Temat: Układy równań drugiego stopnia
Nasze spotkanie w szkole zakończyliśmy na rozwiązywaniu takich układów:
UKŁAD PROSTA I OKRĄG
1. Rozwiąż układa: {𝑥2+ 2𝑥 + 𝑦2− 4𝑦 = 5
𝑥 + 2𝑦 = 4 Rozwiązanie algebraiczne:
Jeśli jedno z równań jest liniowe, to wyznaczamy z niego zmienną x lub y ( którą łatwiej) i wstawiamy do pierwszego równania:
{𝑥2+ 2𝑥 + 𝑦2− 4𝑦 = 5
𝑥 = 4 − 2𝑦 wyznaczyłam x z drugiego równania
{(4 − 2𝑦)2+ 2(4 − 2𝑦) + 𝑦2− 4𝑦 = 5
𝑥 = 4 − 2𝑦 wykonujemy działania w nawiasach
{16 − 16𝑦 + 4𝑦2+ 8 − 4𝑦 + 𝑦2− 4𝑦 = 5
𝑥 = 4 − 2𝑦 upraszczamy
{5𝑦2− 24𝑦 + 19 = 0
𝑥 = 4 − 2𝑦 mamy równanie kwadratowe, które Rozwiązujemy
∆ = (−24)2− 4 ∙ 5 ∙ 19 = 576 − 380 = 196
√∆= 14 𝑦1 = 4,2 otrzymane wartości y wstawiamy do x=4-2y
𝑦1/2 = 24 ± 14
10 =
𝑦2 = 1
{ 𝑦1 = 4,2
𝑥 = 4 − 2𝑦 lub { 𝑦2 = 1
𝑥 = 4 − 2𝑦 obliczamy x
{ 𝑦1 = 4,2
𝑥1 = −4,4 lub {𝑦2 = 1
𝑥2 = 2 Odp.: Układ ma dwa rozwiązania
Rozwiązanie graficzne: Trzeba narysować wykres prostej i okręgu {𝑥2+ 2𝑥 + 𝑦2− 4𝑦 = 5
𝑥 + 2𝑦 = 4 Przekształcamy równanie okręgu do postaci ogólne i równanie prostej do postaci kierunkowej:
{(𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2 = 10 𝑦 = −1
2𝑥 + 2 Rysujemy okrąg o środku w punkcie S(-1;2) i promieniu
𝑟 = √10 oraz prostą y=-0,5x+2
Prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne. Rozwiązanie pokrywa się z tym algebraicznym TO BYŁO!!!!
UKŁAD OKRĄG I OKRĄG
2. Rozwiąż układa: {𝑥2− 4𝑥 + 𝑦2+ 6𝑦 = 17
𝑥2+ 2𝑥 + 𝑦2− 4𝑦 = 5 Rozwiązanie algebraiczne:
Odejmujemy równania stronami:
- { 𝑥
2− 4𝑥 + 𝑦
2+ 6𝑦 = 17
𝑥
2+ 2𝑥 + 𝑦
2− 4𝑦 = 5
0 + 6x + 0 -10 y =-12
6x-10y=-12/:6 𝑥 −
106
𝑦 = −2 wyznaczamy x lub y i wstawiamy do 𝑥 =
106
𝑦 − 2 jednego z równań okręgów np. drugie
𝑥2+ 2𝑥 + 𝑦2− 4𝑦 = 5 za X:(
106
𝑦 − 2)
2+ 2 (
106
𝑦 − 2) + 𝑦
2− 4𝑦 = 5 ( 5
3 𝑦 − 2)
2
+ 2 ( 5
3 𝑦 − 2) + 𝑦
2− 4𝑦 = 5
25
9
𝑦
2−
203
𝑦 + 4 +
103
𝑦 − 4 + 𝑦
2− 4𝑦 = 5 pomnóżmy wszystko przez 9
25 𝑦
2− 60 𝑦 + 30𝑦 + 9𝑦
2− 36 𝑦 = 45 upraszczamy
34𝑦
2− 66𝑦 − 45 = 0 mamy równanie kwadratowe liczymy deltę
∆ = (−66)2+ 4 ∙ 34 ∙ 45 = 4 356 + 6 120 = 10 476
√∆≈ 102 𝑦1 ≈ 2,5 otrzymane wartości y wstawiamy do
𝑥 =
56
𝑦 − 2
𝑦1/2 = 66 ± 102
68 =
𝑦2 ≈ −0,5
{
𝑦1 ≈ −0,5
𝑥 =
106𝑦 − 2
lub {𝑦2 ≈ 2,5
𝑥 =
106𝑦 − 2
obliczamy x{𝑦1 ≈ −0,5
𝑥1 ≈ −2,8 lub {𝑦2 ≈ 2,5
𝑥2 ≈ 2,2 Odp.: Układ ma dwa rozwiązania
Rozwiązanie graficzne: Trzeba narysować wykresy obu okręgów
{𝑥2− 4𝑥 + 𝑦2+ 6𝑦 = 17
𝑥2+ 2𝑥 + 𝑦2− 4𝑦 = 5 Przekształcamy równania okręgów do postaci ogólne
{(𝑥 − 2)2+ (𝑦 + 3)2= 30
(𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2= 10 Rysujemy dwa okręgi
