AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie
OLIMPIADA ”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2008/9 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Znajd´z wsp´o lrzeιdne obrazu punktu C = (20, 25) w symetrii osiowej wzgleιdem prostej przechodzaιcej przez punkty A = (6, 2) i B = (3, −4).
2. Wyznacz dziedzineι funkcji danej wzorem
f (x) = log2(x3− 4x2− 3x + 18).
3. Oblicz graniceι ciaιgu
n→∞lim(n −√
n2+ 5n).
4. Znajd´z liczbeι, kt´orej 59% stanowi okresowy u lamek dziesieιtny 2, 6(81).
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Ze zbioru {1, 2, 3, ... , 2n − 1, 2n}, gdzie n jest ustalonaι liczbaι naturalnaι, losujemy ze zwracaniem dwie liczby x i y. Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n
A : x = y; B : iloczyn xy jest liczbaι parzystaι; C : xy ∈ (0; 1).
6. W ostros lupie prawid lowym tr´ojkaιtnym o wysoko´sci h kraweιd´z boczna jest nachy- lona do kraweιdzi podstawy pod kaιtem α. Oblicz promie´n kuli wpisanej w ten ostros lup. Jakie warto´sci mo˙ze przyjmowa´c miara kaιta α?
7. Dla jakich warto´sci parametru m nier´owno´s´c
(m2− 1)x2+ 2(m − 1)x + 2 > 0
jest spe lniona dla ka˙zdego x ∈ IR? Czy istnieje takie x, aby dla ka˙zdego m ∈ IR powy˙zsza nier´owno´s´c by la prawdziwa?
