dr Krzysztof yjewski Matematyka 1, MiBM; S-I
0.in». 14 stycznia 2016
Legalne ±ci¡ga na kolokwium nr. 2
Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodat- kowych informacji.
Granice niektórych ci¡gów:
a) lim
n→∞
a
n
= 0, b) lim
n→∞
1
nα
= 0, α > 0 c) lim
n→∞
n
α= +∞, α > 0 d) lim
n→∞
a
n= 0, |a| < 1 e) lim
n→∞
a
n= ∞, a > 1 f ) lim
n→∞
√
na = 1, a > 0 g) lim
n→∞
√
nn = 1 h) lim
n→∞
nα
an
= 0 α > 0, a > 1 i) lim
n→∞
logan
n
= 0, n > 1 j) lim
n→∞
nn
n!
= ∞ k) lim
n→∞
a
n= ∞, a > 1 l) lim
n→∞
a
n= 0, |a| < 1 m) lim
n→∞
(1 +
n1)
n= e n) lim
n→∞
(1 −
n1)
n= e
−1o) lim
n→∞
(1 +
an)
n= e
ap) lim
n→∞
(1 +
a1n
)
an= e o ile (a
n) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).
Symbole nieoznaczone:
∞∞,
00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1
∞, 0
0, ∞
0. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:
a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
∞
= 0, −∞ < a < ∞
0a+= ∞, 0 < a ≤ ∞
a
0+
= −∞, −∞ ≤ a < 0
0a−= −∞, 0 < a ≤ ∞
a
0−
= ∞, −∞ ≤ a < 0
a
∞= 0, 0
+≤ a < 1 a
∞= ∞, 1 < a ≤ ∞
∞
a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞
a= ∞, 0 < a ≤ ∞ Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:
a) lim
x→0 sin x
x
= 1, b) lim
x→0 tg x
x
= 1, α > 0 c) lim
x→0 ax−1
x
= ln a, a > 0 d) lim
x→0
loga(1+x)
x
= log
ae, 0 < a 6= 1 e) lim
x→±∞
1 +
axx= e
a, a ∈ R f ) lim
x→0
(1 + x)
x1= e g) lim
x→0
(1+x)a−1
x
= a, a ∈ R h) lim
x→0 arcsin x
x
= 1 i) lim
x→0 arctg x
x
= 1 Pochodne funkcji elementarnych:
Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi
1. (c)
0= 0 c ∈ R
2. (x
α)
0= αx
α−1(
α)
0= α
α−1·
0α ∈ R \ {0}
3. ( √
nx)
0=
1nn√ xn−1
√
n0
=
0nn√
n−1
n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)
0= cos x (sin )
0= (cos ) ·
05. (cos x)
0= − sin x (cos )
0= (− sin ) ·
06. (tg x)
0=
cos12x(tg )
0=
cos20x 6=
π2+ kπ, k ∈ N 7. (ctg x)
0= −
sin12x(ctg )
0= −
sin20
x 6= kπ, k ∈ N 8. (a
x)
0= a
x· ln a (a
)
0= a
· ln a ·
0a > 0 9. (e
x)
0= e
x(e
)
0= e
·
010. (ln x)
0=
1x(ln )
0=
0
x > 0
11. (log
ax)
0=
x ln a1(log
a)
0=
0ln a
a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)
0=
√1−x1 2(arcsin )
0=
√01−2
|x| < 1 13. (arccos x)
0=
√−11−x2
(arccos )
0=
√−01−2
|x| < 1 14. (arctg x)
0=
1+x1 2(arctg )
0=
01+2
15. (arcctg x)
0=
1+x−12(arcctg )
0=
1+−021
dr Krzysztof yjewski Matematyka 1, MiBM; S-I
0.in». 14 stycznia 2016
Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala
Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢
0 · ∞ f · g =
f1g
lub f · g =
g1f
0
0
lub
∞∞∞ − ∞ f − g =
1 g−1f
1 f g
0 0