Matematyka podstawowa VII Planimetria
Teoria
1. Rodzaje kątów:
a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary.
b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma wynosi 180 stopni.
c) Kąty odpowiadające; tworzy je prosta, która przecina dwie proste równoległe. Mają taką samą miarę.
d) Kąty naprzemianległe; tworzy je prosta, która przecina dwie proste równoległe.
Mają taką samą miarę.
2. Twierdzenie Talesa; jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to otrzymamy odcinki proporcjonalne.
3. Oś symetrii figury; prosta względem której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.
4. Symetralna odcinka; prosta prostopadła do danego odcinka, która dzieli go na dwie równe części.
5. Długość okręgu i pole koła;
6. Długość łuku i pole wycinka koła
7. Kąty w kręgu
8. Okrąg opisany na trójkącie
9. Okrąg wpisany w trójkąt
10. Wzajemne położenie prostej i okręgu
11. Trójkąt równoboczny
12. Kwadrat
13. Równoległobok
14. Romb
Zadania wprowadzające:
1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i . Oblicz długość przeciwprostokątnej.
2. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 8. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.
3. Środkowe w trójkącie równoramiennym mają długości 12, 12 i 3. Oblicz długości boków tego trójkąta.
4. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
5. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i . Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną.
6. Promień koła opisanego na kwadracie jest o 2 większy od promienia koła wpisanego w ten kwadrat. Oblicz sumę tych promieni.
7. Pole rombu wynosi 6, a jedna z przekątnych tego rombu ma długość 4. Oblicz długość boku i wysokość tego rombu.
8. W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i wysokość mają długość 3, a długość przekątnej jest równa 5. Oblicz obwód i pole tego trapezu.
9. Oblicz pole równoległoboku o bokach 5 i 4 oraz kącie ostrym 45 10. Podaj miary kątów i .
11. Wyznacz miarę kąta .
12. Wyznacz długości odcinków i .
13. Oblicz obwód i pole koła o promieniu 3cm.
14. Oblicz średnicę okręgu o długości 6cm.
15. Oblicz obwód koła o średnicy równej 8cm.
16. Co ma większe pole: koło o promieniu 4cm, czy kwadrat o boku 7cm?
17. Na około trawnika w kształcie koła o średnicy d=10m biegnie ścieżka o szerokości 1m. Oblicz pole powierzchni ścieżki.
18. W okręgu o promieniu 4cm narysowano dwa promienie pod kątem 30 . Oblicz długość dwóch łuków, na które okrąg został podzielony.
19. W okręgu poprowadzono cięciwę o długości 6cm odległą od środka okręgu o 3cm.
Oblicz długość łuków okręgu, na które dzieli ten okrąg cięciwa.
20. Kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 150 . Jaka jest miara kąta wpisanego i środkowego?
21. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB wpisany jest w okrąg o środku S. Kąt ASB ma miarę 100 . Oblicz miary kątów trójkąta.
22. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S, przy czym kąt SAB ma miarę 40 . Oblicz miarę kąta CAB.
23. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 3.
24. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, którego boki mają po 12cm.
25. Oblicz miary kątów w trójkącie, jeżeli ich wzajemny stosunek wynosi 3:2:4.
26. Trójkąt o bokach 2, 5, 6 jest podobny do trójkąta, którego najkrótszy bok wynosi 8cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta.
27. Oblicz pole kwadratu wpisanego wpisanego w okrąg o promieniu 5cm.
Zadania:
1. Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC, wybrano punkt E, tak, że (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE
2. Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa
a) 65˚
b) 100˚
c) 115˚
d) 130˚
3. W trójkącie równoramiennym ABC dane są (zobaczy rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
4. Długość boku trójkąta równobocznego jest równa . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
a) 36 b) 18 c) 12 d) 6
5. Proste l i k są równoległe oraz Odcinek OD ma długość
a) 12 b) 18 c) d)
6. Długość ramienia r okręgu opisanego na kwadracie jest równa . Długość boku tego kwadratu ma wartość:
a) b) c) d)
7. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa
a) 8 b) 4 c) 2 d) 10
8. Jeden kąt trójkąta ma miarę 54˚. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe
a) 21˚ i 105˚
b) 11˚ i 66˚
c) 18˚ i 108˚
d) 16˚ i 96˚
9. Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45˚, a jego pole jest równe 50 . Oblicz wysokość tego rombu.
10. Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD.
a) ABF b) CAB c) IHD d) ABD
11. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
12. Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa
a) 90˚
b) 60˚
c) 45˚
d) 30˚
13. Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe a) 25
b) 50 c) 75 d) 100
14. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty
15. Odcinki AB i CD są równoległe i (zobacz rysunek).
Długość odcinka AE jest równa
a)
b) c) 3 d) 5
16. W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boku mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy
a) 16 b) c) d) 12+2
17. Pole trójkąta, w którym wysokość jest o 3cm dłuższa od podstawy jest równe 20 . Wysokość trójkąta jest równa
a) 5 b) 8 c) 2 d) 11
18. Prosta jest styczna do okręgu. Kąt (patrz rysunek)ma miarę
a) 70˚
b) 65˚
c) 40˚
d) 50˚
19. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ABC mają długości 9 i 40. Najdłuższy bok tego trójkąta jest równy najkrótszemu bokowi trójkąta KLM podobnego do trójkąta ABC. Oblicz pole trójkąta KLM.
20. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i 12. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
a) 12 b) 8,5 c) 6,5 d) 5
21. Pole prostokąta jest równe 40. Stosunek długości jego boków jest równy 2:5.
Dłuższy bok tego prostokąta jest równy a) 10
b) 8 c) 7 d) 6
22. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
a) 14
b) 8 c) 6 d) 5
23. Dany jest okrąg o środku w punkcie S. Miara kąta jest równa 70˚
Suma miar kątów i jest równa a) 180˚
b) 210˚
c) 70˚
d) 140˚
24. Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne ABD i CBD są równoramienne
Obwód trapezu jest równy a)
b) c) d) 4
25. Przekątna równoległoboku ma długość 10cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt 30 . Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.
26. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie K. Wiadomo, że . Oblicz promień tego okręgu.
27. Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65m.
Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
