Zadania domowe z Matematyki Dyskretnej (grupa 1) – seria 11, na środę 29.05.2019
Zadanie 1. Opisz wyszystkie elementy grupy izometrii sześcianu, podając wszystkie 24 obroty, a następnie składając je z wybraną symetrią. Oblicz, na ile geometrycznie nierozróżnialnych sposobów można pokolorować wierzchołki sześcianu k kolorami.
Zadanie 2. W grupie 2d + 1 osób każda osoba ma dokładnie d znajomych (innych niż ona sama). Wykaż, że każde dwie osoby można połączyć łańcuchem znajomości (tzn. dla dowolnych dwóch osób A i B istnieje ciąg osób A0 = A, A1, A2, . . . , An = B dla pewnej liczby naturalnej n, taki że Ai zna Ai+1 dla każdego i ∈ {0, . . . , n − 1}).
Zadanie 3. W pewnej grupie n 2 osób istnieją co najmniej dwie osoby, które się zna- ją. Ponadto każde dwie osoby, które mają w tej grupie jakiegoś wspólnego znajomego, mają różne liczby znajomych. Udowodnij, że jest w tej grupie osoba znająca dokładnie jedną osobę.
(Przyjmujemy, że relacja znajomości nie jest zwrotna, ale jest symetryczna.) Wskazówka: można dowodzić przez zaprzeczenie, rozważając osobę, która ma najwięcej znajomych.
1