dr Krzysztof ›yjewski Matematyka I, Mechatronika; S-I

dr Krzysztof ›yjewski Matematyka I, Mechatronika; S-I

.in». 11 stycznia 2017

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium II

1. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:

(a) f (x) = ^{cos x} _x

− x|x| (b) f (x) = cos ³ x + tg x (c) f (x) = −3x ⁵ arctg(x ² ) + 4x ² ln 5 ^x

2. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g gdy:

f (x) = √

x − 1, g(x) = x ² + 1.

3. Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do funkcji:

(a) f (x) = 4e ^3x−1 + 5 (b) f (x) = 5 arctg(log ₂ (3x)) − 1.

4. Nie stosuj¡c reguªy de L'Hospitala Oblicz granice funkcji (lub wyka» nieistnienie granicy):

(a) lim

x→+∞

x

−2x

+x−2

x

−x

−4x+4 (b) lim

x→−∞

x

−12x

x

+64 (c) lim

x→∞

x

+3x

−1

−2x

0+x

+x

(d) lim

x→2

x

−2x

+x−2

x

−x

−4x+4 (e) lim

x→−4

x

+x

−12x

x

+64 (f ) lim

x→−∞

√ 4−x

√ 2−3x

(g) lim

x→−∞ 2x + √

4x ² + 3x − 1

(h) lim

x→0

sin 5x

arcsin 3x (i) lim

x→∞

 x

+3x+5 x

+2

 2x

(j) lim

x→1 1

1−x

(k) lim

x→0 2

(l) lim

x→0

arctan 4x sin 5x

(m) lim

x→0 6

−3

2x (n) lim

x→0

4

−1

arcsin 2x (o) lim

x→∞

2x+3 2x+7

x

−1

5. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w dziedzinie, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj nie- ci¡gªo±ci:

a) f(x) =







x dla x ≤ 0

x

x−1 dla 0 < x < 1

x ² − 2 dla x ≥ 1 b) f(x) =







2 ^x − 1 dla x ≤ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ≥ 10

c)f(x) =  cos ^πx ₂ dla |x| ≤ 1

|x − 1| dla |x| > 1.

6. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

 _{sin ax}

3x dla x 6= 0

a dla x = 0 (b) g(x) =

 _x

₋₉

x+3 dla x > −3 x ² + bx + 3 dla x ≤ −3.

7. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2 ^x − x ² przyjmuje w przedziale domkni¦tym [1, 3]

warto±¢ w = ₁₀ ¹ .

1

dr Krzysztof ›yjewski Matematyka I, Mechatronika; S-I

.in». 11 stycznia 2017

8. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x ³ sin 8x + e ^3x tg x, b) f(x) = arctg ⁴ (3x ³ + 2x + 4), c) f(x) = ln(arctg e ^2x ) ⁷ , d) f(x) = sin ⁵ _2x+3 ^x

,

e) f(x) = 

x

cos 5x x+2 sin x

 12

, f) f(x) = ln ^{1+ √} _x ^1+x

, g) f(x) = (x ² + 4x) ^{2 tg x} , h) f(x) = x ² log _x

4x, i) f(x) = ctg ² pln(cos x ² ),

9. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0

arctg x

x

, b) lim

x→0

x ² ln x, c) lim

x→+∞

ln

x

x

, d) lim

x→0

sin

x x(e

−1) , e) lim

x→0 1

x − _e

¹ −1
, f) lim

x→0

x ^{sin x} g) lim

x→

(tg x) ^2x−π 10. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ funkcji

a) f(x) = _x ^4x

₊₁

b) f(x) = xe ^−3x , c) f(x) = x ln ² x.

11. Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ wykresu funkcji oraz wyznacz punkty przegi¦cia:

a) f(x) = _1−x ^x

, b) f(x) = ln(1 + x ² ), c) f(x) = x ² e ^−x .

12. Korzystaj¡c z denicji ró»niczki funkcji oblicz przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia

√

31, 98.

13. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsza warto±¢ funkcji f(x) = x ² ln x na przedziale [1, e].

14. Wyznacz wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko-

±na):

a) f (x) = ^3x _x

⁺¹ b) g(x) = ^x _x

^−3x −4

15. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) = ln x ³ w punkcie x 0 = 3.

16. Wyznacz równane prostej stycznej i normalnej do wykresu funkcji f(x) = _x ¹ e

w punkcie x ⁰ = −1.

2