AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2015/16 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Znajd´z wszystkie pary liczb ca lkowitych (x, y) spe lniajaιcych r´ownanie (x− 2y − 1)(x + 2y + 1) = 3.
2. Przy okraιg lym stole z 10 ponumerowanymi krzes lami siada 5 kobiet i 5 meι˙zczyzn, wybierajaιc miejsca w spos´ob przypadkowy. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze cho´c jedna osoba usiaιdzie obok osoby tej samej p lci?
3. Rozwiaι˙z r´ownanie
| cos x|2 cos x+1 = 1.
4. Dla jakich a liczby
log0,5a2, 3 + log0,5a, −1 − log0,52a3 saι kolejnymi wyrazami ciaιgu arytmetycznego?
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Na p laszczy´znie dane saι punkty A = (2, 1), B = (−2, 7), C = (−6, 5).
a) Znajd´z wsp´o lrzeιdne punktu D, dla kt´orego czworokaιt ABCD (w tej kolejno´sci wierzcho lk´ow) jest r´ownoleg lobokiem.
b) Figura F jest sumaι prostej AB i prostej CD. Napisz r´ownania wszystkich osi symetrii figury F .
c) Znajd´z obraz figury F w jednok ladno´sci o ´srodku w punkcie A i skali r´ownej 3.
6. Funkcja f przyporzaιdkowuje ka˙zdej liczbie rzeczywistej m liczbeι pierwiastk´ow r´ow-
nania
4x + 2 x2+ 2
= m.
Naszkicuj wykres funkcji f .
7. Tr´ojkaιt r´ownoramienny o obwodzie 36 cm obraca sieι wok´o l prostej zawierajaιcej podstaweιtr´ojkaιta. Jakie powinny by´c wymiary tego tr´ojkaιta, aby objeιto´s´c powsta lej bry ly by la najwieιksza?
