dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 13 marca 2019

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 13 marca 2019

Legalna ±ci¡ga na sprawdziany

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych infor- macji.

Symbole nieoznaczone: ^∞ _∞ , ⁰ ₀ , ∞ − ∞, 0 · ∞, 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰ . Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞ n ^α = +∞, α > 0 b) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 c) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 d) lim

n→∞

√

n

a = 1, a > 0 e) lim

n→∞

√

n

n = 1 f ) lim

n→∞

n

^α

a

ⁿ

= 0 α > 0, a > 1 g) lim

n→∞

log

_a

n

n = 0, n > 1 h) lim

n→∞

n

ⁿ

n! = ∞ i) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 j) lim

n→∞ (1 + _n ¹ ) ⁿ = e k) lim

n→∞ (1 − _n ¹ ) ⁿ = e ⁻¹ l) lim

n→∞ (1 + ^a _n ) ⁿ = e ^a m) lim

n→∞ (1 + _a ¹

n

) ^a

ⁿ

= e o ile (a n ) to ci¡g zbie»ny do granicy niewªa±ciwej +∞ lub −∞.

Monotoniczno±¢ ci¡gu: Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a _n+1 − a _n ^a

ⁿ⁺¹

_a

n

monotoniczno±¢

> 0 > 1 rosn¡cy

= 0 = 1 staªy

< 0 < 1 malej¡cy

≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy

≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀ ^a

₊

= ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0

⁺

= −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀ ^a

−

= −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0

⁻

= ∞, −∞ ≤ a < 0

a ^∞ = 0, 0 ⁺ ≤ a < 1 a ^∞ = ∞, 1 < a ≤ ∞

∞ ^a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞ ^a = ∞, 0 < a ≤ ∞ Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, b) lim

x→0 tg x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 a

^x

−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

log

_a

(1+x)

x = log _a e, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + ^a _x
x

= e ^a , a ∈ R f ) lim

x→0 (1 + x)

^x1

= e g) lim

x→0

(1+x)

^a

−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctg x

x = 1 Asymptota uko±na y = ax + b, gdzie a = lim

x→∓∞

f (x)

x i b = lim

x→∓∞ [f (x) − ax].

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c) ⁰ = 0 c ∈ R

2. (x ^α ) ⁰ = αx ^α−1 ( ^α ) ⁰ = α ^α−1 ·  ⁰ α ∈ R \ {0}

3. ( √

ⁿ

x) ⁰ = ¹

n √

ⁿ

x

ⁿ⁻¹

 √

n

  0

= ^

⁰

n

ⁿ

√



ⁿ⁻¹

n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x) ⁰ = cos x (sin ) ⁰ = (cos ) ·  ⁰

5. (cos x) ⁰ = − sin x (cos ) ⁰ = (− sin ) ·  ⁰

6. (tg x) ⁰ = _cos ¹

2

x (tg ) ⁰ = _cos ^

2⁰

 x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x) ⁰ = − _sin ¹

2

x (ctg ) ⁰ = − _sin ^

2⁰

 x 6= kπ, k ∈ N 8. (a ^x ) ⁰ = a ^x · ln a (a ^ ) ⁰ = a ^ · ln a ·  ⁰ a > 0 9. (e ^x ) ⁰ = e ^x (e ^ ) ⁰ = e ^ ·  ⁰

10. (ln x) ⁰ = _x ¹ (ln ) ⁰ = ^

⁰

 x > 0

11. (log _a x) ⁰ = _{x ln a} ¹ (log _a ) ⁰ = _{ ln a} ^

⁰

a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x) ⁰ = ^{√ 1}

1−x

²

(arcsin ) ⁰ = ^{√ }

⁰

1−

²

|x| < 1 13. (arccos x) ⁰ = ^{√ −1}

1−x

²

(arccos ) ⁰ = ^{√ −}

⁰

1−

²

|x| < 1 14. (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

2

(arctg ) ⁰ = _1+ ^

⁰2

15. (arcctg x) ⁰ = _1+x ⁻¹

2

(arcctg ) ⁰ = _1+ ^−

⁰2

Przeksztaªcenie: f(x) ^g(x) = e g(x)·ln f (x)

Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y 0 = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ).

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan    

f ⁰ (x 0 ) − g ⁰ (x 0 ) 1 + f ⁰ (x ₀ ) · g ⁰ (x ₀ )

    . W przypadku gdy 1 + f ⁰ (x 0 ) · g ⁰ (x 0 ) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

Wzór na przybli»one warto±ci: f(x) ≈ f(x 0 ) + f ⁰ (x 0 )(x − x 0 ).

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 13 marca 2019

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = ^f

1

g

lub f · g = ^g

1 f

0 0 lub ^∞ _∞

∞ − ∞ f − g =

1 g

−

_f¹

1 f g

0 0

1 ^∞ , ∞ ⁰ , 0 ⁰ f ^g = e ^{g ln f} 0 · ∞

Tabela caªki neoznaczonej:

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√

a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

²

+a dx = ln  x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln   ^a+x _a−x



 + c a > 0, |x| 6= a

21. R f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = _n ¹ sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

²

+1)

ⁿ

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

2

)

ⁿ⁻¹

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

²

)

ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

²

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:R f(x)g ⁰ (x)dx = f (x)g(x) − R f ⁰ (x)g(x)dx.

Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:

2a. Caªk¦ postaci R ^√ _ax

2

^dx +bx+c sprowadzamy do R √ ^dx

a(x−p)

²

+q i dokonujemy podstawienia x − p = q

1

|a| t.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax ² + bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p) ² + qdx i dokonujemy podstawienia x − p = q ₁

|a| t, a nast¦pnie stosujemy wzory ze strony 1

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 13 marca 2019

Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg ^x ₂ . Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t ² dt, sin x = 2t

1 + t ² , cos x = 1 − t ² 1 + t ² .

2. Caªk¦ R W (sin ² x, cos ² x sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t ² dt, sin ² x = t ²

1 + t ² , cos ² x = 1 1 + t ² . 3. Caªk¦ postaci R sin ^m x cos ⁿ xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzorów:

sin x sin y = 1

2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1

2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2 [sin(x − y) + sin(x + y)].

Caªka oznaczona Pole obszaru pªaskiego:

Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza, »e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b wyra»a si¦ wzorem:

P =

b

Z

a

[f (x) − g(x)]dx.

Dªugo±¢ krzywej:

Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b] wyra»a si¦ wzorem: |Γ| = R ^b

a

p1 + (f ⁰ (x)) ² dx.

Obj¦to±¢ bryª obrotowych:

Obj¦to±¢ V bryªy powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem: V = π R ^b

a

f ² (x)dx,

b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (innymi sªowy obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu obszaru "pod krzyw¡"y = f(x)) wyra»a si¦ wzorem: V = 2π R ^b

a

xf (x)dx.

Pole powierzchni bryª obrotowych:

Pole powierzchni powstaªej z obrotu:

a) wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: P = 2π R ^b

a

f (x)p1 + (f ⁰ (x)) ² dx,

b) wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: P = 2π R ^b

a

xp1 + (f ⁰ (x)) ² dx.

3

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 13 marca 2019

Funkcje wielu zmiennych

Równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji: ^∂f _∂x (x ₀ , y ₀ )(x − x ₀ ) + ^∂f _∂y (x ₀ , y ₀ )(y − y ₀ ) − z − z ₀
= 0.

Gradient: gradf(x 0 , y 0 ) ^def = h _∂f

∂x (x 0 , y 0 ), ^∂f _∂y (x 0 , y 0 ) i .

Pochodna kierunkowa: ^∂f _{∂~ v} (x 0 , y 0 ) = gradf(x 0 , y 0 ) ◦ ~ v = ^∂f _∂x (x 0 , y 0 )v 1 + ^∂f _∂y (x 0 , y 0 )v 2 .

lub ^∂f _{∂~ v} (x 0 , y 0 ) = ^∂f _∂x (x 0 , y 0 ) cos α + ^∂f _∂y (x 0 , y 0 ) cos β = ^∂f _∂x (x 0 , y 0 ) cos α + ^∂f _∂y (x 0 , y 0 ) sin α, gdzie ~v jest jednostkowy.

Wzór na przybli»one warto±ci: f(x, y) ≈ f(x 0 , y ₀ ) + ^∂f _∂x (x ₀ , y ₀ )(x − x ₀ ) + ^∂f _∂y (x ₀ , y ₀ )(y − y ₀ ).

Caªki wielokrotne Przej±cie w caªce podwójnej do wspóªrz¦dnych biegunowych

( x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ gdzie (r, ϕ) ∈ ∆ : Z Z

D

f (x, y)dxdy = Z Z

∆

f (r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ.

Przej±cie w caªce potrójnej do wspóªrz¦dnych sferycznych



 

 

x = r cos ϕ cos ω, y = r sin ϕ cos ω, z = r sin ω

gdzie (r, ϕ, ω) ∈ ∆ :

Z Z

D

f (x, y, z)dxdydz = Z Z

∆

f (r cos ϕ cos ω, r sin ϕ cos ω, r sin ω)r ² cos ω drdϕdω.

Przej±cie w caªce potrójnej do wspóªrz¦dnych walcowych



 

 

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = h

gdzie (r, ϕ, h) ∈ ∆ :

Z Z

D

f (x, y, z)dxdydz = Z Z

∆

f (r cos ϕ, r sin ϕ, h)r drdϕdh.

Wzory na: Obj¦to±¢ V = RR

D

f (x, y)dxdy, pole P = RR

D

dxdy, obj¦to±¢ V = RRR

G

dxdydz.

Trygonometria:

ϕ 0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂ sin ϕ 0 ¹ ₂ ^√ ₂ ^{2 √} ₂ ³ 1 cos ϕ 1 ^√ ₂ ^{3 √} ₂ ^{2 1} ₂ 0

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

ϕ ^π ₂ − α ^π ₂ + α π − α π + α ^3π ₂ − α ^3π ₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α cos ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α Inne przydatne wzory i nierówno±ci:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos ² α − sin ² α, c) sin ² α = ^1−cos ₂

²

^α , d) cos ² α = ^1+cos ₂

²

^α ,

e) sin α + sin β = 2 sin ^α+β ₂ cos ^α−β ₂ , f) sin α − sin β = 2 sin ^α−β ₂ cos ^α+β ₂ , g) cos α − cos β = −2 sin ^α+β ₂ sin ^α−β ₂ , h) cos α = sin ^π ₂ − α
,

i) a ² − b ² = (a − b)(a + b), j) a ³ ± b ³ = (a ± b)(a ² ∓ ab + b ² ), k) ln x < x − 1 dla ka»dego x > 0, l) ln(x + 1) < x dla ka»dego x > −1, m) sin x ≤ x dla ka»dego x > 0, n) sin x ≥ _π ² x dla ka»dego x ∈ [0, ^π ₂ ], o) tg x > x dla ka»dego x ∈ (0, ^π ₂ ), p) tg x ≤ _π ⁴ x dla ka»dego x ∈ [0, ^π ₄ ], q) | sin x| ≤ |x| dla ka»dego x ∈ R.

4