Udowodnij, że jeżeli rodzina wykładnicza spełnia założenia nierówności Cramera-Rao (Klotz, str

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria XIV (przygotowanie do egzaminu)

1. Udowodnij, że jeżeli rodzina wykładnicza spełnia założenia nierówności Cramera-Rao (Klotz, str.

178), to estymator największej wiarygodności parametryzacji średniej osiąga ograniczenie C-R.

2. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu logarytmicznie normalnego LN(µ, σ²) o gęstości

f (x) = 1

√2πσxe−(log(x)−µ)2

2σ2 , x > 0.

(a) Policz estymatory najwiekszej wiarygodności (MLE) dla µ i σ². (b) Policz ˆγ = MLE(γ) dla γ = µ/σ.

(c) Policz asymptotyczny przedział ufności dla γ na poziomie 1 − α.

3. Niech X₁, X₂, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu Gamma(α, λ) o gęstości f (x) = Γ(α)⁻¹λ^αx^α−1e^−λx, x > 0.

Załóżmy, że α jest znana. Podaj (dokładny!) przedział ufności dla λ na poziomie 1 − δ.

Wskazówka Wykorzystaj zmienną piwotalną λ(X1+ . . . + Xn).

4. Testujemy hipotezę H0: µ1= µ2 przeciw H1: µ16= µ2 na podstawie obserwacji

Xi1

Xi2



∼ Nµ1

µ2



,σ² 0 0 σ²



,

gdzie i = 1, 2, . . . , n. Udowodnij, że w tym zadaniu test ilorazu wiarygodności jest równoważny dwustronnemu testowi t-Studenta.

5. Testujemy hipotezę H0: σ1= σ2 przeciw H1: σ16= σ2 na podstawie obserwacji

X_i1 X_i2



∼ Nµ₁ µ₂



,σ₁² 0 0 σ²₂



,

gdzie i = 1, 2, . . . , n. Udowodnij, że w tym zadaniu test ilorazu wiarygodności jest równoważny testowi F-Snedecora.

6. Niech y = Xβ^∗+ ε, gdzie Eε = 0, var(ε) = σ²In. X jest macierzą n × p, ale niekoniecznie rzędu p - może być p > n.

(a) Policz estymator regresji grzbietowej, czyli

βˆλ= argmin_β||y − Xβ||²+ λ||β||² , gdzie λ > 0.

(b) Policz E||Xβ^∗− X ˆβλ||².

1