Optymalizacja przewozów produktów szybko tracących wartość - modele i algorytmy - Marcin Anholcer - pdf, ebook – Ibuk.pl

(1)

Wst˛ep

Specyfika przewozu i przechowywania produktów szybko trac ˛ acych warto´sć (w tym łatwo psuj ˛ acych si˛e) polega na tym, ˙ze ich ilo´sć lub warto´sć zmienia si˛e w trakcie transportu. Wyst˛epuj ˛ a ró˙zne przyczyny takiego stanu rzeczy, które mo˙zna podzielić na dwie podstawowe grupy. Do pierwszej z nich nale˙z ˛ a te, które wyst˛epuj ˛ a w sposób ci ˛ agły i zale˙z ˛ a głównie od cech transportowanych dóbr. Najwa˙zniejszymi s ˛ a wła´sciwo´sci fizyczne i chemiczne, zmiana warto´sci spowodowana upływem czasu oraz niezauwa˙zone wcze´sniej braki, które ujawniaj ˛ a si˛e dopiero w momencie sprzeda˙zy u˙zytkownikowi końcowemu. Drug ˛ a grup˛e stanowi ˛ a przyczyny wyst˛epuj ˛ ace w sposób mniej regularny (choć ich regularno´sć wzrasta wraz ze zwi˛ekszeniem rozmiaru działalno´sci), spowodowane głównie działalno´sci ˛ a człowieka. Do najwa˙zniejszych nale˙z ˛ a niewła´sciwe warunki transportowania lub magazynowania oraz ró˙znego rodzaju wypadki i przest˛epstwa (np. kradzie˙ze lub uszkodzenia powstałe w wyniku czynów zabronionych). Warto zwrócić uwag˛e, ˙ze choć podział na dwie grupy jest istotny z punktu widzenia przeciwdziałania wyst˛epowaniu ró˙znych przyczyn, to nie ma wpływu na sposób modelowania matematycznego tego typu sytuacji. W dalszej cz˛e´sci pracy wszystkie mo˙zliwe przyczyny b˛edziemy wi˛ec traktować jednakowo.

Do dóbr szybko trac ˛ acych warto´sć, omówionych w tej ksi ˛ a˙zce, nale˙z ˛ a: ˙zyw- no´sć (zwłaszcza ´swie˙ze warzywa i owoce, produkty mleczne), produkty firm far- maceutycznych (zwłaszcza leki), substancje radioaktywne wykorzystywane w dia- gnostyce obrazowej, krew i produkty krwiopochodne, ale te˙z odzie˙z i inne towary, których warto´sć spada ze wzgl˛edu na przemijaj ˛ ac ˛ a mod˛e.

W modelach matematycznych ten spadek warto´sci odzwierciedlany jest po-

przez mno˙zniki wprowadzone do warunków ograniczaj ˛ acych opisuj ˛ acych przepły-

wy (w ten sposób ró˙zne typowe zadania przepływów w sieciach staj ˛ a si˛e uogól-

(2)

nionymi zadaniami przepływów). Choć zmiana ta wpływa w niewielki sposób na postać samych modeli, to jest bardzo znacz ˛ aca dla struktury rozwi ˛ azań odpowied- nich zadań optymalizacyjnych. W miejscu lasów rozpinaj ˛ acych pojawiaj ˛ a si˛e bar- dziej skomplikowane struktury kombinatoryczne, co znacznie zwi˛eksza poziom trudno´sci zadań. Z tego wzgl˛edu istotne jest znalezienie efektywnych metod roz- wi ˛ azywania jak najszerszej klasy zadań uogólnionych przepływów. Ksi ˛ a˙zka ta wy- chodzi naprzeciw tej potrzebie, dostarczaj ˛ ac wielu algorytmów dla ró˙znego typu nieliniowych i stochastycznych wersji uogólnionego zadania przepływu o mini- malnym koszcie. Co istotne, w literaturze mo˙zna znale´zć niewiele prac po´swi˛eco- nych nieliniowym i stochastycznym wersjom omawianych zadań (w szczególno´sci metodom ich rozwi ˛ azywania).

Wobec powy˙zszego głównym celem autora było przedstawienie modeli i efek- tywnych algorytmów dla nieliniowych i stochastycznych problemów przewozu dóbr szybko trac ˛ acych warto´s´c. Ze wzgl˛edu na niewielk ˛ a liczb˛e prac na ten temat, osi ˛ agni˛ecie postawionego celu zapewnia nowatorski charakter niniejszego opraco- wania.

Maj ˛ ac na uwadze cel główny, mo˙zna wyodr˛ebni´c trzy cele szczegółowe roz- prawy: teoretyczny, empiryczny i aplikacyjny.

Celem teoretycznym był matematyczny opis problemu przewozów dóbr szyb- ko trac ˛ acych warto´s´c i prezentacja algorytmów ich rozwi ˛ azywania. Cel ten został osi ˛ agni˛ety za pomoc ˛ a prezentacji kilkunastu modeli matematycznych b˛ed ˛ acych sformalizowanym zapisem ró˙znych typów zada´n zwi ˛ azanych z przewozem takich dóbr. Zaprezentowano równie˙z liczne algorytmy rozwi ˛ azuj ˛ ace zadania o omawia- nej postaci. Osi ˛ agni˛eciu tego celu słu˙zyła równie˙z analiza zbie˙zno´sci przedstawia- nych metod.

Celem empirycznym rozprawy była analiza efektywno´sci przedstawionych al- gorytmów. Cel ten osi ˛ agni˛eto za pomoc ˛ a licznych eksperymentów obliczenio- wych, polegaj ˛ acych na rozwi ˛ azaniu pewnej liczby losowo wygenerowanych zada´n testowych. W eksperymentach wykorzystane zostały autorskie programy kompu- terowe napisane samodzielnie przez autora.

Celem aplikacyjnym było modelowanie konkretnych sytuacji decyzyjnych zwi ˛ azanych z przewozami. Jego osi ˛ agni˛eciu posłu˙zyło przedstawienie pewnej liczby rzeczywistych przykładów zaczerpni˛etych z literatury oraz zaprezento- wanie przykładów obliczeniowych.

Celom podporz ˛ adkowana została struktura rozprawy. W rozdziale 1 omówiono

pokrótce mo˙zliwe przyczyny utraty warto´sci przez transportowane dobra, a tak˙ze

miejsce systemów wspomagania decyzji w systemach informacyjnych przedsi˛e-

biorstw oraz umiejscowienie algorytmów w tych˙ze systemach. Dalsza cz˛e´s´c roz-

działu została po´swi˛econa towarom szybko trac ˛ acym warto´s´c, trudno´sciom wi ˛ a˙z ˛ a-

(3)

cym si˛e z optymalizacj ˛ a ich przewozów i sposobom ich modelowania z u˙zyciem uogólnionych przepływów. Przedstawiono te˙z bardziej szczegółowo (w podroz- dziale 1.5) zakres tematyczny ksi ˛ a˙zki. Cały rozdział 1 został oparty w wi˛ekszo´sci na badaniach literaturowych przedmiotu.

Od tego miejsca wi˛ekszo´s´c tre´sci ksi ˛ a˙zki stanowi ju˙z własny dorobek auto- ra (poza oczywistymi, koniecznymi odwołaniami do literatury). W rozdziałach 2 i 3 omówiono modele oparte na sieciach jednowarstwowych i przedstawiono al- gorytmy rozwi ˛ azywania odpowiednich zada´n optymalizacyjnych. W szczególno-

´sci, w rozdziale 2 omówiono problemy z nieliniowymi (wypukłymi i niewypukły- mi) kosztami oraz algorytmy ich rozwi ˛ azywania. W rozdziale 3 zaprezentowano z kolei jednowarstwowe problemy stochastyczne i opracowane dla nich algoryt- my. W dalszej cz˛e´sci omówiono bardziej zaawansowane modele. W rozdziale 4 modele i algorytmy dla sieci jednowarstwowych zostały stopniowo uogólnione na sieci dwuwarstwowe, wielowarstwowe i topologicznie uporz ˛ adkowane sieci o do- wolnym kształcie. W rozdziale 5 omówiono modele i algorytmy dla problemów wieloasortymentowych zarówno jednowarstwowych, jak i bazuj ˛ acych na sieciach logistycznych o dowolnej strukturze. Rozdział 6 zawiera modele i algorytmy dla problemów, w których oprócz kryterium minimalizacji kosztu lub oczekiwanego kosztu wyst˛epuj ˛ a równie˙z dodatkowe kryteria – czasu albo ryzyka, mierzonego zmienno´sci ˛ a oczekiwanego kosztu. Równie˙z w tym rozdziale omówiono proble- my oparte zarówno na jednowarstwowych, jak i dowolnych sieciach logistycznych.

W poszczególnych rozdziałach przedstawiono równie˙z wyniki eksperymentów ob-

liczeniowych.

(4)

(5)

Rozdział 1

Problem badawczy

1.1. Wprowadzenie

Ilo´sć transportowanych towarów stale wzrasta. Oczywistymi powodami s ˛ a wzrost produkcji i konsumpcji. Istnieje jednak równie˙z inna przyczyna. Je´sli we´zmie- my pod uwag˛e wielko´sć transportu w pewnym zakładanym okresie, ilo´sć towarów zwi˛eksza si˛e tak˙ze dlatego, ˙ze czas dostawy jest ´srednio coraz dłu˙zszy. Jest to spo- wodowane przede wszystkim przez globalizacj˛e. Cz˛e´sć firm lokalizuje swoj ˛ a pro- dukcj˛e z dala od rynków zbytu, poniewa˙z pozwala to na optymalizacj˛e jej kosztów (dobrym przykładem s ˛ a tu producenci elektroniki i ubrań, umieszczaj ˛ acy swoje fabryki w Azji Południowo-Wschodniej, podczas gdy najwi˛ekszymi rynkami zby- tu s ˛ a Ameryka Północna i Europa Zachodnia). Niektóre towary nie s ˛ a dost˛epne w pewnych regionach (na przykład w˛egiel, gaz, ropa naftowa, metale i wiele ro- dzajów ro´slin). To sprawia, ˙ze łańcuchy logistyczne wydłu˙zaj ˛ a si˛e, bez wzgl˛edu na to, czy we´zmiemy pod uwag˛e odległo´sć geograficzn ˛ a, czy czas dostawy.

Im dłu˙zsze s ˛ a łańcuchy logistyczne, tym wi˛eksze jest ryzyko, ˙ze niektóre pro- dukty utrac ˛ a cz˛e´sć lub cało´sć swej warto´sci (na przykład na skutek uszkodzenia albo zmiany wła´sciwo´sci spowodowanej upływem czasu). Jest rzecz ˛ a wa˙zn ˛ a, aby przewidzieć takie sytuacje i uwzgl˛ednić je w planowaniu dystrybucji towarów. Na- turalnym sposobem modelowania takich problemów jest u˙zycie tzw. uogólnionych sieci (poj˛ecie to zostało szerzej wyja´snione w podrozdziale 1.4).

W kolejnym podrozdziale omówiono bardziej szczegółowo tego typu straty

wyst˛epuj ˛ ace w ła´ncuchach logistycznych, a w ostatnim podrozdziale przedstawio-

no uogólnione przepływy, wraz z ich zastosowaniami, w szczególno´sci w modelo-

waniu strat wyst˛epuj ˛ acych podczas transportu.

(6)

1.2. Przyczyny utraty warto´sci przez transportowane dobra

Podczas planowania dostaw bardzo u˙zytecznym zało˙zeniem jest to, ˙ze ilo´sci to- warów wysyłanych z punktów zaopatrzenia s ˛ a takie same jak te dostarczane do punktów docelowych. Zało˙zenie to upraszcza zarówno modele, jak i algorytmy i było powszechnie stosowane przez badaczy. Jednak nie zawsze jest ono realne – istnieje wiele powodów tego, ˙ze ilo´sci towaru zmieniaj ˛ a si˛e podczas przepływu przez ła´ncuch logistyczny.

Mi˛edzy innymi wyró˙zni´c mo˙zna nast˛epuj ˛ ace przyczyny:

– przyczyny wyst˛epuj ˛ ace w sposób ci ˛ agły i zale˙z ˛ ace głównie od cech trans- portowanych towarów:

• fizyczne i chemiczne wła´sciwo´sci transportowanych dóbr,

• zmiana warto´sci transportowanych dóbr spowodowana upływem czasu,

• niezarejestrowane wcze´sniej braki,

– przyczyny wyst˛epuj ˛ ace w sposób mniej regularny i wynikaj ˛ ace z działalno-

´sci człowieka:

• niewła´sciwe warunki transportowania lub magazynowania,

• wypadki,

• przest˛epstwa.

Wła´sciwo´sci fizyczne i chemiczne transportowanych towarów mog ˛ a powodo- wać zmiany w ich ilo´sci. W tym kontek´scie warto wymienić ˙zywno´sć, w szcze- gólno´sci produkty rolne, na przykład owoce i warzywa. Jest to raczej oczywiste,

˙ze ich jako´sć zmniejsza si˛e w czasie. Nie jest mo˙zliwe, aby utrzymać je w dobrym stanie przez dłu˙zszy czas, tak wi˛ec straty s ˛ a nieuniknione. Niektóre przykłady ła- two psuj ˛ acych si˛e produktów rolnych, które były analizowane przez naukowców, mo˙zna znale´zć w artykule przegl ˛ adowym Ahumady i Villalobosa [2009] (Czytel- ników zainteresowanych bardziej szczegółowymi informacjami odsyłamy do prac cytowanych w tym artykule). Rong, Akkerman i Grunow [2011] rozwin˛eli model opisuj ˛ acy zmiany w jako´sci ´swie˙zej ˙zywno´sci. Zaprezentowali nast˛epuj ˛ ace równa- nie ró˙zniczkowe przedstawiaj ˛ ace zale˙zno´sć poziomu jako´sci od upływu czasu:

dq

dt = kq

^ω

. (1.1)

W powy˙zszym wzorze q oznacza poziom jako´sci, t czas, a k współczynnik de- gradacji, zale˙zny od warunków transportu i przechowywania. Autorzy zauwa˙zyli,

˙ze przewa˙znie ω ∈ {0,1}, wi˛ec jako´s´c jest liniow ˛a albo wykładnicz ˛a funkcj ˛a cza- su t. Yu i Nagurney [2013] przyj˛eli, ˙ze relacja jest wykładnicza (podobne zało˙zenie przyj˛ete zostało w niedawno wydanej ksi ˛ a˙zce Nagurney i współautorów [2013]).

Zanoni i Zavanella [2012] analizowali strategie decyzyjne dla zrównowa˙zonych

(7)

łańcuchów dostaw ˙zywno´sci. W szczególno´sci zadali pytanie, czy lepiej jest mro- zić produkty spo˙zywcze, czy przewozić ´swie˙ze. Zastosowali podan ˛ a wy˙zej relacj˛e mi˛edzy jako´sci ˛ a i czasem, ale równie˙z wzór na współczynnik degradacji k (któ- ry, ich zdaniem, nie musi być stały w czasie). Jednak bez wzgl˛edu na to, jaka jest forma funkcji q, je´sli kto´s zna czas dostawy (lub przynajmniej jego warto´sć oczeki- wan ˛ a), mo˙ze przewidzieć, jaka b˛edzie (oczekiwana) zmiana jako´sci (lub warto´sci) wybranego produktu po przesłaniu go przez dowoln ˛ a cz˛e´sć łańcucha dostaw.

Innym przykładem towarów nietrwałych s ˛ a preparaty promieniotwórcze sto- sowane w słu˙zbie zdrowia, niezb˛edne do obrazowania medycznego. Materiały ra- dioaktywne ulegaj ˛ a rozpadowi promieniotwórczemu, co powoduje zmiany w ich ilo´sci. Przykład takiego ła´ncucha dostaw mo˙zna znale´z´c w artykule Nagurney i Na- gurneya [2012] oraz w ksi ˛ a˙zce Nagurney i współautorów [2013] wspomnianej ju˙z powy˙zej. W obu pracach autorzy rozwa˙zaj ˛ a produkcj˛e i transport molibdenu-99 (

⁹⁹

Mo) i technetu-99m (

^99m

Tc).

Do nietrwałych produktów nale˙z ˛ a równie˙z krew i preparaty krwiopochodne.

Problem został niedawno opisany przez Nagurney i Masoumiego [2012], Nagur- ney, Masoumiego i Yu [2012] oraz Nagurney i współautorów [2013]. Autorzy przedstawili dwukryterialny model uwzgl˛edniaj ˛ acy koszt i ryzyko. Krew była ju˙z od dawna jednym z nietrwałych produktów najbardziej interesuj ˛ acych badaczy, jak stwierdził na przykład Nahmias [1982]. Prawd ˛ a jest, ˙ze z czysto fizycznego punktu widzenia ilo´sć krwi lub produktów krwiopochodnych nie zmienia si˛e z upływem czasu. Jednak te produkty maj ˛ a ´sci´sle okre´slon ˛ a dat˛e wa˙zno´sci. Niektóre z tych produktów, których termin przydatno´sci upłyn ˛ ał, musz ˛ a być uznane za niemo˙zli- we do wykorzystania, co mo˙ze być ostatecznie interpretowane jako zmniejszenie ich ilo´sci.

Jeszcze innym przykładem produktów, których ilo´sć zmienia si˛e ze wzgl˛edu na cechy fizyczne i chemiczne, s ˛ a farmaceutyki. Ten problem był badany na przy- kład przez Masoumiego, Yu i Nagurney [2012], a ostatnio tak˙ze przez Nagurney i współautorów [2013]. Autorzy opracowali uogólniony sieciowy model oligopolu w celu wykorzystania modelu Cournota dla bran˙zy producentów leków. Bardzo rzadko ilo´sć leku lub innego produktu farmaceutycznego mo˙ze rzeczywi´scie si˛e zmieniać, ale podobnie jak w przypadku produktów krwiopochodnych, przekro- czenie daty wa˙zno´sci przez pewn ˛ a cz˛e´sć produktów jest równoznaczne ze zmniej- szeniem ich całkowitej ilo´sci.

Rozwa˙zmy jeszcze jeden przykład. W tym wypadku jest jeszcze bardziej wi-

doczne, ˙ze ilo´s´c towaru si˛e nie zmienia, natomiast zmniejsza si˛e udział produktów,

które mog ˛ a by´c uwa˙zane za pełnowarto´sciowe. T˛e grup˛e produktów stanowi mod-

na odzie˙z, badana na przykład przez Nagurney i Yu [2011; 2012], jak równie˙z

przez Choi i Chiu [2012]. Dzi´s ła´ncuchy logistyczne, w szczególno´sci w przy-

(8)

padku firm mi˛edzynarodowych, s ˛ a znacznie wydłu˙zone. Przemysł tekstylny jest dobrym przykładem – w wi˛ekszo´sci ubrania s ˛ a produkowane w Azji Południowo- -Wschodniej, a najwi˛eksze rynki znajduj ˛ a si˛e w Europie Zachodniej i Ameryce Północnej. To sprawia, ˙ze czas przepływu przez łańcuch logistyczny od produ- centa do klienta nale˙zy liczyć w miesi ˛ acach, a czasem cały proces od pozyskania surowca do zakupu gotowego produktu zajmuje nawet wi˛ecej ni˙z rok. W przy- padku modnych strojów oznacza to w szczególno´sci, ˙ze nawet je´sli producent jest w stanie przewidzieć, jakiego rodzaju produkt b˛edzie modny w kolejnym sezonie, to gdy sezon si˛e skończy, produkt b˛edzie musiał być sprzedany poni˙zej normalnej ceny (na wyprzeda˙zy). Jest to konieczne, poniewa˙z najprawdopodobniej nie b˛edzie mo˙zna sprzedać tego samego produktu w kolejnym sezonie (istotn ˛ a rol˛e odgrywa tu równie˙z ogólna tendencja do redukcji kosztów magazynowania). Po raz kolejny zauwa˙zamy – ilo´sć dobra si˛e w tym wypadku nie zmienia, ale jego warto´sć spada, dzi˛eki czemu sytuacja mo˙ze być traktowana jako równowa˙zna.

Inn ˛ a przyczyn ˛ a strat s ˛ a niewła´sciwe warunki transportu i przechowywania. Ta- ki problem mo˙ze dotyczyć produktu ka˙zdego rodzaju. ˙ Zywno´sć i farmaceutyki musz ˛ a być transportowane w okre´slonej temperaturze i wilgotno´sci. Te warunki s ˛ a cz˛esto niespełnione ze wzgl˛edu na tendencj˛e do redukcji kosztów. Równie˙z trans- port delikatnych produktów, takich jak elektronika czy szkło, wymaga specjalnych warunków i ostro˙znego obchodzenia si˛e z nimi. Cz˛esto warunki te nie s ˛ a spełnio- ne – redukcja kosztów powoduje nacisk na skrócenie czasu dostawy, czego jednym z efektów s ˛ a uszkodzenia i straty podczas transportu.

Niekiedy do sprzedawców detalicznych s ˛ a dostarczane produkty z wadami, które nie zostały wykryte wcze´sniej. Cz˛esto takie produkty trafiaj ˛ a potem do klien- tów. Te uszkodzone produkty wracaj ˛ a do producentów w postaci zwrotów, które mog ˛ a być traktowane jako straty – w tym wypadku ilo´sć transportowanych dóbr si˛e nie zmienia, ale ilo´sć produktów pełnowarto´sciowych nie jest taka sama, jak zakładano przed rozpocz˛eciem transportu. Firmy staraj ˛ a si˛e zmniejszyć liczb˛e od- rzutów poprzez wprowadzenie procedur zarz ˛ adzania jako´sci ˛ a, ale niemo˙zliwe jest unikni˛ecie wszystkich problemów w tej dziedzinie.

Wszystkie wymienione rodzaje mo˙zliwych strat s ˛ a do´s´c łatwe do przewidze-

nia, a ich rozkład jest zwykle w przybli˙zeniu jednostajny, co oznacza, ˙ze łatwo jest

przewidzie´c odsetek braków, nawet w krótkim okresie, w przypadku stosunkowo

niewielkich dostaw. Ponadto odsetek braków jest zazwyczaj stosunkowo niewielki

(do kilku procent), je˙zeli czas dostawy nie przekracza standardowego. Dwie przy-

czyny strat omówione poni˙zej s ˛ a jednak znacz ˛ aco inne – nie s ˛ a tak cz˛este i ich

rozkład w czasie jest zwykle niemo˙zliwy do przewidzenia, ale je˙zeli wyst ˛ api ˛ a, to

zazwyczaj strata wynosi 100% – cał ˛ a dostaw˛e nale˙zy wymieni´c lub ponowi´c. Te

dwie przyczyny to wypadki i przest˛epstwa.

(9)

Ła´ncuchy logistyczne staj ˛ a si˛e coraz dłu˙zsze, w szczególno´sci ze wzgl˛edu na internacjonalizacj˛e i globalizacj˛e handlu. Istnieje kilka rodzajów wypadków lub przest˛epstw, które mog ˛ a wyst ˛ api´c. W dalszej cz˛e´sci pominiemy takie losowe zda- rzenia wyst˛epuj ˛ ace w zakładach produkcyjnych, gdy˙z jeste´smy głównie zaintere- sowani zmianami ilo´sci towarów w czasie transportu.

Na pocz ˛ atku i na samym końcu łańcucha logistycznego towary s ˛ a zwykle transportowane samochodami. Dziesi ˛ atki wypadków samochodowych wyst˛epuj ˛ a niemal codziennie w prawie wszystkich krajach ´swiata. Po wielu z nich cała dosta- wa jest tracona i musi być zast ˛ apiona now ˛ a. Ponadto przyczyn ˛ a strat na tym etapie mo˙ze być przest˛epstwo. Najbardziej oczywista jest kradzie˙z – cz˛e´sć dostawy mo˙ze być skradziona na przykład z parkingu, ale cz˛esto zdarza si˛e te˙z, ˙ze cały samochód zostaje skradziony (lub nawet porwany razem z kierowc ˛ a).

Wypadki kolejowe s ˛ a tak rzadkie, ˙ze mog ˛ a być ignorowane. Istniej ˛ a jednak przest˛epstwa, które mog ˛ a zostać popełnione podczas transportu kolejowego, w szczególno´sci w przypadku przewozu towarów luzem – na przykład w mediach s ˛ a niekiedy podawane informacje, ˙ze pewna ilo´sć w˛egla została skradziona z poci ˛ agu towarowego albo ˙ze protestuj ˛ acy rolnicy wysypali produkty rolne z wagonów.

W globalnych łańcuchach logistycznych istnieje równie˙z inna cz˛e´sć podró˙zy niebezpieczna dla ładunku – transport morski. Produkty s ˛ a transportowane mi˛edzy kontynentami w kontenerach. Mo˙ze si˛e zdarzyć, ˙ze pojemnik spada ze statku – niektóre szacunki mówi ˛ a o nawet 10 000 pojemników, które wypadły za burt˛e kontenerowców, w wyniku wysokich fal, nieprawidłowego rozmieszczenia, wy- padków po˙zarowych i działań piratów [Waters 2007, s. 70]. Piraci porywaj ˛ a nawet całe statki (szczególnie zł ˛ a sław ˛ a ciesz ˛ a si˛e piraci somalijscy, operuj ˛ acy na Oce- anie Indyjskim). Zazwyczaj zostaj ˛ a one wykupione, ale zwykle zajmuje to du˙zo czasu i w tym czasie co najmniej cz˛e´sć transportowanych produktów traci swoj ˛ a warto´sć.

Jak wspomniano wcze´sniej – w ostatnich omówionych przypadkach trudne (lub niemo˙zliwe) jest przewidzenie zdarzeń, a nawet ich rozkładu. Jednak˙ze w naj- wi˛ekszych firmach te szacunki si˛e łatwiejsze, poniewa˙z wypadki i przest˛epstwa wyst˛epuj ˛ a tam cz˛e´sciej. Oznacza to, ˙ze niekiedy mo˙zna, w pewnym przybli˙zeniu, przewidzieć skal˛e strat i uwzgl˛ednić t˛e wiedz˛e w procesie decyzyjnym.

Podsumujmy ten podrozdział krótkim opisem wyników bada´n jako´sciowych

dotycz ˛ acych produktów szybko trac ˛ acych warto´s´c, przeprowadzonych niedawno

w Polsce. Pełne wyniki mo˙zna znale´z´c w pracy Anholcera i Kawy [2017]. Prawie

wszyscy uczestnicy badania przyznali, ˙ze ich firmy zostały dotkni˛ete problemem

produktów szybko trac ˛ acych warto´s´c. Lista przyczyn była w ka˙zdym przypadku

do´s´c podobna. Jednym z wa˙zniejszych problemów (cho´c niezbyt cz˛esto wyst˛epu-

(10)

j ˛ acym) s ˛ a kradzie˙ze. Czasami nie tylko produkty, ale nawet całe ci˛e˙zarówki zostały skradzione. Wła´sciciele firm transportowych zazwyczaj wykupuj ˛ a ubezpieczenie, ale obejmuje ono w takim przypadku przewa˙znie tylko warto´s´c produktów i ´srod- ków transportu. Utrata klienta z powodu opó´znienia w dostawie nie jest brana pod uwag˛e, podobnie jak straty w wizerunku firmy. Równie wa˙zn ˛ a, by´c mo˙ze najcz˛est- sz ˛ a, przyczyn ˛ a strat jest niewła´sciwe traktowanie produktów podczas transportu.

Polscy przewo´znicy maj ˛ a tu do czynienia głównie z dwoma rodzajami sytuacji.

Produkt mo˙ze zosta´c uszkodzony, je´sli nie jest odpowiednio traktowany w czasie transportu (polega to na przykład na nieostro˙znym obchodzeniu si˛e z paczkami zawieraj ˛ acymi produkty wra˙zliwe na uszkodzenia), ale równie˙z w wyniku niewła-

´sciwego zabezpieczenia (na przykład, je´sli ładunek nie jest dobrze umocowany, mo˙ze wypa´s´c ze statku lub ci˛e˙zarówki).

Innym powodem s ˛ a wypadki drogowe. To równie˙z obejmuje odpowiednie ubezpieczenie, ale nie pokrywa ono wszystkich rodzajów strat b˛ed ˛ acych kon- sekwencj ˛ a wypadku.

Straty wynikaj ˛ ace z opó´znień (np. straty w ´swie˙zej ˙zywno´sci lub materia- łach medycznych) wyst˛epuj ˛ a rzadko, poniewa˙z przedsi˛ebiorstwa transportowe ma- j ˛ a ´swiadomo´sć, ˙ze w takim wypadku bardzo cz˛esto cała dostawa nie nadaje si˛e do u˙zytku. Co ciekawe, takie sytuacje wydaj ˛ a si˛e bardziej znacz ˛ acym problemem dla małych przedsi˛ebiorstw, ze wzgl˛edu na ich mniejsz ˛ a elastyczno´sć oraz brak mo˙zli- wo´sci zrekompensowania strat. Jest to równie˙z du˙zy problem dla przedsi˛ebiorstw przewo˙z ˛ acych towary poza terytorium Unii Europejskiej, w szczególno´sci w kra- jach Europy Wschodniej, gdy˙z istotna cz˛e´sć opó´znień wynika z przedłu˙zaj ˛ acych si˛e postojów na granicach (niekiedy dochodz ˛ acych do 2–3 dób).

Istniej ˛ a równie˙z pewne bardzo rzadkie sytuacje, gdy dwa produkty, które nie powinny być przewo˙zone razem, z jakiego´s powodu s ˛ a. Jednym z przykładów po- danych przez uczestników badania był transport oleju posiadaj ˛ acego specyficz- ny zapach wraz z m ˛ ak ˛ a. W takim przypadku m ˛ aka mo˙ze być czasami niezdatna do u˙zytku. Respondenci wymienili równie˙z zbyt wysokie temperatury przewozu i nieu˙zywanie chłodni. Utrata cz˛e´sci ładunku zdarza si˛e zwłaszcza w okresie zimo- wym, kiedy ze wzgl˛edu na niskie temperatury panuj ˛ ace na zewn ˛ atrz przewo´znik decyduje si˛e wykorzystać tańszy, zwykły pojazd, zamiast chłodni. Niestety, cza- sem zdarza si˛e nagła zmiana pogody (szczególnie wówczas, gdy ładunek trans- portowany jest na południe Europy) i przewo˙zona ˙zywno´sć ulega zniszczeniu. Jak widać, przyczyny podawane przez uczestników badania s ˛ a bardzo zbli˙zone do tych wymienionych wcze´sniej, przytaczanych w literaturze.

Do dóbr szybko trac ˛ acych warto´s´c nale˙z ˛ a w szczególno´sci:

– ˙zywno´s´c, w szczególno´sci ´swie˙ze mi˛eso, warzywa i owoce, produkty mle-

czarskie,

(11)

– promieniotwórcze materiały medyczne, – krew i produkty krwiopochodne, – farmaceutyki,

– modna odzie˙z.

Modelowanie i optymalizacja ła´ncuchów dostaw powy˙zszych (i innych) dóbr tra- c ˛ acych warto´s´c wymaga wykorzystania odpowiedniej wiedzy eksperckiej oraz za- stosowania wła´sciwych narz˛edzi informatycznych i matematycznych. Zostały one omówione w kolejnych dwóch podrozdziałach.

1.3. Systemy informacyjne

Według Laudonów [Laudon i Laudon 2006] system informacyjny mo˙ze by´c, tech- nicznie rzecz ujmuj ˛ ac, zdefiniowany jako zbiór współzale˙znych składowych, któ- re zbieraj ˛ a (lub odtwarzaj ˛ a), przetwarzaj ˛ a, przechowuj ˛ a i udost˛epniaj ˛ a informacje w celu wspierania podejmowania decyzji i wspomagania kontroli w organizacji.

W rzeczywisto´sci mo˙ze być wykorzystywany nie tylko do wspierania procesu de- cyzyjnego i koordynowania kontroli działalno´sci organizacji, ale tak˙ze do analizy problemów, pozwalaj ˛ acej zrozumieć zło˙zone sytuacje i tworzyć nowe produkty i usługi.

Systemy informacyjne s ˛ a miejscem, w którym przechowywane s ˛ a informacje na temat członków organizacji, jak równie˙z jej produktów i istotnych elementów wewn ˛ atrz i na zewn ˛ atrz niej. Informacje te nie s ˛ a tym samym co surowe dane. Te ostatnie to fakty, które stanowi ˛ a pewne zdarzenia zachodz ˛ ace w organizacji i w jej otoczeniu. Informacje to te same dane, ale po pewnym przetworzeniu, pozwala- j ˛ acym na ich wizualizacj˛e w formie u˙zytecznej dla członków organizacji. Innymi słowy, s ˛ a to dane, które zostały w jaki´s sposób zorganizowane i wzbogacone o do- datkowe przydatne interpretacje i wizualizacje.

Mo˙zna wyró˙zni´c formalne i nieformalne systemy informacyjne. W dalszej cz˛e-

´sci tej ksi ˛ a˙zki b˛ed ˛ a nas interesowa´c wył ˛ acznie systemy formalne, czyli takie, któ-

re opieraj ˛ a si˛e na szeregu ´sci´sle okre´slonych i ustalonych definicji i procedur na

wszystkich etapach korzystania z danych: gromadzenia, przetwarzania i u˙zytko-

wania. Nieformalne systemy s ˛ a równie˙z wa˙zne dla ka˙zdej organizacji, ale nie s ˛ a

przedmiotem naszego zainteresowania. Ponadto autor skupił si˛e na systemach in-

formacyjnych wspomaganych komputerowo, tj. formalnych systemach u˙zywaj ˛ a-

cych sprz˛etu komputerowego i oprogramowania w celu gromadzenia danych oraz

tworzenia i rozpowszechniania informacji. Nie jest zainteresowany r˛ecznymi sys-

temami wykorzystuj ˛ acymi papier. Dla uproszczenia, od tej chwili b˛edziemy u˙zy-

wa´c poj˛ecia „systemy informacyjne” tylko do okre´slenia formalnych systemów

informacyjnych wspomaganych komputerowo.

(12)

rozwi ˛ azań dopuszczalnych, bo to zbytnio upraszczałoby zadania, upodabniaj ˛ ac je pod wzgl˛edem trudno´sci do ich liniowych odpowiedników). Istotne znaczenie dla struktury rozwi ˛ azania, a wi˛ec równie˙z dla efektywno´sci algorytmu, maj ˛ a jednak warto´sci mno˙zników. Dzieje si˛e tak nawet w wypadku zadań programowania li- niowego (wi˛ecej na ten temat mo˙zna znale´zć na przykład w artykule Anholcera i Kawy [2012]), a tym bardziej w przypadku zagadnień rozpatrywanych w tej pra- cy. Z tego wzgl˛edu, przy ich doborze kierowano si˛e dwiema zasadami. Po pierw- sze, ich warto´sci nie mogły być zbyt bliskie 1, bo to niwelowałoby ich wpływ i uniemo˙zliwiło przeanalizowanie działania algorytmów dedykowanych uogólnio- nym zadaniom przepływu. Po drugie, powinny być jednak stosunkowo wysokie, gdy˙z zarówno z analizy dost˛epnej literatury, jak i z przeprowadzonych badań empi- rycznych [Anholcer i Kawa 2017] wynika, ˙ze typowy odsetek traconych dóbr jest do´sć niewielki. Wyniki badań ankietowych przeprowadzonych w polskich firmach zajmuj ˛ acych si˛e przewozami (jeszcze nieopublikowane) potwierdzaj ˛ a słuszno´sć wyboru przedziałów dla mno˙zników.

2.4. Metoda rzutowania gradientu

Metoda rzutowania gradientu była jedn ˛ a z pierwszych metod rozwi ˛ azywania ogól- nych zadań optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami. Została ona opublikowa- na przez J.B. Rosena [1960; 1961]. Zbie˙zno´sć metody udowodnili Du i Zhang [1986; 1989]. Dokładniej, autorzy udowodnili zbie˙zno´sć nieco zmodyfikowanego algorytmu. Istniej ˛ a przykłady pokazuj ˛ ace, ˙ze odwzorowanie algorytmiczne orygi- nalnej metody Rosena nie jest domkni˛ete. Równie˙z odwzorowanie algorytmiczne metody przedstawionej przez Du i Zhanga nie jest domkni˛ete, ale autorzy zdoła- li udowodnić zbie˙zno´sć, analizuj ˛ ac ε-s ˛asiedztwa rozwi ˛azań niespełniaj ˛acych wa- runków KKT. Metody (w obu wersjach) skrótowo przedstawili i omówili tak˙ze Bazaraa, Sherali i Shetty [2006, podrozdział 10.5]. Poniewa˙z wszystkie problemy, które analizujemy w tej ksi ˛ a˙zce, maj ˛ a liniowe ograniczenia, jeste´smy zaintereso- wani tylko wersj ˛ a algorytmu przedstawion ˛ a w pracy Rosena [1960] z pó´zniejszymi modyfikacjami (zobacz tak˙ze [Bazaraa, Sherali i Shetty 2006, podrozdział 10.5]).

Załó˙zmy, ˙ze dane jest zadanie programowania nieliniowego postaci:

min f (x) (2.46)

p.w.

Ax ≤ b, (2.47)

Ex = b. (2.48)

(13)

Metoda rzutowania gradientu mo˙ze by´c zapisana w nast˛epuj ˛ acy sposób (algo- rytm 2).

Algorytm 2. Metoda rzutowania gradientu dla zada´n programowania wypukłego z liniowymi ograniczeniami

Krok 1: Wyznaczenie rozwi ˛ azania pocz ˛ atkowego

Wybierz dodatni ˛ a stał ˛ a c > 0. Podstaw k ← 1 i znajd´z pierwsze rozwi ˛azanie dopuszczalne x. Przejd´z do kroku 2.

Krok 2: Wyznaczenie macierzy M

Podziel A i b na dwie cz˛e´sci A

₁

i A

₂

(odpowiednio b

₁

i b

₂

) w taki sposób, ˙ze A

1

x = b

1

i A

2

x < b

2

. Macierz M składa si˛e z wszystkich wierszy E i A

1

. Przejd´z do kroku 3.

Krok 3: Sprawdzenie optymalno´sci

Je˙zeli M jest pusta i ▽ f (x) = 0, to STOP, x jest rozwi ˛azaniem optymalnym. Je˙zeli macierz M jest pusta i ▽ f (x) ̸= 0, przejd´z do kroku 4. Je˙zeli M jest niepusta, przejd´z do kroku 5.

Krok 4: Wyznaczenie kierunku poprawy – wariant 1 Podstaw

d ← −▽ f (x). (2.49)

Przejd´z do kroku 9.

Krok 5: Wyznaczenie kierunku poprawy – wariant 2 Wyznacz macierz rzutowania, korzystaj ˛ ac ze wzoru

P = I − M

^T

(MM

^T

)

⁻¹

M. (2.50)

Podstaw

d ← −P▽ f (x). (2.51)

Przejd´z do kroku 6.

Krok 6: Wyznaczenie wektora zmiennych dualnych

Wyznacz wektor zmiennych dualnych, korzystaj ˛ ac ze wzoru

w = −(MM

^T

)

⁻¹

M ▽ f (x). (2.52)

Mo˙zna go rozdzieli´c na dwa wektory v i u takie, ˙ze v odpowiada macierzy E, a u

macierzy A

₁

. Przejd´z do kroku 7.

(14)

Krok 7: Sprawdzenie optymalno´sci

Je˙zeli u ≥ 0 i d = 0, to STOP, x jest rozwi ˛azaniem optymalnym. Je˙zeli u ≥ 0 i d ̸= 0, przejd´z do kroku 9. Je˙zeli u ma ujemn ˛ a składow ˛ a u

j

, przyjmij u

_h

= min

j

{u

j

}. Je-

˙zeli ||d|| ≤ |u

h

|c, przejd´z do kroku 8, w przeciwnym razie przejd´z do kroku 9.

Krok 8: Wyznaczenie kierunku poprawy – wariant 3

Usu´n z macierzy A

₁

wiersz h. Przekształ´c odpowiednio macierz M. Wyznacz now ˛ a macierz rzutowania, wykorzystuj ˛ ac wzór (2.50), i nowy kierunek poprawy, korzy- staj ˛ ac ze wzoru (2.51). Przejd´z do kroku 9.

Krok 9: Wyznaczenie maksymalnej długo´sci kroku Niech

d

^′

= A

₂

d. (2.53)

Je˙zeli d

^′

≤ 0, podstaw

λ

max

= ∞. (2.54)

W przeciwnym razie, niech

b

^′

= b

₂

− A

2

x (2.55)

oraz

λ

max

= min

i

{b

^′_i

/d

_i^′

| d

^′_i

> 0 }. (2.56) Przejd´z do kroku 10.

Krok 10: Wyznaczenie optymalnej długo´sci kroku i nowego rozwi ˛ azania Niech λ

^′

b˛edzie rozwi ˛ azaniem optymalnym zadania przeszukiwania liniowego

min f (x + λd) (2.57)

p.w.

0 ≤ λ ≤ λ

max

. (2.58)

Podstaw

x ← x + λ

^′

d (2.59)

i wró´c do kroku 2.

(15)

Bardzo czasochłonn ˛ a cz˛e´sci ˛ a ka˙zdej iteracji jest wyznaczenie macierzy P (2.50), kierunku poprawy d (2.51) i wektora zmiennych dualnych w (2.52), niekiedy przeprowadzane wi˛ecej ni˙z jeden raz. W przypadku wypukłego NGTP obliczenia mog ˛ a by´c znacznie uproszczone, poniewa˙z struktura macierzy M, MM

^T

i (MM

^T

)

⁻¹

zale˙zy przede wszystkim od rozmiaru problemu, a nie od warto´sci parametrów i zmiennych. Poni˙zej udowodnimy odpowiednie twierdzenia. Wykorzystamy przy tym pomysły podobne do przedstawionych wcze´sniej przez Anholcera [2005a], cho´c odpowiednie macierze i kroki algorytmu wygl ˛ adaj ˛ a inaczej, ze wzgl˛edu na inne uporz ˛ adkowanie zmiennych, a przede wszystkim inn ˛ a posta´c zadania. Od teraz zakładamy, ˙ze zmienne s ˛ a uporz ˛ adkowane leksykograficznie rosn ˛ aco wzgl˛edem indeksów. Rozwa˙zmy nast˛epuj ˛ ace sformułowanie NGTP:

min f (x) =

∑

m i=1

∑

n j=1

c

_{i j}

(x

_{i j}

) +

∑

n j=1

f

_j

(

∑

m i=1

r

_{i j}

x

_{i j}

), (2.60) p.w.

∑

n j=1

x

i j

≤ a

i

, i = 1, . . . , m, (2.61)

− x

i j

≤ 0, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. (2.62) Porz ˛ adkujemy warunki wzgl˛edem rosn ˛ acej warto´sci i, a dla ustalonego i pierw- szy jest odpowiedni warunek z grupy (2.61), a nast˛epnie warunki z grupy (2.62) uporz ˛ adkowane według rosn ˛ acej warto´sci j.

Przy takim uporz ˛ adkowaniu macierz E jest pusta, a macierz A ma posta´c

A =







1 1 . . . 1 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 . . . 0

−1 0 ... 0 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 . . . 0

0 −1 ... 0 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .−1 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 1 . . . 1 . . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 −1 0 ... 0 . . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 −1 ... 0 . . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 0 0 . . .−1 ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . . 1 1 . . . 1 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . . −1 0 ... 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . . 0 −1 ... 0 . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . . 0 0 . . .−1







,

(2.63)

(16)

czyli mo˙ze by´c zapisana jako

A =



 

 

A

0

_n+1,n

0

_n+1,n

. . . 0

_n+1,n

0

_n+1,n

A

0

_n+1,n

. . . 0

_n+1,n

0

_n+1,n

0

_n+1,n

A

0

. . . 0

_n+1,n

. . . . . . . . . . . . . . . 0

_n+1,n

0

_n+1,n

0

_n+1,n

. . . A

0



 

 

, (2.64)

gdzie

A

₀

= [ J

_1,n

−I

n

]

. (2.65)

Niech M

i

b˛edzie macierz ˛ a otrzyman ˛ a z i-tej kopii A

0

przez usuni˛ecie wierszy od- powiadaj ˛ acych niewi ˛ a˙z ˛ acym warunkom. Dla ka˙zdego i niech

J

i

= { j | x

i j

= 0}, (2.66)

oraz

n

i

= |J

i

|. (2.67)

Je˙zeli ∑

ⁿj=1

x

_{i j}

= a

_i

, przyjmiemy m

_i

= 1, a w przeciwnym razie m

_i

= 0. Oznaczmy elementy zbioru J

i

(rosn ˛ aco wzgl˛edem i) przez j

¹_i

, j

_i²

, . . . , j

ⁿ_iⁱ

. Ka˙zda z macierzy M

i

ma n

i

+ m

i

wierszy i n kolumn. Je˙zeli ∑

ⁿj=1

x

i j

< a

i

(czyli m

i

= 0), macierz M

i

ma n

_i

wierszy, a jej elementy s ˛ a zdefiniowane za pomoc ˛ a wzorów:

M

i

[k, j] = −1, k = 1, . . . , n

i

; j = j

_i^k

, (2.68) M

_i

[k, j] = 0, k = 1, . . . , n

_i

; j = 1, . . . , n, j ̸= j

i^k

. (2.69) Je˙zeli ∑

ⁿj=1

x

i j

= a

i

(czyli m

i

= 1), macierz M

i

ma n

i

+ 1 wierszy, przy czym pierw- szy z nich ma posta´c J

_1,n

, a pozostałe s ˛ a takie same jak w poprzednim przypadku:

M

i

[k, j] = 1, k = 1, (2.70)

M

i

[k, j] = −1, k = 2, . . . , n

i

+ 1; j = j

^k_i⁻¹

, (2.71)

M

i

[k, j] = 0, k = 2, . . . , n

i

+ 1; j ̸= j

^k_i⁻¹

. (2.72)

(17)

Łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze

M =



 

 

M

1

0

_n₁_+m₁_,n

0

_n₁_+m₁_,n

. . . 0

_n₁_+m₁_,n

0

_n₂_+m₂_,n₁_+m₁

M

2

0

_n₂_+m₂_,n₃_+m₃

. . . 0

_n₂_+m₂_,n

0

_n₃_+m₃_,n

0

_n₃_+m₃_,n

M

3

. . . 0

_n₃_+m₃_,n

. . . . . . . . . . . . . . .

0

_n_m_+m_m_,n

0

_n_m_+m_m_,n

0

_n_m_+m_m_,n

. . . M

m



 

 

, (2.73)

oraz

MM^T=







B1 0n₁+m₁,n₂+m₂ 0n₁+m₁,n₃+m₃ . . . 0n₁+m₁,n_m+m_m

0n₂+m₂,n₁+m₁ B2 0n₂+m₂,n₃+m₃ . . . 0n₂+m₂,n_m+m_m

0n₃+m₃,n₁+m₁ 0n₃+m₃,n₂+m₂ B3 . . . 0n₃+m₃,n_m+m_m

. . . . . . . . . . . . . . .

0n_m+m_m,n₁+m₁ 0n_m+m_m,n₂+m₂ 0n_m+m_m,n₃+m₃ . . . Bm







,

(2.74)

gdzie dla ka˙zdego i = 1, . . . , m, B

i

jest macierz ˛ a kwadratow ˛ a maj ˛ ac ˛ a n

i

+m

i

wierszy i n

_i

+ m

_i

kolumn postaci

B

i

=

[ nI

₁

−J

1,ni

−J

^T_1,n_i

I

_n_i

]

, gdy m

i

= 1, (2.75)

B

i

= I

_n_i

, gdy m

i

= 0. (2.76)

Twierdzimy teraz, ˙ze MM

^T

ma nast˛epuj ˛ ac ˛ a posta´c:

(MM^T)⁻¹=







C1 0n₁+m₁,n₂+m₂ 0n₁+m₁,n₃+m₃ . . . 0n₁+m₁,n_m+m_m

0n₂+m₂,n₁+m₁ C₂ 0n₂+m₂,n₃+m₃ . . . 0n₂+m₂,n_m+m_m

0n3+m₃,n₁+m₁ 0n3+m₃,n₂+m₂ C₃ . . . 0_n₃+m₃,n_m+m_m

. . . . . . . . . . . . . . .

0n_m+m_m,n₁+m₁ 0n_m+m_m,n₂+m₂ 0n_m+m_m,n₃+m₃ . . . Cm







,

(2.77)

gdzie dla ka˙zdego i = 1, . . . , m, C

_i

jest kwadratow ˛ a macierz ˛ a maj ˛ ac ˛ a n

_i

+m

_i

wierszy i n

i

+ m

_i

kolumn postaci

C

_i

=





1

n−ni

I

₁

−

_n_−n¹_i

J

_1,n_i

−

_n_−n¹ _i

J

^T_1,n

i

I

_n_i

+

_n_−n¹

i

J

_n_i_,n_i



, gdy m

_i

= 1, (2.78)

(18)

C

_i

= I

_n_i

, gdy m

_i

= 0. (2.79) Rzeczywi´scie, łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze dla ka˙zdego i = 1, . . . , m mamy

B

i

C

i

= I

ni+mi

, (2.80)

czyli

C

_i

= B

⁻¹_i

. (2.81)

U˙zywaj ˛ ac odpowiednich przekształce´n, stwierdzamy, ˙ze iloczyn (MM

^T

)

⁻¹

M jest postaci

(MM

^T

)

⁻¹

M =



 



D

₁

0

_n₁_+m₁_,n

0

_n₁_+m₁_,n

. . . 0

_n₁_+m₁_,n

0

_n₂_+m₂_,n

D

2

0

_n₂_+m₂_,n

. . . 0

_n₂_+m₂_,n

0

_n₃_+m₃_,n

0

_n₃_+m₃_,n

D

3

. . . 0

_n₃_+m₃_,n

. . . . . . . . . . . . . . . 0

_n_m_+m_m_,n

0

_n_m_+m_m_,n

0

_n_m_+m_m_,n

. . . D

_m



 



, (2.82)

Ka˙zda z macierzy D

_i

ma n

_i

+ m

_i

wierszy i n kolumn. Je˙zeli m

_i

= 0, to D

_i

= M

_i

, zgodnie ze wzorami (2.68)–(2.69). Je´sli m

i

= 1, to elementy macierzy D

_i

s ˛ a zdefi- niowane za pomoc ˛ a wzorów (k = 1, . . . , n

i

+ 1; j = 1, . . . , n):

D

_i

[k, j] = 1 n − n

i

, k = 1, . . . , n

_i

+ 1, j ̸∈ J

i

(2.83)

D

_i

[k, j] = 0, k = 1, j ∈ J

i

, (2.84)

D

_i

[k, j] = −1, k = 2, . . . , n

_i

+ 1, j = j

^k_i⁻¹

, (2.85) D

_i

[k, j] = 0, k = 2, . . . , n

_i

+ 1, j ∈ J

i

, j ̸= j

^k−1_i

. (2.86) Rzeczywi´scie, dla ka˙zdego i mamy C

i

B

i

= D

i

. Dalsze przekształcenia pozwalaj ˛ a stwierdzi´c, ˙ze

M

^T

(MM

^T

)

⁻¹

M =



 



F

1

0

_n,n

0

_n,n

. . . 0

_n,n

0

_n,n

F

₂

0

_n,n

. . . 0

_n,n

0

_n₃_+m₃_,n

0

_n₃_+m₃_,n

F

₃

. . . 0

_n,n

. . . . . . . . . . . . . . . 0

_n,n

0

_n,n

0

_n,n

. . . F

m



 



, (2.87)

gdzie dla ka˙zdego i = 1, . . . , m, F

i

= B

^T_i

D

i

jest macierz ˛ a kwadratow ˛ a maj ˛ ac ˛ a n

wierszy i n kolumn opisanych wzorami:

(19)

F

_i

[k, j] = 1 n − n

i

, k ̸∈ J

i

, j ̸∈ J

i

, (2.88)

F

_i

[k, j] = 1, k ∈ J

i

, j = k, (2.89)

F

i

[k, j] = 0, w pozostałych przypadkach, (2.90) gdy m

_i

= 1,

F

i

[k, j] = 1, k ∈ J

i

, j = k, (2.91)

F

i

[k, j] = 0, w pozostałych przypadkach, (2.92) gdy m

i

= 0. Ostatecznie otrzymujemy

P = I_mn− M^T(MM^T)⁻¹M =







P₁ 0_n,n 0_n,n . . . 0_n,n

0_n,n P₂ 0_n,n . . . 0_n,n

0_n₃+m₃,n 0_n₃+m₃,n P₃ . . . 0_n,n

. . . . . . . . . . . . . . .

0n,n 0n,n 0n,n . . . Pm







,

(2.93)

gdzie dla ka˙zdego i = 1, . . . , m, P

_i

= I

_n

− F

i

jest macierz ˛ a kwadratow ˛ a maj ˛ ac ˛ a n wierszy i n kolumn, opisan ˛ a wzorami:

P

_i

[k, j] = 1 − 1 n − n

i

, k ̸∈ J

i

, j = k, (2.94)

P

i

[k, j] = − 1 n − n

i

, k ̸∈ J

i

, j ̸∈ J

i

, j ̸= k, (2.95) P

i

[k, j] = 0, w pozostałych przypadkach, (2.96) gdy m

_i

= 1,

P

i

[k, j] = 1, k ̸∈ J

i

, j = k, (2.97)

P

i

[k, j] = 0, w pozostałych przypadkach, (2.98) gdy m

_i

= 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze usuni˛ecie któregokolwiek z wierszy macierzy M mo˙ze jedynie

zmieni´c warto´s´c n

i

lub m

i

dla pewnego i, wi˛ec równie˙z elementy macierzy B

i

, C

i

,

D

_i

, F

_i

i P

_i

, jednak ogólne wzory nie ulegaj ˛ a zmianie. Mo˙ze si˛e te˙z zdarzy´c, ˙ze M

_i

b˛edzie pusta dla pewnego i (czyli n

i

= m

_i

= 0 i M

_i

b˛edzie miała 0 wierszy). Wów-

czas równie˙z B

i

, C

i

i D

i

b˛ed ˛ a puste, podczas gdy F

i

= 0

n,n

oraz P

i

= I

n

. Powy˙zsze

rozwa˙zania pozwalaj ˛ a nam sformułowa´c nast˛epuj ˛ ace twierdzenie.

(20)

Twierdzenie 2.8. Załó˙zmy, ˙ze zmienne i ograniczenia w wypukłym NGTP zostały uporz ˛ adkowane jak powy˙zej. Wtedy

1. Wzór (2.51) słu˙z ˛ acy do wyznaczenia kierunku poprawy w krokach 5 i 8 al- gorytmu 2 przyjmuje uproszczon ˛ a posta´c:

d

i j

= − ∂ f

∂x

i j

, m

i

= 0, j ̸∈ J

i

, (2.99)

d

_{i j}

=

( 1

n − n

i

− 1 ) ∂ f

∂x

i j

+ 1

n − n

i

∑

k∈Ji,k̸=i

∂ f

∂x

ik

, m

_i

= 1, j ∈ J

i

, (2.100)

d

i j

= 0, w pozostałych przypadkach (2.101)

(tutaj d

_{i j}

oznacza współrz˛edn ˛ a wektora d odpowiadaj ˛ ac ˛ a zmiennej x

_{i j}

).

2. Wzór (2.52) słu˙z ˛ acy do wyznaczenia wektora zmiennych dualnych w kroku 6 algorytmu 2 przyjmuje uproszczon ˛ a posta´c:

w

_i0

= − 1 n − n

i

∑

k̸∈Ji

∂ f

∂x

ik

, m

_i

= 1, (2.102)

w

_{i j}

= ∂ f

∂x

i j

, m

_i

= 0, j ∈ J

i

, (2.103)

w

i j

= ∂ f

∂x

i j

− 1

n − n

i

∑

k̸∈Ji

∂ f

∂x

ik

= ∂ f

∂x

i j

+ w

i0

, m

i

= 1, j ∈ J

i

(2.104)

(tutaj w

i j

, j ∈ J

i

, jest współrz˛edn ˛ a wektora w odpowiadaj ˛ ac ˛ a zmiennej x

i j

= 0, a w

i0

odpowiada i-temu ograniczeniu nierówno´sciowemu (2.61), o ile jest ono wi ˛ a˙z ˛ ace).

Uproszczone wzory (2.99)–(2.104) sprawiaj ˛ a, ˙ze algorytm jest istotnie szyb- szy i wymaga mniejszej ilo´sci pami˛eci operacyjnej. Z tego powodu metoda ta mo-

˙ze konkurować z algorytmem wyrównań przedstawionym w poprzednim podroz- dziale. Niestety, metoda rzutowania gradientu dla wypukłego NGTP nie jest łatwo skalowalna (a wi˛ec nie mo˙zna jej w prosty sposób uogólnić na zadania o bardziej zło˙zonej strukturze), co czyni j ˛ a praktycznie bezu˙zyteczn ˛ a w przypadku zadań od- powiadaj ˛ acych bardziej zło˙zonym łańcuchom logistycznym, które rozpatrujemy w dalszych rozdziałach tej ksi ˛ a˙zki.

2.5. Rozwi ˛ azywanie zada ´ n z niewypukłymi funkcjami celu

W dwóch poprzednich rozdziałach skupili´smy si˛e na problemach z wypukłymi

kosztami. Jednak niekiedy konieczne jest rozwa˙zenie modelu z wkl˛esł ˛ a lub, bar-

(21)

Rozdział 6

Modele wielokryterialne

6.1. Wprowadzenie

Wszystkie modele rozpatrywane do tej pory miały jedn ˛ a wspóln ˛ a cech˛e: w ka˙zdym zadaniu optymalizacyjnym opartym na tych modelach wyst˛epowała tylko jedna funkcja celu. W rzeczywistych zastosowaniach pojawiaj ˛ a si˛e jednak czasem sytu- acje, w których nale˙zy wzi ˛ ać pod uwag˛e co najmniej dwa kryteria. Z tak ˛ a sytuacj ˛ a mo˙zemy mieć do czynienia równie˙z w przypadku zadań optymalizacji na sieciach (w szczególno´sci w przypadku problemów zarz ˛ adzania łańcuchami dostaw).

Chocia˙z głównym celem jest uzyskanie jednego rozwi ˛ azania zadania, jest bar- dzo wa˙zne, aby znale´z´c zbiór wszystkich rozwi ˛ aza´n optymalnych w sensie Pareta.

Załó˙zmy, ˙ze mamy rozwi ˛ aza´c nast˛epuj ˛ acy problem optymalizacji wielokryterial- nej:

min { f

¹

(x), f

²

(x), . . . , f

^k

(x) }, (6.1) p.w.

x ∈ F, (6.2)

gdzie F jest zbiorem rozwi ˛ aza´n dopuszczalnych. Rozwi ˛ azanie y ∈ F jest optymal- ne w sensie Pareta, je˙zeli nie ma innego rozwi ˛ azania x ∈ F, takiego ˙ze

f

ⁱ

(x) ≤ f

ⁱ

(y), i = 1, . . . , k, (6.3)

∃

i∈{1,...,k}

f

ⁱ

(x) < f

ⁱ

(y), (6.4)

i jest słabo optymalne w sensie Pareta, je˙zeli nie istnieje inne rozwi ˛ azanie x ∈ F,

takie ˙ze

(22)

f

ⁱ

(x) < f

ⁱ

(y), i = 1, . . . , k. (6.5) W literaturze mo˙zna znale´zć wiele rodzajów warunków koniecznych i wystar- czaj ˛ acych optymalno´sci w sensie Pareta. Na przykład Ben-Israel, Ben-Tal i Char- nes [1977] przedstawili warunki konieczne i wystarczaj ˛ ace dla problemów wielo- kryterialnych, w których wypukłe funkcje celu s ˛ a minimalizowane na zbiorze wy- pukłym, a Bokrantz i Fredriksson [2014] okre´slili warunki optymalno´sci w sensie Pareta dla zadań wielokryterialnej optymalizacji odpornej. Ró˙zne warunki opty- malno´sci w optymalizacji wektorowej opublikowali Ivanov [2013], Li [1999] oraz Pop [2012]. Obszernym wst˛epem do teorii i metodologii nieliniowej optymalizacji wielokryterialnej jest praca Miettinena [1998], gdzie mi˛edzy innymi mo˙zna rów- nie˙z znale´zć ró˙zne warunki optymalno´sci w sensie Pareta.

W tym rozdziale zajmiemy si˛e dwoma modelami optymalizacji wielokryte- rialnej na sieciach, zwi ˛ azanymi z ła´ncuchami dostaw towarów szybko trac ˛ acych warto´s´c. Optymalizacja nieliniowa na sieciach przyci ˛ agn˛eła nieco uwagi badaczy.

Poni˙zej omówiono wybrane prace poruszaj ˛ ace t˛e tematyk˛e.

B. Gupta i R. Gupta [1983] przedstawili wariant metody sympleks dla wie- lokryterialnego programowania liniowego, który mo˙ze by´c u˙zyty (po pewnych oczywistych modyfikacjach) do rozwi ˛ azywania ró˙znych problemów sieciowych.

Z kolei Qiang i Nagurney [2012] analizowali wydajno´sć łańcucha dostaw kry- tycznych w sytuacji wyst˛epowania zakłóceń. Zdefiniowali kluczowe potrzeby, jak produkty i materiały, które s ˛ a niezb˛edne dla zdrowia i ˙zycia ludzkiego. Przykła- dy obejmuj ˛ a ˙zywno´sć, wod˛e, leki i szczepionki. Do pomiaru wydajno´sci autorzy zastosowali dwa kryteria, a mianowicie całkowite koszty i rozbie˙zno´sć mi˛edzy popytem zaspokojonym a popytem rzeczywistym. Łańcuchy dostaw analizowane w tej pracy miały struktur˛e sieci czterowarstwowej. Inni autorzy – Raith i Ehr- gott [2009] – rozwi ˛ azali dwukryterialne całkowitoliczbowe zadanie MCFP. Tak˙ze inne rodzaje wielokryterialnych problemów sieciowych były obiektem zaintereso- wania badaczy. Na przykład Iori, Martello i Pretolani [2010] skoncentrowali si˛e na wielokryterialnym problemie najkrótszej drogi (ang. Shortest Path Problem, SPP). Z kolei Zhang i Ong [2007] rozwi ˛ azali dwuryterialne uogólnione zadanie przydziału (ang. Generalied Assignment Problem, GAP). Ten wariant GAP mo˙zna uznać za szczególn ˛ a wersj˛e GTP, w której ka˙zda dostawa musi być równa 0 lub 1 i poda˙z ka˙zdego ´zródła wynosi dokładnie 1. Przeg ˛ ad algorytmów dla ró˙znych wie- lokryterialnych zadań przepływu w sieci mo˙zna znale´zć w artykule Hamachera, Pedersena i Ruziki [2007].

W kolejnym podrozdziale b˛edziemy szczególnie zainteresowani problemem

dwukryterialnym, w których jednym z kryteriów jest całkowity koszt, a drugim

czas. Taki rodzaj problemów rozpatrywała mi˛edzy innymi Nagurney ze współau-

torami [Nagurney i Yu 2011; Nagurney i in. 2013]. Autorzy ci analizowali ła´ncuch

(23)

dostaw modnej odzie˙zy, gdzie sie´c odpowiadaj ˛ aca ła´ncuchowi nie jest warstwowa.

Aneja i Nair [1979] analizowali dwukryterialne TP, które odpowiada jednowar- stwowemu ła´ncuchowi dostaw. Opracowali metod˛e znajdowania niezdominowa- nych punktów ekstremalnych w przestrzeni kryteriów. Ten sam problem był ana- lizowany przez Nykowskiego [1986]. Z kolei Thirwani, Arora i Khanna [1997]

rozwi ˛ azali dwukryterialne liniowe TP, gdzie jednym kryterium jest koszt całko- wity ze stał ˛ a składow ˛ a, a drugim czas. Ten sam problem analizowali w swojej pracy Basu, Pal i Kundu [1994]. Kolejny model dwukryterialny badali S. Pu- ri i M.C. Puri [2006]. Autorzy rozpatrzyli liniowe TP z minimalizacj ˛ a dwóch kryteriów – najkrótszego i najdłu˙zszego czasu dostawy. Rozwa˙zali te˙z zadanie z wkl˛esł ˛ a funkcj ˛ a celu b˛ed ˛ ac ˛ a sum ˛ a tych dwóch kryteriów. Kolejni autorzy – Basu i Acharya [2002] – rozwi ˛ azali uogólniony problem transportowy z kwadra- tow ˛ a, ułamkow ˛ a funkcj ˛ a celu i zastosowali przedstawion ˛ a metod˛e do wyznaczenia krzywej czas–koszt. Na dwukryterialnym TP z kwadratow ˛ a funkcj ˛ a kosztów i kry- terium czasu skupili si˛e równie˙z Khurana i Arora [2011].

W wielu praktycznych zastosowaniach nale˙zy przyj ˛ ać, ˙ze parametry zadania nie s ˛ a deterministyczne. Mo˙zna ten problem uj ˛ ać na ró˙zne sposoby. Przytoczmy kilka przykładów. Ojha, Mondal i Maiti [2011] analizowali rozmyte dwukryterial- ne TP z kryteriami czasu i kosztu, Gupta i Kumar [2012] rozwi ˛ azali wielokryte- rialne liniowe TP o rozmytych parametrach. Rozmyte dwukryterialne TP rozwa˙za- li równie˙z Keshavarz i Khorram [2011]. Z kolei Hussein [1998] skoncentrował si˛e na liniowym wielokryterialnym TP o posybilistycznych współczynnikach kosz- tów, a Li i Shi [2000] rozwa˙zali dynamiczne TP z wieloma kryteriami i wieloma poziomami ograniczeń. Ten sam problem był analizowany przez Shi [1995].

W tej ksi ˛ a˙zce jeste´smy zainteresowani w szczególno´sci innym rodzajem nie- deterministycznych problemów, a mianowicie tymi, których parametry s ˛ a losowe.

Wielokryterialne zadania z parametrami b˛ed ˛ acymi zmiennymi losowymi były ba- dane przez wielu autorów. Na przykład Ben Abdelaziz i Masri [2010] przedstawili rozwi ˛ azanie dla stochastycznych problemów wielokryterialnych i zilustrowali je zadaniem planowania produkcji. Dwa lata pó´zniej Muñoz i Ben Abdelaziz [2012]