cos(x)x 0 12) limx

Przyk ladowe pytania testowe na egzamin Obliczy´c granice lub stwierdzi´c, ˙ze nie istnieja_,

1) limn→+∞ 2ⁿ

n² +∞

2) limn→+∞ πⁿ

4ⁿn⁴ 0

3) limn→+∞(1 + _n¹)²ⁿ⁺¹ e²

4) lim_n→+∞ (1 + _n¹)ⁿ−Pn k=0

1 k!

0

5) lim_n→+∞ⁿ√

n 1

6) limx→1x⁴−1

x−1 4

7) lim_x→+∞ ^x_x−1⁴⁻¹ +∞

8) limx→−∞ e^x−1

x 0

9) lim_x→0^ln(1+x)_x 1

10) lim_x→0^sin(x)_x 1

11) lim_x→+∞ ^cos(x)_x 0

12) limx→−∞ cos(x)

x 0

13) limx→01−cos(x)

x² 1/2

14) limx→0arctg(x)

x 1

15) limx→02^x−1

x ln 2

16) limx→0

cos(^π₄+x)−cos(^π₄) x

−√ 2 2

17) Niech f (x) = x(cos(¹_x) + 1) dla x 6= 0. Okre´sli´c warto´s´c funkcji w zerze (je´sli sie_, da)

tak, aby f by la cia_,g la. 0

Obliczy´c pochodne 18) _ln(x)

sin(x)

0

1

x sin(x)− ln(x) cos(x) sin(x)²

19) (arctg(e^x))⁰ _1+e^ex2x

20) Poda´c supremum i infimum funkcji x²− 2x + 7 na przedziale [0, 2]. sup=7, inf=6 21) Poda´c supremum i infimum funkcji x³− 3x + 13 na przedziale [0, 2]. sup=15, inf=11 22) Wiemy, ˙ze pochodna funkcji r´o˙zniczkowalnej zeruje sie_, tylko w punktach 1 i 4. W ilu punktach funkcja mo˙ze sie_, zerowa´c? w co najwy˙zej 3 punktach 23) Wiemy, ˙ze funkcja r´o˙zniczkowalna zeruje sie_, tylko w punktach 1 i 4. W ilu punktach pochodna funkcji mo˙ze sie_, zerowa´c? w conajmniej jednym punkcie

1

24) Wiemy, ˙ze funkcja jest wypuk la. W ilu punktach funkcja mo˙ze sie_, zerowa´c? w 0, 1, 2 punktach lub niesko´nczenie wielu

25) Wiemy, ˙ze funkcja r´o˙zniczkowalna jest wypuk la. W ilu punktach pochodna funkcja mo˙ze sie_, zerowa´c? w ˙zadnym, w jednym punkcie lub niesko´nczenie wielu 26) Wielomian trzeciego stopnia ma lokalne minimum r´owne 2 i lokalne maksimum r´owne

4 (w pewnych punktach). Ile ma pierwiastk´ow? jeden

27) Wielomian trzeciego stopnia W (x) ma lokalne minimum r´owne 1 w punkcie x = 3 i lokalne maksimum r´owne 2 w punkcie x = 5. Znale´z´c lim_x→+∞W (x). −∞

28) Dany jest wielomian czwartego stopnia postaci x⁴ + ax³ + cx + d. Wiemy, ˙ze ma w pewnym punkcie lokalne maksimum r´owne −5. Ile mo˙ze mie´c pierwiastk´ow? ma dok ladnie dwa

29) Dana jest funkcja f : R → R, taka, ˙ze lim_x→+∞f⁰(x) = c > 0. Obliczy´c

limx→+∞f (x). +∞

30) Dana jest funkcja f : R → R, taka, ˙ze limx→+∞f⁰(x) = 0. Czy musi istnie´c i jakie warto´sci mo˙ze przyjmowa´c lim_x→+∞f (x). mo˙ze przyjmowa´c dowolna_, warto´s´c lub nie istnie´c

Wypisa´c 4 pierwsze wyrazy rozwinie_,cia Taylora funkcji w 0

31) f (x) = (x + 1)¹⁰ 1 + 10x + 45x²+ 120x³

32) f (x) = sin(3x) 0 + 3x + 0 − ⁹₂x³

33) f (x) = ln(1 + x²) 0 + 0 + x²+ 0

34) f (x) = arctg(x) 0 + x + 0 − ¹₃x³

35) Dana jest funkcja f : R² → R. Wiadomo, ˙ze limx→0f (x, 0) = limy→0f (0, y) = f (0, 0).

Czy wynika z tego, ˙ze f jest cia_,g la w (0, 0)? Nie

36) Dana jest funkcja f : R² → R. Wiadomo, ˙ze f jest cia_,g la w (0, 0) oraz f (0, 0) = 13.

Znale´z´c lim_t→0f (t², t³). 13

37) Dana jest funkcja f : R² → R. Wiadomo, ˙ze ^∂f_∂x(5, 4) = 7 i ^∂f_∂y(5, 4) = 1 oraz,

˙ze pochodne cza_,stkowe sa_, cia_,g le dla k(x, y)k < 6. Czy znamy pochodna_, kierunkowa_, w

kierunku wektora (1, 1)? Nie

38) Dana funkcja f : R² → R, kt´ora jest r´o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie. Wiadomo, ˙ze

∂f

∂x(7, 1) = 3 i ^∂f_∂y(7, 1) = 2. Czy znamy pochodna_, kierunkowa_, w kierunku wektora (4, 5)?

tak, =22

39) Dana jest funkcja f : R² → R. W pewnym punkcie grad f = 0 oraz D²f = 2 1 1 3

 .

Czy w tym punkcie jest lokalne ekstremum? Tak, minimum

40) Dana jest funkcja f : R³ → R. W pewnym punkcie grad f = 0 oraz D²f = 2





2 3 1

3 3 1

1 1 −1



. Czy w tym punkcie jest lokalne ekstremum? Nie

Zbi´or A w przestrzeni R³ opisany jest jednym r´ownaniem g(x) = 0. Punkt p nale˙zy do A. Szukamy ekstremum funkcji f : R³ → R na zbiorze A. Czy w p mo˙ze by´c ekstremum je´sli:

41) grad f (p) = (2, 1, −1), grad g(p) = (−4, −2, 2), Tak

42) grad f (p) = (0, 0, 0), grad g(p) = (1, 3, 2), Tak

43) grad f (p) = (1, 3, 2), grad g(p) = (0, 0, 0), Tak

44) grad f (p) = (2, 1, −1), grad g(p) = (−4, 2, 2). Nie Zbior A w przestrzeni R⁴ opisany jest dwoma r´ownaniami g(x) = 0 i h(x) = 0. Punkt p nale˙zy A. Szukamy ekstremum funkcji f : R⁴ → R na zbiorze A. Czy w p mo˙ze by´c ekstremum je´sli:

45) grad f (p) = (2, 1, 2, 1), grad g(p) = (4, 2, 2, 0), grad h(p) = (0, 0, 1, 1). Tak 46) grad f (p) = (0, 0, 0, 0), grad g(p) = (1, 3, 2, 5), grad h(p) = (1, 0, 2, 4). Tak 47) grad f (p) = (1, 3, 2, 3), grad g(p) = (1, 2, 0, 1), grad h(p) = (2, 4, 0, 2). Tak 48) grad f (p) = (7, 2, 1, 1), grad g(p) = (4, 2, 2, 1), grad h(p) = (0, 0, 0, 1). Nie 49) Cia_,g la funkcja y(x) spe lnia r´ownania e^x−y(x)+ (x + y(x))² = 5 oraz y(1) = 1. Obliczy´c

y⁰(1). -3/5

50) Dana jest funkcja f = f (s, t, u, v) : R⁴ → R. Obliczy´c pochodna_, cza_,stkowa_,

∂t

∂u(s0,u0,v0) funcji uwik lanej t(s, u, v) w punkcie (s0, t0, u0, v0) = (1, 4, 2, 3) wiedza_,c, ˙ze

∂f

∂s(s0, t0, u0, v0) = 5 ^∂f_∂t(s0, t0, u0, v0) = 7, ^∂f_∂u(s0, t0, u0, v0) = 12, ^∂f_∂v(s0, t0, u0, v0) = 0.

-12/7

51) Funkcja f = (f₁, f₂) : R² → R² jest r´o˙zniczkowalna. Wiemy, ˙ze: f (1, 2) = (3, 5) oraz

∂f1

∂x(1, 2) = 1, ^∂f_∂y²(1, 2) = 5, ^∂f_∂x¹(1, 2) = 0, ^∂f_∂y²(1, 2) = 1. Czy w otoczeniu punktu (1, 2) funkcja jest odwracalna? Je´sli tak, to obliczy´c D(f⁻¹)(3, 5). Tak,  1 −5

0 1

 . 52) Funkcja f = (f₁, f₂) : R² → R² jest r´o˙zniczkowalna. Wiemy, ˙ze: f (1, 2) = (3, 5) oraz

∂f₁

∂x(1, 2) = 1, ^∂f_∂y²(1, 2) = 5, ^∂f_∂x¹(1, 2) = 2, ^∂f_∂y²(1, 2) = 10. Czy w otoczeniu punktu (1, 2) funkcja jest odwracalna? Je´sli tak, to obliczy´c D(f⁻¹)(3, 5). Nie Obliczy´c ca lki nieoznaczone

53) R x sin(2x)dx (sin(2x) - x cos(2x))/2

54) R x e^x2dx ^ex2₂

55) Obliczy´c pole powierzhni figury w R² opisanej nier´owno´sciami: 3x+y+2 ≤ 0, y ≥ x². 1/6

3

56) Obliczy´c obje_,to´s´c byry ly w R³ opisanej nier´owno´sciami: z ≤ 1, z ≥ x²+ y². ^π₂ Sformu lowa´c Twierdzenia:

57) Weierstrassa o przyjmowaniu kres´ow.

58) Rolla

59) Lagrange’a (o warto´sci ´sredniej) 60) Schwarza o pochodnych mieszanych

61) Poda´c definicje_, r´o˙zniczkowalno´sci dla funkcji R^k→ R^l

25 stycze´n 2010

4