dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I 0 .in». 16 listopada 2017

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I ⁰ .in». 16 listopada 2017

Legalna ±ci¡ga kolokwium 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodat- kowych informacji. Materiaª ten, je»eli kto± chce z niego skorzysta¢, nale»y wydrukowa¢

samodzielnie.

Liczby zespolone

|z| = √

a ² + b ² ; cos ϕ = _|z| ^a oraz sin ϕ = _|z| ^b ; z ₁ · z ₂ = r ₁ · r ₂ [cos(ϕ ₁ + ϕ ₂ ) + i sin(ϕ ₁ + ϕ ₂ )]

z

z

= ^r _r

2

[cos(ϕ ₁ − ϕ ₂ ) + i sin(ϕ ₁ − ϕ ₂ )];

z ⁿ = r ⁿ (cos nϕ + i sin nϕ);

z _k = √

r cos ^ϕ+2kπ _n + i sin ^ϕ+2kπ _n

dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1;

ϕ 0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂ sin ϕ 0 ¹ ₂ ^√ ₂ ^{2 √} ₂ ³ 1 cos ϕ 1 ^√ ₂ ^{3 √} ₂ ^{2 1} ₂ 0

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

ϕ ^π ₂ − α ^π ₂ + α π − α π + α ^3π ₂ − α ^3π ₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α cos ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

Macierz i wyznaczniki

d _ij = (−1) ^i+j det A ij , det A = a 1j d _1j + a _2j d _2j + . . . + a _nj d _nj , 1 ≤ j ≤ n;

det A = a i1 d _i1 + a _i2 d _i2 + . . . + a _in d _in , , 1 ≤ i ≤ n

A ⁻¹ = _{det A} ¹ ·











d 11 d 12 . . . d 1n

d ₂₁ d ₂₂ . . . d _2n ... ... ...

d _n1 d _n2 . . . d _nn











T

= det ^{1 A} · D ^T ;

Wybrane wªasno±ci dziaªa« na macierzach Niech A i B b¦d¡ macierzami o odpowiednich wymiarach, a α ∈ C. Wówczas:

1. (A ± B) ^T = A ^T ± B ^T 2. α(A + B) = αA + αB

3. (A · B) ^T = B ^T A ^T , 4. (A ^T ) ^T = A,

5. (A ⁻¹ ) ⁻¹ = A, 6. (A · B) ⁻¹ = B ⁻¹ · A ⁻¹ , 7. (αA) ⁻¹ = _α ¹ A ⁻¹ , 8. (A ^T ) ⁻¹ = (A ⁻¹ ) ^T .

Ukªady równa« liniowych

• rz A = rz A ^U = n, jedno rozwi¡zanie(oznaczony);

• rz A = rz A ^U < n, niesko«czenie wiele rozwi¡za« (nieoznaczony) zale»nych od n − r, r = rz A;

• rz A 6= rz A ^U , sprzeczny.

1