Zmienne zdaniowe p, q, r

24.10.2018, kl 1b Elementy logiki.

Spójniki (operatory) logiczne W matematyce operujemy zdaniami. Ka»de zdanie jest albo prawdziwe albo faªszywe. Zmienne zdaniowe p, q, r, . . . reprezentuj¡ dowolne zdania logiczne. Za pomoc¡ spójników logicznych mo»emy tworzy¢ nowe, bardziej zªo»one zdania. Podstawowymi spójnikami s¡ alternatywa p ∨ q (p lub q), koniunkcja p ∧ q (p i q) oraz operator negacji ¬p (nieprawda, »e p). B¦dziemy odró»niali ∨ od spójnika p ⊕ q (p albo q) zwanego alternatyw¡ wykluczaj¡c¡ lub XOR. Przez 1, 0 oznaczamy warto±ci logiczne prawdy i faªszu. Innymi wa»nymi spójnikami s¡ implikacja p → q (z p wynika q) oraz równowa»no±¢ p ↔ q (p wtedy i tylko wtedy, gdy q), których matryce logiczne prezentujemy poni»ej

p q p ⊕ q p → q p ↔ q

0 0 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 1

Tautologie. Przez tautologi¦ rozumiemy formuª¦ logiczn¡ zbudowan¡ ze zmiennych zdaniowych p, q, . . ., które jest prawdziwe niezale»nie od warto±ci logicznych zda« p, q, . . .. Przykªady: p ∨ ¬p (prawo wyª¡czonego

±rodka), ¬¬p ↔ p, p ∧ (p → q) → q.

Zadanie 1. Udowodnij prawa de Morgana:

(a) ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q, (b) ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q.

Zadanie 2. Które z poni»szych zda« s¡ tautologiami (a) p → (q → p),

(b) (p ∧ q) ∨ (q → p),

(c) ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)), (d) (¬q → ¬p) → (p → q).

Zadanie 3. Zdeniuj alternatyw¦, implikacj¦, równowa»no±¢, alternatyw¦ wykluczaj¡c¡ tylko za pomoc¡ koniunkcji i negacji.

(Mo»na udowodni¢, »e ka»d¡ funkcj¦ algebry logiki, czyli dowoln¡ funkcj¦ f : {0, 1}×{0, 1}×. . .×{0, 1} → {0, 1}

mo»na przedstawi¢ u»ywaj¡c jedynie koniunkcji i negacji. )

Zadanie 4. Napisz zdanie zªo»one, które jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy (a) dokªadnie jedno ze zda« p, q, r jest prawdziwe;

(b) dokªadnie dwa ze zda« p, q, r s¡ prawdziwe.

Zadanie 5. O liczbach a, b, c, d, e wiadomo, »e (a) (e > a) → ((e > b) ∨ (e < c)), (b) (e ¬ b) → (e < d),

(c) ((e < d) ∧ (e > a)) → (e ­ c), (d) ((e < d) ∧ (e ¬ b)) → (e > a).

Która z liczb jest wi¦ksza: e czy b?

Reguªy wnioskowania. Dowody formalne. Dla danych dwóch zda« zªo»onych P, Q mówimy, »e zdanie P implikuje Q, je±li P → Q jest tautologi¡. Ogólniej, mówimy, »e z zaªo»e« H1, H₂, . . . , H_n wynika teza T , co odnotowujemy pisz¡c H1, . . . , H_n =⇒ T, je±li (H1∧ H2∧ . . . ∧ Hn) → T jest tautologi¡. Najwa»niejsz¡ reguª¡

wnioskowania jest reguªa odrywania: p, p → q =⇒ q.

Zdania P, Q nazywamy logicznie równowa»nymi (oznaczenie P ⇐⇒ Q), je±li P ↔ Q jest tautologi¡.

Reguªy wnioskowania

R1: p, p → q =⇒ q reguªa odrywania

R2: p =⇒ (p ∨ q) reguªa wprowadzania alternatywy R3: (p ∧ q) =⇒ p reguªa opuszczania alternatywy R4: (p → 0) =⇒ ¬p

R5: p → q, ¬q =⇒ ¬p R6: p ∨ q, ¬p =⇒ q

R7: p → q, q → r =⇒ p → r przechodnio±¢ implikacji Zdania logicznie równowa»ne E1: ¬p ∨ q ⇐⇒ (p → q),

E2: p → (q → r) ⇐⇒ ((p ∧ q) → r), E3: ¬¬p ⇐⇒ p

Zadanie 6. Uzasadnij poni»sze kroki dowodu twierdzenia: ze zda« p → (q → r), p ∨ ¬s i q wynika zdanie s → r.

(a) s → p, (b) s → (q → r),

(c) (s ∧ q) → r, (d) q → (s → (q ∧ s)),

(e) s → (s ∧ q), (f) s → r.

Zadanie 7. Przeprowadzi¢ dowód niewprost twierdzenia: {p → (q ∧ r), r → s, ¬(q ∧ s)} =⇒ ¬p.

Zadanie 8. Przeprowadzi¢ dowód twierdzenia: {(s ∨ g) → p, p → n} =⇒ (¬n → ¬g).

Zadanie 9. Podaj dowód twierdzenia lub poka», »e jest ono faªszywe:

(a) Je±li (q ∧ r) → p i q → ¬r, to p.

(b) Je±li q ∨ ¬r i ¬(r → q) → ¬p, to p.

(c) Je±li p → (q ∨ r), q → s i r → ¬p, to p → s.

Zadanie 10. Podaj dowód twierdze«:

(a) Z a → p i a ∧ ¬b wynika p ∧ ¬b.

(b) Z h ∧ ¬r i (h ∧ n) → r wynika ¬n.

2