7. Zadania do wykładu Wstęp do matematyki dyskretnej
1. Niech f (0), f (1), f (2), . . . będą liczbami Fibonacci’ego. Obliczyć poda- ne niżej sumy dla małych wartości n, odgadnąć wzór ogólny i udowodnić go przez indukcję.
(a) f (1) + f (3) + . . . + f (2n − 1).
(b) f (0) + f (2) + . . . + f (2n).
(c) f (0) − f (1) + f (2) − . . . + (−1)nf (n).
(d) f (0)2+ f (1)2+ . . . + f (n)2. (e) f (n)f (n + 2) + (−1)n.
2. Rozważmy szachownicę 1 × n. Każde pole szachownicy jest pomalowa- ne na czerwono lub niebiesko tak, że nie ma dwu sąsiednich czerwo- nych kwadratów. Niech g(n) oznacza liczbę sposobów pokolorowania szachownicy. Znaleźć wzór rekurencyjny jaki spełniają liczby g(n). Na- stępnie znaleźć wzór na g(n).
3. Dla n = 1, 2, 3, . . . niech h(n) oznacza ilość różnych sposobów pokolo- rowania pól szachownicy 1 × n barwami białą, niebieską i czerwoną tak, że nie ma dwu sąsiednich czerwonych kwadratów. Znaleźć wzór reku- rencyjny jaki spełniają liczby h(n). Następnie znaleźć wzór na h(n).
4. Załóżmy, że Fibonacci umieścił dwie pary królików w odosobnieniu na początku roku. Znaleźć liczbę par królików po roku. Ogólniej, znaleźć liczbę par królików po n miesiącach.
5. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = 4H(n−2) dla n = 2, 3, 4, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 0 i H(1) = 1.
6. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = (n + 2)H(n − 1) dla n = 1, 2, 3, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 2.
7. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = H(n − 1) + 9H(n − 2) − 9H(n − 3) dla n = 3, 4, 5, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 0, H(1) = 1 i H(2) = 2.
8. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = 8H(n − 1) − 16H(n − 2) dla n = 2, 3, 4, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = −1 i H(1) = 0.
9. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = 3H(n − 2) − 2H(n − 3) dla n = 3, 4, 5, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 1, H(1) = 0 i H(2) = 0.
10. Rozwiązać równanie rekurencyjne H(n) = 5H(n − 1) − 6H(n − 2) − 4H(n−3)+8H(n−4) dla n = 4, 5, 6, . . . , przy warunkach początkowych H(0) = 0, H(1) = 1, H(2) = 1 i H(3) = 2.
11. Rozwiązać podane równania rekurencyjne przez znalezienie kilku pierw- szych wyrazów, odgadnięcie wzoru i udowodnienie go przez indukcję.
(a) H(n) = H(n − 1) − n + 3 dla n = 1, 2, 3, . . . ; H(0) = 2.
(b) H(n) = −H(n − 1) + 1 dla n = 1, 2, 3, . . . ; H(0) = 0.
(c) H(n) = −H(n − 1) + 2 dla n = 1, 2, 3, . . . ; H(0) = 1.
(d) H(n) = 2H(n − 1) + 1 dla n = 1, 2, 3, . . . ; H(0) = 1.
12. Znaleźć wzór rekurencyjny na liczbę sposobów wypłacenia n złotych przy użyciu
(a) monet jedno i dwuzłotowych;
(b) monet jedno, dwu i pięciozłotowych.
13. Dla grafu skierowanego podanego niżej wyznaczyć liczbę różnych skie- rowanych dróg składających się z n krawędzi, zaczynających się w a i kończących się w c.
a b c
>
>
<
>
<
14. Znaleźć wzór rekurencyjny na liczbę sposobów rozdzielenia n obiektów pomiędzy 4 różne osoby.
15. Znaleźć wzór rekurencyjny na ilość ciągów długości n złożonych z 0,1 i 2 takich, że bezpośrednio na lewo od 2 nie może znajdować się 1.
16. Dziecko codziennie chodzi do ciastkarni. Kupuje albo jedno z dwu ro- dzajów ciastek po złotówce albo jedno z trzech rodzajów ciastek po 2 złote. Znaleźć i rozwiązać relację rekurencyjną na liczbę sposobów wydania n złotych w ciastkarni (kolejność jest istotna).
17. Dla różnych liczb q1, q2, . . . , qn pokazać przez indukcję, że
det
1 1 · · · 1
q1 q2 · · · qn q12 q22 · · · qn2 ... ... ... qn−11 qn−12 · · · qn−1n
=
n
Y
i=2 i−1
Y
j=1
(qi− qj).
Wskazówka: Zastąpić qnprzez zmienną x i pokazać, że wyznacznik jest wielomianem stopnia n − 1 postaci A(x − q1)(x − q2) . . . (x − qn−1).
∗18. Pokazać, że ciąg√ 6,
q
6 +√ 6,
r
6 +
q
6 +√
6, . . . jest zbieżny do licz- by 3. Wskazówka: Znaleźć wzór rekurencyjny dla wyrazów ciągu.
