4.3 Ciągi operatorów i twierdzenie Banacha-Steinhausa
Przypomnijmy najpiewrw znany fakt z topologii, mianowicie twierdzenie Baire’a: Przestrzeń zupełna niepusta jest zbiorem drugiej kategorii, tzn. nie jest pierwszej kategorii, czyli nie można jej przedstawić za pomocą
∞n=1Zn, gdzie każde Zn jest zbiorem nigdziegęstym (nie jest gęsty w żadnej kuli).
Możemy teraz przejść do sformułowania głównego twierdzenia tego paragrafu.
Twierdzenie 4.6. Banacha− Steinhausa
Niech (An) będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni unormowanej Y . Jeśli dla każdego x ∈ X ciąg (Anx) jest ograniczony, to ciąg (||An||) (norm tych operatorów) jest ograniczony.
Dowód. Określmy zbiór
Zk ={x : ||Anx|| k dla n = 1, 2, . . . } , k = 1, 2, . . .
Wtedy X = ∞k=1Zk. Ponieważ przestrzeń X jest zupełna, więc na mocy twierdzenia Baire’a istnieje takie k0, że zbiór Zk0 nie jest nigdziegęsty, tzn. jest gęsty w pewnej kuli K(x0, r). Ponieważ oparatory An sa ciągłe oraz norma jest ciągła, to zbiór Zk0 jest domknięty. Zatem musi być K(x0, r)⊂ Zk0, tzn. dla ||x − x0|| r jest||Anx|| k0 dla n = 1, 2, . . . . Zatem
||Anx0|| k0 dla n = 1, 2, . . .
Weźmy teraz dowolny niezerowy element x∈ X. Wtedy !||x||x r + x0"− x0= r, czyli
An
x
||x||r + x0 k0 dla n = 1, 2, . . . Policzmy teraz
||Anx|| =An
x
||x||r + x0
− Anx0
||x||
r An
x
||x||r + x0 +Anx0
||x||
r (k0+ k0)||x||
r , czyli
||An|| 2k0
r dla n = 1, 2, . . .
Wniosek 4.1.
Jeżeli (An)n jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych z przestrzeni Banacha X w przestrzeń unor- mowaną Y i ciąg (Anx)njest zbieżny dla każdego x∈ X, to operator A określony jako
Ax = lim
n→∞Anx jest też operatorem liniowym ograniczonym.
Twierdzenie 4.7.
Jeżeli (An)n jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych z przestrzeni unormowanej X w przestrzeń Banacha Y , ciąg norm (||An||)n jest ograniczony, zbiór Z ⊂ X jest gęsty w X i ciąg (Anx)n jest zbieżny dla każdego x∈ Z, to jest zbieżny dla każdego x ∈ X.
Dowód. Z założenia istnieje taka liczba µ > 0, że
||An|| µ dla n = 1, 2, . . .
Ustalmy ε > 0 i punkt x ∈ X. Dobierzmy punkt z ∈ Z, by ||x − z|| 4µε . Ciąg (Anz)n jest zbieżny, zatem spełnia warunek Cauchy’ego. Istnieje N > 0 takie, że
||Anz− Amz|| 1
2ε dla n, m N. Ponieważ
||Anx− Amx|| = ||An(x− z) + (Anz− Amz) + Am(z− x)||
||An||||x − z|| + ||Anz− Amz|| + ||Am||||z − x|| 2µ||x − z|| + ||Anz− Amz||, więc
||Anx− Amx|| ε dla n, m N.
Ciąg (Anx)n spełnia więc warunek Cauchy’ego, zatem z zupełności przestrzeni Y wynika jego zbieżność.
4.4 Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym i twierdzenie o odwzorow- naniu otwartym
Niech A : X → Y będzie operaorem liniowym ograniczonym, a X i Y są przestrzeniami Banacha. Załóżmy, że A jest odwaracalny. Wtedy A−1 też jest liniowy, ale nie musi być ograniczony. Prostym przykładem jest operator
(Au)(t) = v(t) =
t
0 u(s) ds
dla s ∈ [0, 1] i X = Y = C([0, 1]). Oczywiście wiemy, że operator ten jest ograniczony i liniowy. Operator odwrotny natomiast ma postać:
(A−1v)(t) = v(t)
dla t ∈ [0, 1] określony na zbiorze wszystkich funkcji v ∈ C([0, 1]) takich, że v(0) = 0 i mających ciągłą pochodną, nie jest ograniczony.
Jeśli jednak A działa na całą przestrzeń Y , to będziemy mieć ograniczoność, o czym mówi twierdzenie:
Twierdzenie 4.8. Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.
Jeżeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowującym wzajemnie jednoznacznie przestrzeń Ba- nacha X na przestrzeń Banacha Y , to operator odwrotny A−1 też jest ograniczony.
Dowód. Dla danej liczby r oznaczmy przez Kr kulę domkniętą o środku w punkcie θ i promieniu r w przestrzeni X. Ponieważ zbiór wartości operatora wypełnia całą przestrzeń Y , więc dla każdego y ∈ Y istnieje taka liczba naturalna n, że y∈ A(Kn), tzn.
#∞ n=1
A(Kn) = Y
Ponieważ Y jest zupełna, to jak w dowodzie twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń ta jest drugiej kategorii, czyli istnieje n0 takie, że zbiór A(Kn0) nie jest nigdziegęsty, tzn. jest gęsty w pewnej kuli K(y0, ρ), czyli jeśli ||y − y0|| ρ, to y = limn→∞Axn, gdzie ||xn|| n0 (n = 1, 2, . . . ). W szczególności y0 = limn→∞Axn, gdzie||xn|| n0 (n = 1, 2, . . . ).
Jeśli r > 0, a y jest dowolnym punktem przestrzeni Y takim, że ||y|| r, to !ρ
ry + y0"− y0 ρ, to ρ
ry + y0 = lim
n→∞Axn, gdzie ||xn|| n0 (n = 1, 2, . . . ).
Zauważmy zatem, że z jednej strony r ρ
n→∞lim Axn− limn→∞Axn
= lim
n→∞A
r
ρ(xn− xn)
, a z drugiej strony
r ρ
n→∞lim Axn− limn→∞Axn
= r ρ
ρ ry + y0
− y0
= y, przy czym
r
ρ(xn− xn)
r2n0
ρ = rρ0, gdzie ρ0 = 2n0 ρ .
Oznacza to, że mamy liczbę dodatnią ρ0, że dla dowolnego r > 0 i każdego y∈ Y zachodzi implikacja
||y|| r =⇒ y ∈ A(Krρ0). (21)
Weźmy teraz dowolne y ∈ Y takie, że ||y|| 1. Z ostaniej implikacji wynika, że istnieje takie y1 ∈ A(Kρ0), że ||y − y1|| 12. Stosując ponownie nierówność (21) do punktu y− y1 i r = 12 dostajemy istnienie punktu y2 ∈ A(K1
2ρ0) spelniającego nierówność ||y − y1− y2|| 212. Postępując dalej analogicznie, wyznaczamy ciąg elementów (yn)n ⊂ Y o własności
yn ∈ A K 1 2n−1ρ0
i ||y − (y1+ y2+· · · + yn)|| 1
2n (n = 1, 2, . . . ). (22) Mamy zatem
yn= Axn, gdzie ||xn|| 1
2n−1ρ0 (n = 1, 2, . . . ).
Zauważmy, że szereg ∞n=1||xn|| jest zbieżny. Z zupełności przestrzeni Y dostajemy więc zbieżność szeregu
∞
n=1xn do pewnego punktu x∈ X, przy czym
||x|| ∞
n=1||xn|| ∞
n=1
1
2n−1ρ0 = 2ρ0.
Z (22) dostajemy dodatkowo Ax = A
m→∞lim
m n=1
xn
= lim
m→∞
m n=1
Axn = lim
m→∞
m n=1
yn = y.
Zatem A−1y = x i w konsekwencji ||A−1y|| = ||x|| 2ρ0. Otrzymaliśmy zatem, że jesli ||y|| 1, to
||A−1y|| 2ρ0. Niech teraz y∈ Y i y = θ. Wtedy
||A−1y|| =A−1
y
||y||
||y|| 2ρ0||y||.
Z dowolności punktu y mamy ograniczoność operatora A−1. Ważnym wnioskiem z tego twierdzenia jest następujące:
Twierdzenie 4.9.
Jeśli w przestrzeni liniowej X dane są dwie normy ||x||1 i ||x||2, a X jest przestrzenią Banacha przy każdej z tych norm i dla dowolnego ciągu (xn)n⊂ X spełniony jest warunek:
||xn||1 → 0 =⇒ ||xn||2 → 0, (23)
to zachodzi również implikacja w drugą stronę:
||xn||2 → 0 =⇒ ||xn||1 → 0, (24)
czyli normy te są równoważne.
Dowód. Oznaczmy przez X1 = (X,|| · ||1) i X2 = (X,|| · ||2). Wtedy operator identycznościowy Ax = x przyporządkowujący każdemu punktowi x ∈ X1 ten sam punkt x ∈ X2 jest bijektywny. Oczywiście jest on liniowy, a z (23) jest też ciągły, czyli ograniczony. Na podstawie twierdzenia Banacha o operatorze odwrotnym A−1 też jest ciągły, więc mamy warunek (24), bo jeśli||xn||2→ 0, to ||xn||1 =||a−1xn||1 → ||A−1θ||1 = 0.
Definicja 4.3. (odwzorowania otwartego)
Niech dane będą dwie przestrzenie topologiczne X i Y oraz odwzorowanie f : X → Y . Powiemy, że f jest odwzorowaniem otwartym, jeśli obrazy zbiorów otwarych sa otwarte, tzn. jesli obraz każdego podzbioru otwartego przestrzeni X jest podzbiorem otwartym przestrzeni Y .
Łatwo zauważyć, że rzuty w przestrzeni Rm na pierwsze k, czy ostatanie l współrzędnych (k, l < m) są odwzorowaniami otwartymi. Ale odwzorowanie otwarte nie musi być ciągłe, a ciągle nie musi być otwarte.
Gdyby jednak f przekształacało X na Y wzajemnie jednoznacznie, to f będzie otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie f−1 : Y → X będzie ciągłe. Mówi o tym nastęopujące twierdzenie o odwzorowaniu otwartym
Twierdzenie 4.10. (o odwzorowaniu otwartym)
Niech A bedzie operatorem liniowym ograniczonym przekształcającym wzajemnie jednoznacznie przestrzeń Banacha X na przetrzeń Banacha Y . Wówczas A jest odwzorowaniem otwartym.
Dowód. Na podstawie twierdzenia o operatorze odwrotnym, A−1 jest również ograniczony, czyli ciągły.
Teza wynika natychmiast z faktu, że przeciwobraz zbioru otwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest również zbiorem otwartym.
Założenie zupełności Y w twierdzeniach o operatorze odwrotnym i o operatorze otwartym jest istotnie (zupełność X też, ale trudniej dobrać przykład). Rozważmy operator identycznościowy A : l2 → l2 jest on ograniczony. Niech X = l1 oraz Y = A(l1)⊂ l2. Wówczas A przekształca wzajemnie jednoznacznie X na Y , ale operator odwrotny T−1 : Y → X nie jest ograniczony. Łatwo to wykazać bezpośrednio, bo dla każego n = 1, 2, . . . i un = e1+ e2+· · · + en mamy
||un||1 = n oraz ||un||2 =√ n.
Zatem
||T−1|| = sup
u=θ
||T−1u||
||u|| = sup
u=θ
||un||1
||un||2 sup
n
||un||1
||un||2 = sup
n
√n
n = sup
n
√n =∞.
4.5 Twierdzenie o domkniętym wykresie
Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Wtedy wykresem odwzorowania f : X → Y nazywamy zbiór {(x, y) ∈ X × Y : f(x) = y} =: Graph(f).
Bardzo często utożsamiamy wykres i odwzorowanie, przy czym o wykresie mówimy wtedy, gdy chodzi nam o podzbiór iloczynu kartezjańskiego X× Y .
Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, to możemy wprowadzić topologię iloczynu kartezajńskiego X× Y . Wtedy f : X → Y ma domknięty wykres, jeśli zbiór Graph(f) jest domknięty w X × Y .
Jeśli, w szczególności, X, Y są przestrzeniami metrycznymi, to Graph(f ) jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy xn→ x i f(xn)→ y implikuje f(x) = y. Warunku tego często używa się w konkretnych zastosowaniach.
Definicja 4.4. (odwzorowania domkniętego)
Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi i f : X → Y , to f nazywamy odwzorowaniem domkniętym, jeżeli obrazy zbiorów domkniętych są domknięte, tzn. jeśli obraz każdego podzbioru domknietego przestrtezni X jest podzbiorem domkniętym przestrzeni Y .
Zwróćmy uwagę, że domkniętość odwzorowania i domkniętość jego wykresu, to dwie różne własności.
Twierdzenie 4.11. (o domkniętym wykresie)
Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i niech A : X → Y będzie operatorem liniowym o domkniętym wykresie. Wówczas A jest operatorem ograniczonym.
Dowód. Przestrzeń X× Y można traktować jako przestrzeń Banacha z normą ||(x, y)|| = ||x|| + ||y|| (łatwo sprawdzić, że jest to norma). Określmy rzutowanie kanoniczne
πX : X × Y → X oraz πY : X × Y → Y.
Są to operatory liniowe ograniczone o normie 1. Oznaczmy zbiór Z ={(x, y) ∈ X × Y : Ax = y} .
Wtedy Z = Graph(A), czyli jest to podzbiór domknięty przestrzeni X×Y . Z liniowości operatora A wynika, że Z jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X × Y . Zatem Z jest przestrzenią Banacha (jako liniowa domknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha).
Niech teraz S będzie obcięciem odwzorowania πX do podprzestrezni Z. Zatem S jest operatorem liniowym ograniczonym przekształacającym wzajemnie jednoznacznie przestrezń Banacha Z na przestrzeń Banacha X. Z twierdzenia o operatorze odwrotnym wynika, że S−1 : X → Z jest ograniczony. Dla każdego x ∈ X mamy więc S−1x = (x, Ax), czyli
(πY ◦ S−1)x = πY(S−1x) = πY(x, Ax) = Ax.
To oznacza A = πY ◦ S−1, czyli A jest ograniczony.
4.6 Twierdzenie Hahna-Banacha
Definicja 4.5.
Funkcjonał p : X →R, gdzie X jest przestrzenią liniową rzeczywistą lub zespoloną, nazywamy funkcjonałem Banacha, gdy
p(x + y) p(x) + p(y), p(ax) = ap(x) dla x, y∈ X, a 0.
Twierdzenie 4.12. (Hahna-Banacha).
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej rzeczywistej X oraz niech p będzie funkcjonałem Banacha określonym w X. Dla każdego funkcjonału liniowego f0 określonego w X0 i spełniającego nierówność f0(x) p(x) dla x ∈ X0 istnieje funkcjonał liniowy f określony w przestrzeni X i taki, że f (x) = f0(x) dla x∈ X0 i f (x) p(x) dla x ∈ X.
Funkcjonał f nazywamy rozszerzeniem funkcjonału liniowego f0 z podprzestrzeni X0 na przestrzeń X.
Dowód. Oznaczmy przezR rodzinę wszystkich par (g, Xg), gdzie Xg jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X zawierającą podprzestrzeń X0, a g jest funkcjonałem liniowym nad Xg takim, że g(x) = f0(x) dla x∈ X0
i g(x) p(x) dla x ∈ Xg, czyli rozszerzeniem funkcjonału f0 do przestrzeni Xg. Wprowadzamy relację ≺ w
zbiorzeR w sposób następujący:
(g1, Xg1)≺ (g2, Xg2) gdy Xg1 ⊂ Xg2 oraz g2(x) = g1(x) dla x∈ Xg1. Zbiór R jest niepusty, bo (f0, X0)∈ R, oraz ≺ jest relacją częściowego porządku w R, więc na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna rodzina R ma element maksymalny. Oznaczmy go (gm, Xm). To znaczy, że jeśli (g, Xg) ∈ R i (gm, Xm) ≺ (g, Xg), to (gm, Xm) = (g, Xg).
Wystarczy wykazać, że Xm = X i f = gm jest żądanym w twierdzeniu rozszerezniem funkcjonału liniowego f0 z podprzestrzeni X0 na całą przestrzeń X. Przypuśćmy, że Xm = X i niech x0 ∈ X \ Xm. Weźmy dowolne x1, x2 ∈ Xm, wtedy
f (x1)− f(x2) = f (x1− x2) p(x1− x2) [(x1+ x0) + (−x2− x0)] p(x1+ x0) + p(−x2− x0), więc
−p(−x2− x0)− f(x2) p(x1 + x0)− f(x1).
Oznaczamy:
m = sup
x2∈Xm
[−p(−x2− x0)− f(x2)], M = inf
x1∈Xm[p(x1+ x0)− f(x1)], weźmy dowolną liczbę r taką, że m r M. Mamy wtedy
f (x1) + r p(x1+ x0), f (x2) + r −p(−x2− x0) (25) dla x1, x2 ∈ Xm. Oznaczmy przez Xr zbiór elementów postaci x = xm+ ax0, gdzie xm ∈ Xm i a jest liczbą rzeczywistą. Zauważmy, że Xr jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X, zawierającą Xm, oraz Xr = Xm. Ponadto dla każdego x∈ Xr istnieje dokładnie jeden element xm ∈ Xm oraz dokładnie jedna liczba a takie, że x = xm+ ax0. Określmy w Xr funkcjonał
fr(xm+ ax0) = f (xm) + ar.
jest to funkcjonał liniowy. Ponadto dla x ∈ Xm mamy x = x + 0· x0, więc fr(x) = f (x) + 0· r = f(x).
Wykażemy, że fr(x) p(x) dla x ∈ X. Niech x = xm+ ar, gdzie xm ∈ Xm. Jeżeli a = 0, to nierówność ta wynika z odpowiedniej nierówności dla funkcjonału f . Niech więc a > 0. Na podstawie pierwszej nierówności (25);
fr(xm+ ax0) = f (xm) + ar = a
$
f
xm a
+ r
%
ap xm a + x0
= p(xm+ ax0).
Dla a < 0 mamy na podstawie drugiej nierówności z (25) fr(xm+ ax0) = f (xm) + ar = a
$
f
xm a
+ r
%
−ap −xm a − x0
= p(xm+ ax0).
Zatem (fr, Xr) ∈ R, (f, Xm) ≺ (fr, Xr) i (fr, Xr) = (f, Xm), wbrez temu, że (f, Xm) jest elementem maksymalnym zbioru R. Zatem Xm = X, co kończy dowód.
Twierdzenie to można wykorzystać do przestrzeni unormowanych z funkcjonałem Banacha, który jest okre- ślony jako norma przestrzeni.
Twierdzenie 4.13. ( Banacha o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych)
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej rzeczywistej X z normą || · ||. Niech p0
będzie funkcjonałem liniowym ciągłym nad X0 o normie o normie ||p0||0. Wtedy istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły p nad X o normie ||p||, że p(x) = p0(x) dla x∈ X0 oraz ||p|| = ||p0||0.
Dowód.
Oznaczmy q(x) = ||p0||0||x||. Wtedy q jest funkcjonałem Banacha w X oraz p0(x) q(x) dla x ∈ X0. Na podstawie twierdzenia Hahna-Banacha stosowanego do funkcjonału liniowego f0 = p0 można stwierdzić, że istnieje taki funkcjonał liniowy f w X, że f (x) = p0(x) dla x ∈ X0 i f (x) ||p0||0· ||x|| dla x ∈ X. Biorąc więc −x zamiast x, otrzymujemy
f (x) =−f(−x) −||p0||0· || − x|| = −||p0||0· ||x||.
Zatem |f(x)| ||p0||0 · ||x|| dla x ∈ X. Funkcjonał liniowy f jest więc ograniczony, czyli ciągły w X.
Oznaczmy teraz p = f . Wtedy ||p|| = sup||x||=1|p(x)| ||p0||0. Z drugiej strony, z definicji normy w X0∗ (przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych na X) wynika, że dla każdego ε > 0 istnieje taki element xε∈ X0, że
||xε|| = 1 i |p0(xε)| ||p0||0− ε.
Stąd również
|p(xε)| = |p0(xε)| ||p0||0− ε, więc
||p|| = sup
||x||=1
(p(x)| |p(xε)| ||p0||0− ε.
Wobec dowolności ε > 0 mamy ||p|| ||p0||0. Zatem ||p|| = ||p0||0.
Twierdzenie 4.14. (Banacha-Bohnenblusta-Sobczyka o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych) Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej zespolonej X z normą||·||. Niech p0 będzie funkcjonałem liniowym ciągłym nad X0 o normie o normie ||p0||0. Wtedy istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły p nad X o normie ||p||, że p(x) = p0(x) dla x∈ X0 oraz ||p|| = ||p0||0.
Dowód. (idea)
Niech x0 ∈ X0 oraz niech f1(x0) i f2(x0) będą odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią zespoloną liczby p0(x0). Stosujemy twierdzenie Hahna-Banacha dla f1, otrzymując istnienie g1 i budujemy p(x) = g1(x)− ig1(ix). Następnie wykazujemy, żę tak utworzony funkcjonał p jest funkcjonałem liniowym zespolonym nad przestrzenią zespoloną X i, że jest ograniczony w X. Na koniec obliczamy normę.
Jako zastosowanie powyższych twierdzeń o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych można sformułować poniższe:
Twierdzenie 4.15.
Dla każdego elementu x0 = 0 przestrzeni unormowanej X istnieje taki funkcjonał liniowy i ciągły p nad X, że p(x0) = ||x0|| i ||p|| = 1.
Dowód. Niech X0 będzie zbiorem wszystkich elementów postaci x = ax0, gdzie a jest liczbą rzeczywista lub zespoloną, w zależności od przestrzeni X. Wtedy X0 jest podprzestrzenia liniową przestrzeni X, a p0(x) = a||x0|| jest funkcjonalem liniowym nad X0. Ponieważ
||p0(ax0)| = |a|||x0|| = ||ax0||,
więc jest on ciągły i jego norma ||p0||0 1. Biorąc dalej a = 1/||x0||, dostajemy ||ax0|| = 1, czyli
||p0||0 |p0(ax0)| = ||ax0|| = 1,
stąd ||p0||0 = 1. Wreszcie p0(x0) = 1· ||x0|| = ||x0||. Z twierdzenia Banacha-Bohnenblusta-Sobczyka istnieje funkcjonał p liniowy i ciągły nad X taki, że ||p|| = ||p0||0 = 1 i p(x) = p0(x) dlas x∈ X0. W szczególności p(x0) = p0(x0) =||x0||. Funkcjonał p spełnia tezę twierdzenia.
Z twierdzenia tego otrzymujemy natychmiast dwa wnioski:
Wniosek 4.2.
Dla każdej przestrzeni unormowanej nie redukującej się do punktu θ istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły nad tą przestrzenią.
Wniosek 4.3.
Jeśli X jest przestrzenią unormowaną i x∈ X, to ||x|| = sup||p||1|p(x)|.
4.7 Postać funkcjonału liniowego w konkretnych przestrzeniach
W poprzednim paragrafie wykazaliśmy istnienie funkcjonału liniowego ciągłego (zazwyczaj oznacza się go symbolem x∗). Teraz zajmiemy się jego postacią.
Przestrzeń l2n.
Funkcjonał liniowy ciągły określony nad tą przestrzenią ma postać:
x∗(x) = a1x1+ a2x2 + . . . anxn,
gdzie x = (x1, x2, . . . , xn) jest elementem przestrzeni Rn lub Cn i ai ∈R (lub C), przy czym
||x∗|| =
n
k=1
|ak|2.
Zatem przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad l2n jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni ln2.
Przestrzeń c0.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią, to istnieje dokładnie jeden taki ciąg (sk), że∞k=1|sk| < ∞ i
x∗(x) =
∞ k=1
tksk dla x = (tk)∈ c0, (26)
przy czym
||x∗|| = ∞
k=1
ak.
Na odwrót, jeśli ∞k=1|sk| < ∞, to (26) określa funkcjonał x∗liniowy ciągły nad c0.
Zatem przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad c0 jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni l1.
Dowód. Niech funkcjonał x∗ będzie określony wzorem (26). Ponieważ ciąg (tk) jest ograniczony i ∞k=1|sk| <
∞, więc szereg po prawej stronie tej równości jest zbieżny. Liniowość x∗ jest oczywista, a ciągłość wynika z nierówności
|x∗(x)| ∞
k=1
|tksk| ∞
k=1
|sk| sup
j |tj| =∞
k=1
|sk| · ||x||.
Z nierówności tej wynika, że ||x∗|| ∞k=1|sk|. Obierzmy teraz xn = (tkn), gdzie tkn = sk/|sk|, gdy sk = 0 i k n oraz tnk = 0, gdy sk= 0 lub k > n. Oczywiście (xn)∈ c0. Jeśli nie wszystkie sk = 0, to dla dostatecznie dużych n mamy ||xn|| = 1. Ponadto x∗(xn) = nk=1 → ∞k=1|sk| oraz ||x∗|| x∗(xn), więc w granicy przy n→ ∞ mamy ||x∗|| =∞k=1|sk|. Gdy sk= 0 dla wszystkich k, to równość ta jest oczywista.
Załóżmy teraz na odwrót, że x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad c0. Niech en = (δin) dla n = 1, 2, . . . , gdzie δin = 1, gdy i = n oraz δin = 0, gdy i= n. Oznaczmy sn = x∗en dla n = 1, 2, . . . . Niech x = (tk)∈ c0, xn=∞k=1tkek. Wtedy
||x − xn|| = sup
k>n|tk| → 0 przy n → ∞
więc na podstawie ciągłości funkcjonału x∗ mamy x∗(x) = limn→∞x∗(xn). Na podsatwie liniowości zaś, mamy
x∗(xn) =
n k=1
tkx∗(ek) =
n k=1
tksk. Stąd
x∗(x) = lim
n→∞
n k=1
tksk=
∞ k=1
tksk.
Trzeba jeszcze wykazać, że ∞k=1|sk| < ∞. W tym celu rozpatrzmy funkcjonał liniowy ciągły x∗n(x) =
n
k=1tksk nad c0. Na podstawie poprzedniej części dowodu, jego norma ||x∗n|| = nk=1|sk|. Zastosujemy twierdzenie Banacha-Steinhausa. Ponieważ ciąg (x∗n(x)) jest zbieżny dla każdego x ∈ c0, więc ciąg norm (||x∗n||) jest ograniczony. Istnieje zatem taka liczba M > 0, że ||x∗n|| M dla n = 1, 2, . . . , czylink=1|sk| M dla n = 1, 2, . . . . Stąd, po przejściu do granicy, ∞k=1|sk| < ∞, co kończy dowód.
Przestrzeń c.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią, to istnieje dokładnie jeden taki ciąg (sk), że∞k=0|sk| < ∞ i
x∗(x) = ts0+
∞ k=1
(tk− t)sk dla x = (tk)∈ c, t = lim
k→∞tk, (27)
przy czym
||x∗|| = ∞
k=1
ak.
Na odwrót, jeśli ∞k=1|sk| < ∞, to (27) określa funkcjonał x∗liniowy ciągły nad c.
Zatem przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad c jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni l1.
Przestrzeń l1.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią (tzn. przestrzenią ciągów sumowalnych), to istnieje dokładnie jeden taki ciąg ograniczony (sk), taki że x∗(x) =∞k=1tksk dla każdego x = (tk)∈ l1, przy czym
||x∗|| = sup
k |sk|.
Na odwrót, gdy ciąg (sk) jest ograniczony, to x∗(x) =∞k=1tksk jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad l1. Przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad l1 jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni m ciągów ograniczonych.
Przestrzeń lp.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią (tzn. przestrzenią ciągów sumowalnych z p-tą potęgą, 1 < p < ∞), to istnieje dokładnie jeden taki ciąg (sk), taki że x∗(x) = ∞k=1tksk dla każdego x = (tk)∈ lp, przy czym ciąg (sk) spełnia warunek ∞k=1|sk|q <∞, gdzie 1p + 1q = 1 oraz
||x∗|| =
∞
k=1
|sk|q
1
q
.
Na odwrót, gdy ∞k=1|sk|q <∞, to wyżej określony funkcjonał liniowy i ciągły nad lp.
Przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad lp jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni lq.
Przestrzeń Hilberta X.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią (gdzie X jest wyposażona w iloczyn skalarny (|)), to istnieje dokładnie jeden element y ∈ X taki, że x∗(x) = (x|y) dla każdego x ∈ X, oraz ||x∗|| = ||y||.
Przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. jeżeli (x|y1) = (x|y2) dla każdego x ∈ X, to y1 = y2. Na odwrót, jesli y ∈ X, to x∗(x) = (x|y) jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad X.
W przypadku, gdy X jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta i określimy operator T działający z przestrzeni
funkcjonałów liniowych ciągłych nad X do X jako (x|T x∗) = x∗(x) dla każdego x ∈ X, to T jest izometrią oraz izomorfizmem, więc przestrzenie X i funkcjonałów liniowych ciągłych nad X są izometrycznie izomor- ficzne.
W przypadku zespolonej przestrzeni X własność ta nie zachodzi w takiej postaci.
Jednakże można udowodnić, że przestrzeń funkcjonałów liniowych ciągłych nad przestrzenią Hilberta X jest też przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym (x∗1|x∗2) = (y2|y1), gdzie x∗1(x) = (x|y1) i x∗2(x) = (x|y2) dla każdego x∈ X. Trzeba jednak brać odwzorowanie T określone wzorem (x|T x∗) = x∗(x) dla każdego x∈ X, które jest różnoweartościowym, ciągłym operatorem antyliniowym (tzn. warunek addytywności zachodzi bez mian, a warunek jednorodności ma postać T (ax) = aT (x) dla x∈ X i a zespolonego).
Zanim przejdziemy do postaci funkcjonału w kolejnej przestrzeni, potrzebna będzie definicja funkcji o wahaniu skończonym.
Definicja 4.6.
Wahaniem funkcji f : [a, b]→R na przedziale [a, b] nazywamy wielkość &ab(f ) = supn−1i=0 |f(xi+1)− f(xi)|, gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach P = {a = x0 < . . . < xn = b} przedziału [a, b]. Jeśli funkcja f : [a, b]→R ma skończone wahanie, to mówimy, że f jest funkcją o wahaniu skończonym.
Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących.
Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.
Przestrzeń C([a, b]).
Niech x∗ będzie funkcjonałem liniowym ciągłym nad przestrzenią C([a, b]) funkcji ciągłych na przedziale zwartym [a, b] ∈ R z normą ||x|| = supatb|x(t)|. Wtedy istnieje taka funkcja y na [a, b] o skończonym wahaniu, y(a) = 0, że
x∗(x) =
b
a x(t) dy(t) dla kazdego x∈ C([a, b]),
oraz||x∗|| =&ab y. Na odwrót, jeśli y jest funkcją o skończonym wahaniu na [a, b], to funkcjonał x∗ określony powyższym wzorem jest liniowy i ciągły nad C([a, b]).
Przestrzeń Lp(Ω, Σ, µ).
Niech x∗ będzie funkcjonałem liniowym i ciągłym nad tą przestrzenią (1 < p < ∞) - przestrzenią funkcji Σ-mierzalnych x, całkowalnych z p-tą potęgą w Ω z normą||x||p = ( Ω|x(t)|pdµ)1p. Wtedy istnieje dokładnie jedna (w sensie równości µ-prawie wszędzie) funkcja Σ-mierzalna y taka, że
x∗(x) =
Ωx(t)y(t) dµ dla kazdego x∈ Lp(Ω, Σ, µ),
przy czym y ∈ Lq(Ω, Σ, µ), 1p + 1q = 1 i ||x∗|| = ( Ω|y(t)|qdµ)1q. Na odwrót, przy danym y spełniającym powyższe warunki, funkcjonał x∗ określony jak wyżej, jest liniowy i ciągły nad Lp(Ω, Σ, µ).
Można też rozważać to twierdzenie dla p = 1, ale wtedy trzeba używać przestrzeni funkcji istotnie ograni- czonych.
Uwaga 6. Wyżej wymienione własności dla poszczególnych przestrzeni Hilberta często określa sie mianem twierdzenia Riesza.
Uwaga 7.
Zazwyczaj w literaturze przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad daną przestrtzenią X oznacza się symbolem X∗, czyli X∗ = B(X,R) (też LC(X,R) lub L(X,R)) i nazywa przestrzenią sprzężoną do X.
