rzeczywistymi zwanymi wp´ o lczynnikami wielomianu. Wielomian W (x ) = 0, x ∈ R nazywamy wielomianem zerowym. M´owimy, ˙ze wielomian W jest stopnia n i piszemy deg(W ) = n, je˙zeli a n 6= 0.

Definicja

Niech n b¸edzie liczb¸ a naturaln¸ a. Wielomianem nazywamy funkcj¸ e W : R → R postaci

W (x ) = a _n x ⁿ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ + a _n−2 x ⁿ⁻² + . . . + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ , gdzie a n , a n−1 , a n−2 , . . . , a 2 , a 1 , a 0 s¸ a ustalonymi liczbami

rzeczywistymi zwanymi wp´ o lczynnikami wielomianu. Wielomian W (x ) = 0, x ∈ R nazywamy wielomianem zerowym. M´owimy, ˙ze wielomian W jest stopnia n i piszemy deg(W ) = n, je˙zeli a n 6= 0.

Przyjmujemy, ˙ze wielomian zerowy nie ma stopnia.

Szczeg´ olne przypadki wielomian´ ow:

1. dla n = 0 mamy W (x ) = a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a sta l¸ a; 2. dla n = 1 mamy W (x ) = a ₁ x + a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a

liniow¸ a;

3. dla n = 2 mamy W (x ) = a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ , czyli W jest

funkcj¸ a kwadratow¸ a.

Szczeg´ olne przypadki wielomian´ ow:

1. dla n = 0 mamy W (x ) = a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a sta l¸ a;

2. dla n = 1 mamy W (x ) = a ₁ x + a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a liniow¸ a;

3. dla n = 2 mamy W (x ) = a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ , czyli W jest

funkcj¸ a kwadratow¸ a.

Szczeg´ olne przypadki wielomian´ ow:

1. dla n = 0 mamy W (x ) = a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a sta l¸ a;

2. dla n = 1 mamy W (x ) = a ₁ x + a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a liniow¸ a;

3. dla n = 2 mamy W (x ) = a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ , czyli W jest

funkcj¸ a kwadratow¸ a.

Szczeg´ olne przypadki wielomian´ ow:

1. dla n = 0 mamy W (x ) = a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a sta l¸ a;

2. dla n = 1 mamy W (x ) = a ₁ x + a ₀ , czyli W jest funkcj¸ a liniow¸ a;

3. dla n = 2 mamy W (x ) = a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ , czyli W jest

funkcj¸ a kwadratow¸ a.

Definicja

Dwa wielomiany W i Q nazywamy r´ ownymi, je˙zeli s¸ a tego samego stopnia oraz ich wsp´ o lczynniki przy odpowiednich pot¸ egach s¸ a r´ owne, tzn., je˙zeli

W (x ) = a n x ⁿ + a n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . + a 1 x + a 0 , Q(x ) = b m x ^m + b m−1 x ^m−1 + . . . + b 1 x + b 0 , to m = n oraz a n = b n , a n−1 = b n−1 , . . . , a 1 = b 1 , a 0 = b 0 .

Przyk lad

Dla jakich warto´sci parametr´ ow a, b wielomiany W i Q s¸ a r´ owne?

1. W (x ) = 3x ⁵ + 4x ² − x + 5, Q(x) = 3x ⁵ − ax ³ + 4x ² − bx + 5;

2. W (x ) = x ⁴ +x ³ +x ² +x +1, Q(x ) = ax ⁴ +(a−b)x ³ +x ² +x +1.

Definicja

Dwa wielomiany W i Q nazywamy r´ ownymi, je˙zeli s¸ a tego samego stopnia oraz ich wsp´ o lczynniki przy odpowiednich pot¸ egach s¸ a r´ owne, tzn., je˙zeli

W (x ) = a n x ⁿ + a n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . + a 1 x + a 0 , Q(x ) = b m x ^m + b m−1 x ^m−1 + . . . + b 1 x + b 0 , to m = n oraz a n = b n , a n−1 = b n−1 , . . . , a 1 = b 1 , a 0 = b 0 . Przyk lad

Dla jakich warto´sci parametr´ ow a, b wielomiany W i Q s¸ a r´ owne?

1. W (x ) = 3x ⁵ + 4x ² − x + 5, Q(x) = 3x ⁵ − ax ³ + 4x ² − bx + 5;

2. W (x ) = x ⁴ +x ³ +x ² +x +1, Q(x ) = ax ⁴ +(a−b)x ³ +x ² +x +1.

Twierdzenie

Za l´ o˙zmy, ˙ze W , P s¸ a wielomianami, przy czym P nie jest wielomianem zerowym. W´ owczas istniej¸ a jednoznacznie wyznaczone wielomiany Q, R takie, ˙ze dla wszystkich x ∈ R zachodzi r´ owno´s´ c

W (x ) = P(x )Q(x ) + R(x ),

przy czym deg(R) < deg (P) lub R jest wielomianem zerowym.

Definicja

M´ owimy, ˙ze wielomian W jest podzielny przez wielomian P, je˙zeli istnieje wielomian Q taki, ˙ze

W (x ) = P(x )Q(x ).

Przyk lad

Wielomian W podzieli´ c przez wielomian P, je˙zeli 1. W (x ) = x ³ + 3x − 2, P(x ) = x − 2;

2. W (x ) = 2x ⁴ − x ³ + 5x , P(x ) = x ² − 1;

3. W (x ) = x ⁴ + x ² + x + 1, P(x ) = x ³ − x ² + 2.

4. W (x ) = 5x ⁷ − 4x ⁶ − x ⁴ + 3x ³ + 2x + 1, P(x ) = x + 3.

Definicja

Liczb¸e a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W , je˙zeli W (a) = 0.

Innymi s lowy, pierwiastkiem wielomianu jest ka˙zde miejsce zerowe tego wielomianu.

Twierdzenie (Bezouta)

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x − a.

Twierdzenie

Ka˙zdy wielomian daje si¸ e przedstawi´ c w postaci iloczynu czynnik´ ow liniowych i kwadratowych o ujemnym wyr´ o˙zniku. Uwaga

W praktyce, dokonanie rozk ladu dowolnego wielomianu na takie

czynniki mo˙ze by´ c bardzo trudne. Tak naprawd¸ e, tylko w

nielicznych przypadkach jeste´smy w stanie dokona´ c takiego

rozk ladu. Mamy jednak twierdzenia, kt´ ore w pewnych sytuacjach

u latwiaj¸ a roz lo˙zenie wielomianu na takie czynniki.

Definicja

Liczb¸e a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W , je˙zeli W (a) = 0.

Innymi s lowy, pierwiastkiem wielomianu jest ka˙zde miejsce zerowe tego wielomianu.

Twierdzenie (Bezouta)

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x − a.

Twierdzenie

Ka˙zdy wielomian daje si¸ e przedstawi´ c w postaci iloczynu czynnik´ ow liniowych i kwadratowych o ujemnym wyr´ o˙zniku. Uwaga

W praktyce, dokonanie rozk ladu dowolnego wielomianu na takie

czynniki mo˙ze by´ c bardzo trudne. Tak naprawd¸ e, tylko w

nielicznych przypadkach jeste´smy w stanie dokona´ c takiego

rozk ladu. Mamy jednak twierdzenia, kt´ ore w pewnych sytuacjach

u latwiaj¸ a roz lo˙zenie wielomianu na takie czynniki.

Definicja

Liczb¸e a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W , je˙zeli W (a) = 0.

Innymi s lowy, pierwiastkiem wielomianu jest ka˙zde miejsce zerowe tego wielomianu.

Twierdzenie (Bezouta)

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x − a.

Twierdzenie

Ka˙zdy wielomian daje si¸e przedstawi´ c w postaci iloczynu czynnik´ ow liniowych i kwadratowych o ujemnym wyr´ o˙zniku.

Uwaga

W praktyce, dokonanie rozk ladu dowolnego wielomianu na takie

czynniki mo˙ze by´ c bardzo trudne. Tak naprawd¸ e, tylko w

nielicznych przypadkach jeste´smy w stanie dokona´ c takiego

rozk ladu. Mamy jednak twierdzenia, kt´ ore w pewnych sytuacjach

u latwiaj¸ a roz lo˙zenie wielomianu na takie czynniki.

Definicja

Liczb¸e a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W , je˙zeli W (a) = 0.

Innymi s lowy, pierwiastkiem wielomianu jest ka˙zde miejsce zerowe tego wielomianu.

Twierdzenie (Bezouta)

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x − a.

Twierdzenie

Ka˙zdy wielomian daje si¸e przedstawi´ c w postaci iloczynu czynnik´ ow liniowych i kwadratowych o ujemnym wyr´ o˙zniku.

Uwaga

W praktyce, dokonanie rozk ladu dowolnego wielomianu na takie

czynniki mo˙ze by´ c bardzo trudne. Tak naprawd¸ e, tylko w

nielicznych przypadkach jeste´smy w stanie dokona´ c takiego

rozk ladu. Mamy jednak twierdzenia, kt´ ore w pewnych sytuacjach

u latwiaj¸ a roz lo˙zenie wielomianu na takie czynniki.

Twierdzenie

Za l´ o˙zmy, ze wszystkie wsp´ o lczynniki wielomianu W (x ) = a _n x ⁿ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . + a ₁ x + a ₀

s¸ a liczbami ca lkowitymi. Je˙zeli a jest wymiernym pierwiastkiem

wielomianu W , to a = ^p _q , gdzie p jest dzielnikiem wsp´ o lczynnika

a 0 , za´s q jest dzielnikiem wsp´ o lczynnika a n i uamek ^p _q jest

nieskracalny.

Podane wielomiany roz l´ o˙z na czynniki:

1. W (x ) = x ⁵ − 3x ⁴ − x ³ + 3x ² − 6x + 18, 2. W (x ) = x ⁴ − 4x ³ + 2x ² + 8x − 8, 3. W (x ) = 3x ³ − 2x ² + 5x + 2.

Definicja

Niech a b¸edzie pierwiastkiem wielomianu W i k ∈ N. Pierwiastek

a nazywamy k-krotnym, je˙zeli wielomian W dzieli si¸ e przez

(x − a) ^k i nie jest podzielny przez (x − a) ^k+1 .

Podane wielomiany roz l´ o˙z na czynniki:

1. W (x ) = x ⁵ − 3x ⁴ − x ³ + 3x ² − 6x + 18, 2. W (x ) = x ⁴ − 4x ³ + 2x ² + 8x − 8, 3. W (x ) = 3x ³ − 2x ² + 5x + 2.

Definicja

Niech a b¸edzie pierwiastkiem wielomianu W i k ∈ N. Pierwiastek

a nazywamy k-krotnym, je˙zeli wielomian W dzieli si¸ e przez

(x − a) ^k i nie jest podzielny przez (x − a) ^k+1 .

Szkicowanie wykresu wielomianu

Niech x 1 , . . . , x l b¸ed¸ a uporz¸ adkowanymi pierwiastkami wielomianu

W , tzn. x ₁ < x ₂ < . . . < x _l o krotno´sciach odpowiednio k ₁ , . . . , k _l .

Wykres wielomianu szkicujemy od prawej strony do lewej. Je˙zeli

wsp´ o lczynnik przy najwy˙zszej pot¸ edze jest dodatni, to wykres

zaczynamy szkicowa´ c od warto´sci dodatnich, a je˙zeli jest on

ujemny, to zaczynamy szkicowa´ c od warto´sci ujemnych. Je˙zeli

krotno´s´ c pierwiastka x l jest nieparzysta, to wykres przecina o´s ox

w punkcie (x _l , 0) i przechodzimy do pierwiastku x _{l −1} . Je˙zeli

ktotno´s´ c pierwiastka x _l jest parzysta, to pozostajemy po tej samej

stronie osi ox i przechodzimy do nast¸ epnego pierwiastka. Dalsz¸ a

analiz¸ e przy szkicowaniu wykresu prowadzimy w ten sam spos´ ob.

Naszkicowa´ c wykresy podanych wielomian´ ow i rozwi¸ aza´ c nier´ owno´sci:

1. W (x ) = (x − 2) ² (x + 1), W (x ) > 0;

2. W (x ) = − ¹ ₂ (x ² − 4)(x ² + x + 1), W (x ) ≤ 0.

Definicja

Funkcj¸ a wymiern¸ a nazywamy funkcj¸ e f dan¸ a wzorem f (x ) = W (x )

P(x ) ,

gdzie W , P s¸ a pewnymi wielomianami, przy czym P nie jest wielomianem zerowym. Dziedzin¸ a funkcji wymiernej jest zbi´ or tych argument´ ow, kt´ ore nie s¸ a pierwiastkami wielomianu P, czyli D f = {x ∈ R | P(x) 6= 0}.

Uwaga

W przypadku, gdy P jest funkcj¸ a sta l¸ a, r´ o˙zn¸ a od zera, funkcja

wymierna jest po prostu wielomianem, st¸ ad ka˙zdy wielomian jest

szczeg´ olnym przypadkiem funkcji wymiernej. Zbi´ or miejsc zerowych

funkcji wymiernej pokrywa si¸ e ze zbiorem tych pierwiastk´ ow

wielomianu W , kt´ ore nie s¸ a pierwiastkami wielomianu P.

Przyk lad

Wyznacz dziedzin¸e funkcji wymiernej 1. f (x ) = ^{3x +1} _{2x −4} ;

2. f (x ) = ^{(x −4)(x} (x −2)(x +5)

^+2x

^−7x+8) .

Szczeg´ olnym przypadkiem funkcji wymiernej jest tzw. funkcja homograficzna, albo po prostu homografia, kt´ ora jest ilorazem wielomian´ ow stopnia co najwy˙zej pierwszego, dok ladniej

f (x ) = ax + b cx + d ,

przy czym zak lada si¸e, ˙ze ad − bc 6= 0 oraz c 6= 0. Dziedzin¸ a

funkcji homograficznej jest D _f = {x ∈ R | x 6= − ^d _c }.