Udowodnij, że 9 &lt

Seria zadań domowych nr 3, AM I Termin oddania: 11.6.2019 Proszę wybrać 7 zadań.

Zadanie 1. Oblicz

n→∞lim

n−1

X

k=0

2^k/n n + ^k_n. Zadanie 2. Oblicz

n→∞lim

n

s

(1 + 1

n)(1 + 3

n)(1 + 5

n) · . . . · (1 +2n − 1 n ).

Zadanie 3. Udowodnij, że ^R₀¹ _ln^x1 1−x

dx = ln 2.

Zadanie 4. Udowodnij, że 9 <

Z 3 0

√4

x⁴+ 1dx +

Z 3 1

√4

x⁴− 1dx < 9.0001.

Zadanie 5. Niech P_n(x) = ₂n¹n!

dⁿ

dxⁿ(x²− 1)ⁿ. Wykazać, że wielomiany P_n(x) spełniają

Z 1

−1P_n(x)P_m(x)dx =

( 0 dla n 6= m,

2

2n+1 dla m = n

Zadanie 6. Niech f : [0, +∞) będzie funkcją ciągła i lim_x→∞f (x) = A. Znajdź

x→+∞lim 1 x

Z x 0

f (t)dt.

Zadanie 7. Oblicz

α→0lim

Z α 0

√ dx

cos x − cos α. Zadanie 8. Oblicz

(a) limx→0x ·^R_x^{1 cos t}_t dt, (b) lim_x→0^R_x−x^x 2 1

1−cos tdt.

Zadanie 9. Oblicz całki (a) ^R₀^+∞ _(1+x^{x ln x}2)²dx, (b) ^R₀^+∞ _1+x^dx3dx

Zadanie 10. Zbadaj zbieżność całek (a) ^R₀^{+∞ ln(1+x)}_xn dx,

(b) ^R₀^{π/2 ln(sin x)√}_x dx.

Zadanie 11. Udowodnij, że

Z 1 0

dx

12√

1 − x¹² = Γ(11 12)Γ(13

12).

Zadanie 12. Dla jakich n ∈ N funkcja F (x) :=^R0^xsinⁿtdt jest funkcją okresową?

Zadanie 13. Styczna do wykresu funkcji f (x) = ax³ + bx² + cx + d w punkcie P = (p, f (p)) przecina ten wykres w jeszcze jednym punkcie Q = (q, f (q)). Narysowano również styczną do wykresu funkcji f w punkcie Q. Przecięła ona ten wykres w punkcie R. Otrzymano dwa obszary ograniczone wykresem funkcji f i narysowanymi stycznymi. Udowodnij, że pole jednego z nich jest 16 razy większe od drugiego.

Zadanie 14. Funkcja f : [0, ∞) → [0, ∞) jest rosnąca, nieujemna i ciągła. Niech g(x) =

Z x 0

tf (t)dt − x 2

Z x 0

f (t)dt.

(a) Znajdź g⁰(1), jeśli f (1) = 1 i ^R₀¹f (x)dx = ¹₂. (b) Wykaż, że g jest rosnąca.

2