Egzamin z logiki, II termin, 6 wrze´snia 2005 1. Skonstruowa´c w rachunku sekwent´ow dowody formu l (a) ((p → q) → r) → ((p → r) → r); (b) ¬(p → ¬q) → p ∧ q. 2. Jedynym symbolem sygnatury Σ jest dwuargumentowy symbol funk- cyjny g. Rozwa˙zamy algebry post

Egzamin z logiki, II termin, 6 wrze´snia 2005

1. Skonstruowa´c w rachunku sekwent´ow dowody formu l (a) ((p → q) → r) → ((p → r) → r);

(b) ¬(p → ¬q) → p ∧ q.

2. Jedynym symbolem sygnatury Σ jest dwuargumentowy symbol funk- cyjny g. Rozwa˙zamy algebry postaci Ng = hN, gi, gdzie g jest funkcja_, dwuargumentowa. Czy formu la ∃yz(x 6= y ∧ x 6= z ∧ g(x, y) = g(z, x))_,

(a) jest prawdziwa w pewnej algebrze N_g?

(b) jest spe lnialna, ale nie prawdziwa w pewnej algebrze N_g? (c) jest spe lnialna w ka˙zdej algebrze N_g?

Czy klasa wszystkich algebr, w kt´orych nasza formu la jest prawdziwa, jest definiowalna r´owno´sciowo?

3. Teraz jedynym symbolem sygnatury Σ jest dwuargumentowy symbol relacyjny R. Przez ϕ_n, dla n > 0, oznaczymy formu le_,

∀x₁. . . x_n(R(x₁, x₂) ∨ R(x₂, x₃) ∨ · · · ∨ R(x_n−1, x_n) ∨ R(x_n, x₁)).

W szczeg´olno´sci ϕ₁ to formu la ∀x₁R(x₁, x₁). Zbada´c, kt´ore z formu l ϕn→ ϕm, dla m, n > 0 sa tautologiami._,

4. Czy prawdziwe jest nastepuj_, ace twierdzenie: Je˙zeli istniej_, a algebry_, wolne w klasie K o zbiorach wolnych generator´ow dowolnej mocy, to klasa K jest definiowalna r´owno´sciowo?

Rachunek sekwent´ow

Os labianie: Γ ` Σ

Γ, α ` Σ (LO) Γ ` Σ

Γ ` α, Σ (PO)

Wymiana: Γ, ϕ, ψ, ∆ ` Σ

Γ, ψ, ϕ, ∆ ` Σ (LW) Γ ` ∆, ϕ, ψ, Σ Γ ` ∆, ψ, ϕ, Σ (PW)

Skracanie: Γ, ϕ, ϕ ` Σ

Γ, ϕ ` Σ (LS) Γ ` ϕ, ϕ, Σ

Γ ` ϕ, Σ (PS)

Negacja: Γ ` α, Σ

Γ, ¬α ` Σ (LN) Γ, α ` Σ

Γ ` ¬α, Σ (PN)

Koniunkcja: Γ, α ` Σ

Γ, α ∧ β ` Σ (LK) Γ, β ` Σ Γ, α ∧ β ` Σ

Γ ` α, Σ Γ ` β, Σ Γ ` α ∧ β, Σ (PK)

Alternatywa: Γ, α ` Σ Γ, β ` Σ

Γ, α ∨ β ` Σ (LA) Γ ` α, Σ

Γ ` α ∨ β, Σ (PA) Γ ` β, Σ Γ ` α ∨ β, Σ

Implikacja: Γ ` α, Σ Γ, β ` Σ

Γ, α → β ` Σ (LI) Γ, α ` β, Σ Γ ` α → β, Σ (PI)

Kwantyfikator og´olny: Γ, ϕ[x:=t] ` Σ

Γ, ∀xϕ ` Σ (L∀) Γ ` ϕ[x:=y], Σ Γ ` ∀xϕ, Σ (P∀)

Kwantyfikator szczeg´o lowy: Γ, ϕ[x:=y] ` Σ

Γ, ∃xϕ ` Σ (L∃) Γ ` ϕ[x:=t], Σ Γ ` ∃xϕ, Σ (P∃)

Ciecie:_, Γ ` α, Σ Γ, α ` Σ

Γ ` Σ (Ciach!)

Regu ly (P∀) i (L∃) maja nast_, epuj_, ace ograniczenie: zmienna y nie mo˙ze wy-_, stepowa´_, c wolno w ˙zadnej formule nale˙zacej do Γ ∪ Σ._,

2

Rozwiazania_,

Zadanie 1a:

p ` p

=======

p ` q, p, r

` p → q, p, r

r ` r r ` p, r (p → q) → r ` p, r

r ` r

==============

(p → q) → r, r ` r (p → q) → r, p → r ` r

(p → q) → r ` (p → r) → r

` ((p → q) → r) → ((p → r) → r) Zadanie 1b:

p ` p p, q ` p

q ` q p, q ` q p, q ` p ∧ q p ` ¬q, p ∧ q

` p → ¬q, p ∧ q

¬(p → ¬q) ` p ∧ q

` ¬(p → ¬q) → p ∧ q Zadanie 2:

1. Tak, na przyk lad je´sli g jest funkcja sta l_, a. R´_, owno´s´c g(x, y) = g(z, x) jest wtedy spe lniona, niezale˙znie od warto´sci zmiennych y i z,

2. Tak, na przyk lad dla g(m, n) = n, gdy m · n = 0;

3, w przeciwnym przypadku.

Formu la nie jest spe lniona przez warto´sciowanie %(x) = 0, bo wtedy warunki x 6= y i g(x, y) = g(z, x) wykluczaja si_, e. W pozosta lych przy-_, padkach formu la jest spe lniona.

3. Nie, na przyk lad je´sli g jest rzutem na pierwsza wsp´_, o lrzedn_, a._,

3

Klasa algebr, w kt´orych ta formu la jest prawdziwa, nie jest definiowalna r´owno´sciowo, bo nie jest np. zamknieta ze wzgl_, edu na podalgebry. Istotnie,_, je´sli g jest stale r´owna 1, to {1} jest podalgebra N_, g. W tej podalgebrze formu la nie jest prawdziwa, bo nie ma tam element´ow r´o˙znych od 1.

Zadanie 3: Formu la ϕ_n → ϕ_m jest tautologia wtedy i tylko wtedy gdy n jest_, podzielne przez m. Przypu´s´cmy najpierw, ˙ze n = k · m, i ˙ze A |= ϕ_n. Niech a₁, . . . , a_m ∈ A. Formu la R(x₁, x₂) ∨ R(x₂, x₃) ∨ · · · ∨ R(x_n−1, x_n) ∨ R(x_m, x₁) jest spe lniona przez warto´sciowanie ρ(x_i) = a_i, poniewa˙z formu la R(x₁, x₂) ∨ R(x₂, x₃) ∨ · · · ∨ R(x_n−1, x_n) ∨ R(x_n, x₁) jest spe lniona przez warto´sciowanie ρ(x_i) = a_{i mod m}.

Rozpatrzmy teraz strukture A_{, m} = h{1, . . . , m}, R_mi, gdzie A_m = {1, . . . , m}

oraz R_m = A²_m − {h1, 2i, . . . , hm − 1, mi, hm, 1i}. Oczywi´scie A_m 6|= ϕ_m. Poka˙zemy, ˙ze A_m |= ϕ_n dla wszystkich n, niepodzielnych przez m. Stad_, otrzymamy, ˙ze ϕ_n→ ϕ_m nie jest tautologia._,

W przeciwnym razie mamy ciag n element´_, ow a₁, a₂, . . . , a_n, w kt´orym ˙zadne dwa kolejne (oraz ostatni z pierwszym) nie sa w relacji R_{, m}. Z okre´slenia R_m wynika, ˙ze r´o˙znica pomiedzy kolejnymi elementami jest zawsze 1 (modulo m)_, a liczba a_j powtarza sie co m krok´_, ow. Tak samo r´o˙znica a₁− a_n jest jedynka_, modulo m. A zatem n jest podzielne przez m.

Zadanie 4: Nie. Rozpatrzmy na przyk lad klase K z lo˙zon_, a ze wszystkich al-_, gebr wolnych w klasie P wszystkich p´o lgrup z jedno´scia. Oczywi´scie algebra_, wolna w P jest te˙z wolna w K, wiec K ma algebry wolne o dowolnej liczbie_, generator´ow. Zauwa˙zmy teraz, ˙ze Eq(K) = Eq(P). Istotnie, dowolne r´ow- nanie prawdziwe w w algebrze wolnej o niesko´nczonej liczbie generator´ow jest prawdziwe w ca lej klasie P, zachodzi wiec inkluzja ⊆. (Inkluzja odwrotna jest_, oczywista.) A zatem klasa K nie jest definiowalna r´owno´sciowo, mieliby´smy bowiem wtedy K = Mod(Eq(K)) = Mod(Eq(P)) = P. A przecie˙z nie ka˙zda p´o lgrupa jest wolna.

4