Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
9. Testowanie hipotez statystycznych: testy t-Studenta
Ćw. 9.1 Według normy technicznej wykonanie obróbki mechanicznej jednego pierścienia stalowego powinno zajmować szlifierzowi 22 minuty. Wylosowano 16 stanowisk ro- boczych, dla których średni czas obróbki wynosił 24 minuty. Jednocześnie z prze- prowadzonego badania generalnego wiadomo, że odchylenie standardowe σ czasu obróbki wynosi 4 minuty. Zakładając, że czas obróbki ma rozkład normalny, zwe- ryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 : a = 22 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a 6= 22
Ćw. 9.2 Na pudełkach zapałek jest napisane „średnio 64 zapałki”. Wylosowano 1000 pudełek, dla których średnia liczba zapałek wyniosła 65 sztuk, a wariancja s2 wynosiła 625. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 : a = 64 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a > 64.
Ćw. 9.3 Średnia prędkość tramwaju (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę prędkości 200 tramwajów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 tramwajów w niedzielę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości wynosiła odpowied- nio s21 = 6, 8, s22 = 4, 2. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość tramwajów w środę jest mniejsza niż w niedzielę.
Ćw. 9.4 Zmierzono ciśnienie tętnicze wśród losowo wybranej grupy chorych na pewną chorobę przed i po podaniu takiego samego leku każdemu z badanych pacjentów.
Otrzymano następujące wyniki:
Nr pacjenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Ciśnienie przed 210 180 260 270 190 250 180 200 Ciśnienie po 180 160 220 260 200 230 180 190
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że stosowany lek nie powoduje zmiany ciśnienia u pacjentów, wobec hipotezy alternatywnej, że wartość przeciętna ciśnienia przed podaniem leku jest wyższa niż po jego podaniu, wiedząc, że ciśnienie tętnicze ma rozkład normalny.
Ćw. 9.5 W czasie sondażu przeprowadzonego przez pracownię badania opinii społecznej spośród 1100 ankietowanych dorosłych Polaków 1090 odpowiedziało, że w ubiegłym miesiącu nie przeczytali żadnej książki, a pozostali potwierdzili, że przeczytali przy- najmniej jedna książkę. Na podstawie tych danych, na poziomie istotności 0, 01, przetestuj hipotezę, że odsetek dorosłych Polaków, którzy nie przeczytali w ubie- głym miesiącu żadnej książki wynosi 99%, przeciw hipotezie, że odsetek ten jest inny.
Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)
9’. Testowanie hipotez statystycznych: testy t-Studenta Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 9’.1 Dostawca drewnianych belek twierdzi, że ich średnia wytrzymałość jest równa µ = 40 kg/cm2. Wiadomo z doświadczenia, że wytrzymałość może być uznana za zmienną losową o rozkładzie normalnym i odchyleniu standardowym 2. Wybrano losowo 25 belek i zmierzono ich wytrzymałości. Otrzymano, że średnia wytrzy- małość w próbie wynosi 39. Przetestuj na poziomie istotności 0,1 hipotezę dostawcy przeciwo alternatywie, że średnia wytrzymałość belek jest mniejsza niż 40 kg/cm2. Zad. 9’.2 W celu ustalenia stopnia wykonania normy przez pracowników z dwóch za-
kładów włókienniczych wylosowano po 25 robotników pracujących systemem ako- rdowym. Średnie miesięczne wykonanie normy dla zakładu pierwszego wynosiło 118%, zaś dla zakładu drugiego 121%. Ponadto odchylenia próbkowe dla obu za- kładów wynosiły odpowiednio 7, 3% oraz 7, 7%. Zakładając, że rozkład wykonania normy jest w obu zakładach zbliżony do rozkładu normalnego i wiedząc, że test równości wariancji wykonany dla powyższych próbek nie pozwolił na odrzucenie hipotezy zerowej, na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że średnie wykonanie normy w obu zakładach jest jednakowe wobec hipotezy, że jest ono różne.
Zad. 9’.3 Liczbę sprzedanych biletów MZK w Toruniu w kolejnych niedzielach maja i czerwca przedstawia tabelka.
Numer niedzieli 1 2 3 4 5 6 7 8
Liczba sprzedanych biletów w tysiącach 2,9 3,3 3,2 3,2 3,2 3,0 2,9 3,1 Na podstawie tych danych, na poziomie istotności α = 0, 1, przetestuj hipotezę, że średnia liczba sprzedawanych biletów w niedziele jest równa 3, 2 tys. przeciw hipotezie, że średnia sprzedawanych biletów jest
(a) mniejsza niż 3, 2 tys., (b) różna od 3, 2 tys.,
jeżeli wiadomo, że liczba sprzedawanych biletów ma rozkład normalny.
Zad. 9’.4 Producent płatków mydlanych wysunął hipotezę, że stopień wyprania tkaniny wełnianej płatkami mydlanymi jest wyższy od stopnia wyprania płynem do prania.
W celu sprawdzenia tej hipotezy wykonano pomiary stopnia wyprania 10 wycinków tkaniny pranej płatkami, otrzymując w procentach wyniki
74, 4; 75, 1; 73, 0; 72, 8; 76, 2; 74, 6; 76, 0; 73, 4; 72, 9; 71, 6, oraz 7 wycinków pranych płynem do prania, otrzymując
56, 8; 57, 8; 54, 6; 59, 0; 57, 1; 58, 2; 57, 6.
Zakładając, że stopień wyprania tkaniny ma rozkład normalny i wiedząc, że test równości wariancji wykonany dla powyższych próbek nie pozwolił na odrzucenie hipotezy zerowej, na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę wysunietą przez producenta.
