Liczenie – zadanka
Mateusz Rapicki 4 stycznia 2017
1. (a) Ile jest możliwych wyników losowania lotto? Ile z nich ma tę własność, że wylosowano co najmniej jedną parę liczb sąsiadujących?
(b) Ile jest możliwych 5-kartowych rąk w pokerze? Ile z nich to ful?
(c) Ile jest możliwych 13-kartowych rąk w brydżu? Ile z nich ma układ 4432?
2. Na ile sposobów można wybrać 4-osobową grupę z klasy liczącej 10 chłopców i 14 dziewcząt?
Ile z nich ma tę własność, że chłopców będzie więcej niż dziewcząt?
3. W urnie jest n kul czarnych i 2n + 1 kul nieczarnych, każda innego koloru. Na ile sposobów można wybrać n kul?
4. Ile jest permutacji zbioru [n] takich, że liczby 1 i 2 są sąsiadujące? Ile jest permutacji zbioru [n] takich, że liczby na pierwszych dwóch pozycjach różnią się o 1?
5. Na ile sposobów można połączyć 2n osób w n par?
6. (a) Udowodnij, że n+1k+1 = k+1n + nk.
(b) Wywnioskuj z powyższego, że n+1k+1 = Pnm=0 mk.
7. Niech S(n, k) oznacza liczbę podziałów zbioru [n] na k niepustych podzbiorów, parami roz- łącznych i w sumie dających cały [n]. Znajdź i udowodnij zależność podobnego typu jak w podpunkcie (a) z poprzedniego zadania, czyli wzór na S(n+1, k+1) w zależności od S(n, k+1) i S(n, k).
8. Niech dn,k oznacza liczbę dróg minimalnej długości prowadzących z punktu (0, 0) do punktu (n, k) składających się wyłącznie z odcinków pionowych i poziomych o długościach będących liczbami naturalnymi.
(a) Znajdź i udowodnij wzór na dn,kw zależności od wartości liczb d dla indeksów o mniejszej sumie.
(b) Powiąż liczby dn,k z liczbami nk.
9. Niech bn,k oznacza liczbę dróg minimalnej długości prowadzących z punktu (0, 0) do punktu (n, k) składających się wyłącznie z odcinków pionowych i poziomych o długościach będących liczbami naturalnymi, niewykraczających poza obszar 0 ¬ y ¬ x. Znajdź i udowodnij wzór na bn,k w zależności od wartości liczb b dla indeksów o mniejszej sumie.
10. Udowodnij tożsamośćPn
k=1k2= n+12 + 2 n+13 .
11. Znajdź wzór (podobny jak w zadaniu powyżej) naPn k=1k3. 12. Znajdź wzór naPn
k=1 n kk2.
1
