6MEAH@AEA .K>EEAC M

Twierdzenie Fubiniego w

.

1. Obliczy¢ nast¦puj¡ce caªki iterowane:

(i)^R1₁^R₂⁴(x²+ y²x) dydx;

(ii) ^R₀^ln3R₀^ln4e^x+ydxdy;

(iii) ^R1₁^R₀^1R₀²(x²+ y²+ z²) dzdydx;

(iv) ^R₀^1R₀^=4R₀²xcosy dxdydz : (v) ^R0₁^R₀^2R₀^xzjcosyj dydzdx;

(vi) ^R₁^0R₂^3R₃⁴ _xyz¹ dxdzdy;

(vii) ^R₀^1R2₁^R₀¹zxe^xydydxdz:

2. Zamieni¢ caªk¦ podwójn¡ ^RR_Df(x; y) dxdy na caªki iterowane, je±li obszar D ograniczony jest podanymi krzywymi:

(i) y = 1 +p

2x x²; x = 0; x = 2; y = 0;

(ii) y = x; xy = 1; y = 1=2;

(iii) yx² = 1; y = 1; y = 2;

(iv) y = jx 1j; y = 2 jx 1j;

(v) x = 0; x²+ y² = 1; y =p

x; (y ­ 0);

(vi) x = y²; y = x 2:

3. Obliczy¢ caªki podwójne po wskazanych zbiorach:

(i)^RR_P xy²dxdy, gdzie P = [0; 1]  [ 1; 1],

(ii) ^RR_P sin(x + y) dxdy, gdzie P = [ =4; =4]  [0; =4], (iii) ^RR_P p^{xy dxdy}

x²+y²+1, gdzie P = [0; 1]  [0; 1],

(iv) ^RR_D(x² xy) dxdy, gdzie D = f(x; y) 2R² : y ­ x; y ¬ 3x x²g, (v) ^RR_D(3x 2y) dxdy, gdzie D = f(x; y) 2R² : x²+ y² ¬ 1g,

(vi) ^RR_Dxy dxdy, gdzie D = f(x; y) 2R² : y ¬ 6 x; y ­px; x ­ 0g, (vii) ^RR_Dy dxdy, gdzie D =ⁿ(x; y) 2R² : x ¬ arc sin y; y ¬ ^p1₂; x ­ 0^o,

(viii)^RR_Dxy dxdy, gdzie D jest zbiorem ograniczonym krzywymi: xy = 1; jx yj = 1,

(ix)^RR_D(x + y) dxdy, gdzieD jest zbiorem ograniczonym krzywymi: y =^qjxj; 2x = jyj; jxj = 1, (x) ^RR_Dy dxdy, gdzie D jest zbiorem ograniczonym krzywymi: y = 2 x²; y = 1; y = 1; x =

1 p

1 y²,

(xi) ^RR_DE(sin(x + y)) dxdy, gdzie D = [0; ]  [0; ], (xii) ^RR_Dsgn(y x²) dxdy, gdzie D = [0; 2]  [0; 2], (xiii)^RR_Dmin(x; x + y) dxdy, gdzie D = [ 1; 2]  [1; 3].

4. Zmieni¢ porza_,dek caªkowania w naste_,puja_,cych caªkach (gdzie f jest funkcja_, cia_,gªa_,):

(i)^R₀^4R_3x^12x2 f(x; y) dydx;

Arkusz 1

(ii) ^R1₇^R2+

p7 6y y² 2 p

7 6y y² f(x; y) dxdy;

(wsk. obszar caªkowania jest ograniczony okre_,giem: (x 2)²+ (y + 3)² = 4²), (iii) ^R₀^1R_2x^3xf(x; y) dydx;

(iv) ^R₀^1Rp

3 y²

y22

f(x; y) dxdy;

(v) ^R₁^eR₀^lnxf(x; y) dydx;

(vi) ^R₀^2R₀^sinxf(x; y) dydx:

5. Obliczy¢ naste_,puja_,ce caªki, stosuja_,c zamiane_, z caªki podwójnej na iterowana_,:

(i)^R_Axy²dxdy, gdzie A jest zbiorem w R² ograniczonym krzywymi: y² = 2px; x = ^p₂; p > 0;

(ii) ^R_A(x² + y²) dxdy, gdzie A jest zbiorem wR² ograniczonym krzywymi: y = x; y = x + a; y = a; y = 3a; a > 0;

(iii) ^R_A(jxj + jyj) dxdy, gdzie A = f(x; y) 2R² : jxj + jyj ¬ 1g;

(iv) ^R_D(sinxcosy) dxdy, gdzie D jest trójka_,tem o wierzchªkach: A(a; 0); B(0; a); C(0; 0); gdzie a > 0;

(v) ^R_D(2x + 1) dxdy, gdzie D jest trójka_,tem o wierzchªkach: A( 1; 1); B(1; 1); C(0; 0);

(vi) ^R_D ^p_10+2x+y^dxdy , gdzie D jest obszarem ograniczonym ªukiem paraboli y = x², odcinkiem osi Ox, odcinkiem prostej x = 1 i odcinkiem prostej x = 3.

6. Obliczy¢ podane caªki potrójne:

(i)^RRR

V (2x y + 3z) dxdxydz, gdzie V = [ 1; 1]  [0; 1]  [2; 4], (ii) ^RRR

V

yzx dxdxydz, gdzie V = [0; 1]  [1; 2]  [2; 3], (iii) ^RRR

V zxsin(xy) dxdxydz, gdzie V = [1=3; 1=2]  [0; ]  [0; 1], (iv) ^RRR

V yx²sinz dxdxydz, gdzie V = [0; 1]  [ 1; 1]  [0; =2], (v) ^RRR

V e^{2x+y x}dxdxydz, gdzie V = [0; ln2]  [0; ln3]  [0; 1], (vi) ^RRR

V lnx^yzdxdxydz, gdzie V = [1; e]  [1; 2]  [2; 3].

7. Obszary ograniczone podanymi powierzchniami zapisa¢ jako obaszary normalne wzgl¦dem wskazanej pªaszczyzny:

(i) x + y + z = 10; x²+ y² = 1; z = 0; (z ­ 0); Oxy, (ii) y² + z² = 4x; x = 2; Oxz,

(iii) z + y = 1; y = 1 z²; y = 0; x = 1; Oxz, (iv) y = x²; x = y²; z = xy; z = 0; Oxy.

8. Podane obszary zapisa¢ jako obszary normalne wzgl¦dem pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych (rozwa»y¢ wszystkie przypadki):

(i) kula: x²+ y²+ z² ¬ R²; (ii) sto»ek:p

x²+ y² ¬ z ¬ H;

(iii) walec: x²+ y² ¬ R²; 0 ¬ z ¬ H,

Arkusz 2

(iv) paraboloida: x²+ y² ¬ z ¬ H:

9. Caªk¦ potrójn¡^RRR

U f(x; y; z) dxdydz zamieni¢ na caªki iterowane, je»eli obszar U ograniczony jest podanymi powierzchniami:

(i) 2x + 3y + 4z = 12; x = 0; y = 0; z = 0;

(ii) y =p

x²+ z²; y = 1,

(iii) y = x²+ z²; y = 8 x² z², (iv) z =p

4 x² y²; z = p

x²+ y²:

10. Zmieni¢ porza_,dek caªkowania w naste_,puja_,cych caªkach (gdzie f jest funkcja_, cia_,gªa_,):

(i)^R₀^1R₀^{1 xR}₀^x+yf(x; y; z) dzdydx;

(ii) ^R₀^1R₀^1R₀^x2+y2f(x; y; z) dzdydx;

(iii) ^R1₁^{Rpp1 x}_{1 x}²2

Rp₁

x²+y²f(x; y; z) dzdydx:

11. Obliczy¢ naste_,puja_,ce caªki, stosuja_,c zamiane_, z potrójnej na iterowana_,: (i) ^RRR

V xy²z³dxdydz, gdzie V  R³ jest zbiorem ograniczonym powierzchniami: z = xy; y = x; x = 1; z = 0;

(ii) ^RRR

V x dxdydz, gdzie V  R³ jest zbiorem ograniczonym powierzchnia_,: 2x + 2y + z 2 = 0 i pªaszczyznami ukªadu wspóªrze_,dnych,

(iii) ^RRR

V

dxdydz

(x+y+z+1)³, gdzie V  R³ jest zbiorem ograniczonym powierzchnia_,: x + y + z 1 = 0 i pªaszczyznami ukªadu wspóªrze_,dnych,

(iv) ^RRR

V

dxdydz

(x+y+z+1)², gdzie V  R³ jest zbiorem okre±lonym warunkami: x ­ 0; y ­ 0; z ­ 0; x + y + z ¬ 1;

(v) ^RRR

V (x² + y²) dxdydz, gdzie V  ^R3 jest zbiorem ograniczonym powierzchniami x² + y² = 2z; z = 2:

12. Obliczy¢ caªki potrójne po zbiorach ograniczonych podanymi powierzchniami:

(i)^RRR

V xy dxdydz, gdzie V : y = 0; y = x; x =p

9 z²; z = 0, (ii) ^RRR

V y dxdydz, gdzie V : z = y; z = 0; y = 1 x², (iii) ^RRR

V (x²+ y²) dxdydz, gdzie V : z = y² x²; x = 0; y = 1; y = x; z = 0, (iv) ^RRR

V x²yz dxdydz, gdzie V : x = 2; y = x; y = x²; z = 0; z = x + y.

Arkusz 3