ₀ ) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 28 grudnia 2016

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

10. R ₁

11. R ₁

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

15. R ₁

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

17. R _√ ₁

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

x ² + a

20. R ₁

dx = _2a ¹ ln ^a+x _a−x

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = ¹ _n sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − ¹ _n cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

a ² − x ² dx = ^a ₂

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:R f(x)g ⁰ (x)dx = f (x)g(x) − R f ⁰ (x)g(x)dx.