6AHE= @AE ?E=“ EIJ= ! EA?D K |= ACF

Teoria modeli ciaª, Lista 3

Niech K |= ACF

b¦dzie modelem monstrum, M modelem monstrum zu- peªnej teorii w j¦zyku L, k ⊆ K podciaªem, A ⊆ M i n, m ∈ N.

1. Dowie±¢, »e je±li istnieje deniowalna w M surjekcja f : X → Y taka,

»e dla ka»dego y ∈ Y , f

(y) jest sko«czone, to RM(X) = RM(Y ).

2. Zaªó»my, »e T jest silnie minimalna i a

, . . . , a

∈ M . Udowodni¢, »e RM(a

, . . . , a

) = dim

(a

, . . . , a

) .

3. Niech R b¦dzie dziedzin¡, R

⊆ K rozszerzeniem ciaª oraz elementy a

, b

, . . . , a

, b

∈ K b¦d¡ algebraiczne nad R

. Udowodni¢, »e je±li homomorzm

φ : R[a

, . . . , a

] → R[b

, . . . , b

]

speªnia φ|

= id

oraz φ(a

) = b

, . . . , φ(a

) = b

, to φ jest izomor-

zmem.

4. Niech X ⊆ M

b¦dzie A-deniowalny i RM(X) = α. Udowodni¢, »e:

(a) Istnieje jedyny p ∈ S

(A) taki, »e RM(p) = α oraz “x ∈ X” ∈ p wtedy i tylko wtedy, gdy X nie jest rozª¡czn¡ sum¡ dwóch A- deniowalnych podzbiorów rangi Morley'a równej α.

(b) Zbiór X speªnia powy»sze warunki dla ka»dego B ⊇ A wtedy i tylko wtedy, gdy mlt(X) = 1.

(c) Je±li mlt(X) = 1 oraz Y ⊆ M

jest deniowalny i RM(Y ) < α, to mlt(X ∪ Y ) = 1.

5. Zaªó»my, »e k |= ACF

i V ⊆ K

jest k-domkni¦ty. Udowodni¢, »e V jest k-nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy V jest nierozkªadalny.

6. Niech V ⊆ K

b¦dzie domkni¦ty i nierozkªadalny. Udowodni¢, »e RM(V ) = dim

(V ).

7. Udowodni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) Dla ka»dego a ∈ M

istnieje b ∈ M

taki, »e dcl

(a) = dcl

(b) . (b) Dla ka»dego zbioru deniowalnego X ⊆ M

istnieje c ∈ M

taki,

»e dla φ ∈ Aut(M), φ(c) = c wtedy i tylko wtedy, gdy φ(X) = X.

(c) Dla ka»dej 0-deniowalnej relacji równowa»no±ci E na M

istnieje funkcja deniowalna f : M

→ M

taka, »e dla x, y ∈ M

, f (x) = f (y) wtedy i tylko wtedy, gdy xEy.

8. Znale¹¢ deniowaln¡ relacj¦ równowa»no±ci na K, dla której nie ma deniowalnego zbioru reprezentantów klas abstrakcji.

1