a) je»eli funkcja y(x) jest caªk¡ szczególn¡ równania jednorodnego (CSRJ) (1) to funkcja c·y(x), gdzie c=const. równie» jest (CSRJ) (1);

Liniowe równania ró»niczkowe n−tego rz¦du o zmiennych wspóªczynnikach

Rozwa»amy równanie ró»niczkowe n−tego rz¦du o wspóªczynnikach zmiennych:

a ₀ (x)y ⁿ + a ₁ (x)y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + a ₂ (x)y ⁽ⁿ⁻²⁾ + . . . + a _n−1 (x)y ⁰ + a _n (x)y = f (x), (1) gdzie a 0 (x), a ₁ (x), . . . , a _n (x) s¡ ci¡gªe na pewnym przedziale I = (a, b).

Wªasno±ci równania (1):

a) je»eli funkcja y(x) jest caªk¡ szczególn¡ równania jednorodnego (CSRJ) (1) to funkcja c·y(x), gdzie c=const. równie» jest (CSRJ) (1);

b) je»eli y 1 (x) i y 2 (x), . . . , y _n (x) s¡ (CSRJ) (1) to dowolna ich kombinacja liniowa:

c ₁ y ₁ (x) + c ₂ y ₂ (x) + . . . , +c _n y _n (x),

gdzie c 1 , c ₂ , . . . , c _n = const. jest caªk¡ ogóln¡ tego równania jednorodnego.

Denicja 1. Funkcje y 1 (x), y ₂ (x), . . . y _n (x) nazywamy liniowo zale»nymi w przedziale I = (a, b), je»eli istniej¡ staªe c 1 , c 2 , . . . c n nie wszystkie równe zero (c ² 1 + c ² ₂ + . . . c ² _n 6= 0 ) i takie, »e

c ₁ y ₁ (x) + c ₂ y ₂ (x) + . . . + c _n y _n (x) ≡ 0,

dla x nale»¡cego do I. W przeciwnym przypadku (je»eli takie staªe nie istniej¡) to ukªad funkcji y 1 (x), y 2 (x), . . . y n (x) nazywamy liniowo niezale»nym.

Uwaga 1. Przykªady liniowo niezale»nych ukªadów funkcji:

a) funkcje 1, x, x ² , . . . x ⁿ s¡ liniowo niezale»ne w dowolnym przedziale I;

b) je»eli λ 1 , λ ₂ , . . . λ _n s¡ ró»nymi liczbami to ukªad funkcji e ^λ

^x , e ^λ

^x , . . . e ^λ

^x jest liniowo nie- zale»ny w dowolnym przedziale I;

c) funkcje e ^λx , xe ^λx , x ² e ^λx , . . . x ⁿ e ^λx s¡ liniowo niezale»ne w dowolnym przedziale I;

Denicja 2. Ukªad y 1 (x), y ₂ (x), . . . , y _n (x) liniowo niezale»nych rozwi¡za« jednorodnego równania (1) nazywamy fundamentalnym ukªadem rozwi¡za« tego równania.

Denicja 3. Niech y 1 (x), y 2 (x), . . . , y n (x) b¦d¡ ró»niczkowalne w sposób ci¡gªy w przedziale I.

Wyznacznik:

W (x) =         

y ₁ (x) y ₂ (x) . . . y _n (x) y ₁ ⁰ (x) y ⁰ ₂ (x) . . . y _n ⁰ (x)

... ... ... ...

y ₁ ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) y ₂ ⁽ⁿ⁻¹⁾ . . . y ⁽ⁿ⁻¹⁾ n (x)         

(2)

nazywamy wyznacznikiem Wro«skiego lub wro«skianem.

Niech y 1 (x), y 2 (x), . . . , y n (x) b¦d¡ liniowo niezale»nymi rozwi¡zaniami równania jednorodnego (1). Wówczas udowadnia si¦ nast¦puj¡cy wzór Ostrogradskiego-Liouvill'a:

W (x) = W (x ₀ ) exp



−

x

Z

x

a ₁ (t) a ₀ (t) dt



 , (3)

gdzie x = x 0 jest dowolnym punktem przedziaªu I.

B¦dziemy wykorzystywa¢ ten wzór dla równa« drugiego rz¦du, gdy» dla n = 2 bior¡c caªk¦

nieoznaczon¡ oraz W (x 0 ) = C, mamy:

y ₁ (x) y ₂ (x) y ₁ ⁰ (x) y ₂ ⁰ (x)

= C exp



−

Z a ₁ (x) a ₀ (x) dx

 . Dalej, poniewa»

y ₁ (x) y ₂ (x) y ⁰ ₁ (x) y ₂ ⁰ (x)

= y ₁ (x)y ⁰ ₂ (x) − y ⁰ ₁ (x)y ₂ (x) ⇒ 

y ₁ (x) y ₂ (x) y ₁ ⁰ (x) y ₂ ⁰ (x)

y ₁ ² (x) = y ₂ ⁰ (x)y ₁ (x) − y ₂ (x)y ₁ ⁰ (x) y ₁ ² (x) = d

dx

 y ₂ (x) y ₁ (x)

 . Zatem

d dx

 y ₂ (x) y ₁ (x)



= C

y ₁ ² (x) exp



−

Z a ₁ (x) a ₀ (x) dx

 . Caªkuj¡c i mno»¡c przez y 1 (x) mamy:

y ₂ (x) = y ₁ (x) Z 

C y ₁ ² (x) exp



−

Z a 1 (x) a ₀ (x) dx



dx. (4)

Jest to wzór na wyznaczenie liniowo niezale»nego (wzgl¦dem y 1 (x) ) rozwi¡zania y 2 (x) równania jednorodnego drugiego rz¦du (1), je»eli znane jest rozwi¡zanie y 1 (x).

Fakt 2. (warunek konieczny i wystarczaj¡cy liniowej niezale»no±ci)

Rozwi¡zania y 1 (x), y 2 (x), . . . , y n (x) s¡ liniowo niezale»ne na przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego x nale»¡cego do I wyznacznik Wro«skiego jest ró»ny od zera (W (x) 6= 0).

Przedstawi¦ teraz schemat znajdowania caªki szczególnej równania niejednorodnego (CSRN) (1) za pomoc¡ tzw. metody Lagrange'a uzmienniania (wariacji) staªych.

Niech funkcje y 1 (x), y ₂ (x), . . . , y _n (x) b¦d¡ liniowo niezale»nymi rozwi¡zaniami równania jedno- rodnego (1) tzn. caªka ogólna tego równania jest postaci:

y 0 (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + . . . + C n y n (x). (5) Caªki szczególnej równania niejednorodnego b¦dziemy szuka¢ poprzez zast¡pienie staªych w (5) przez ró»niczkowalne w sposób ci¡gªy funkcje zmiennej x :

y(x) = C e ₁ (x)y ₁ (x) + C ₂ (x)y ₂ (x) + . . . + C _n (x)y _n (x). (6)

Udowadnia si¦, »e w celu wyznaczenia funkcji C 1 (x), C 2 (x), . . . , C n (x) rozwi¡zuje si¦ nast¦puj¡cy ukªad równa« ró»niczkowych:



 

 

 



 

 

 



C ₁ ⁰ (x)y ₁ (x) + C ₂ ⁰ (x)y ₂ (x) + . . . + C _n ⁰ (x)y _n (x) = 0;

C ₁ ⁰ (x)y ⁰ ₁ (x) + C ₂ ⁰ (x)y ⁰ ₂ (x) + . . . + C _n ⁰ (x)y ⁰ _n (x) = 0;

. . . ;

C ₁ ⁰ (x)y ⁽ⁿ⁻²⁾ ₁ (x) + C ₂ ⁰ (x)y ₂ ⁽ⁿ⁻²⁾ (x) + . . . + C _n ⁰ (x)y ⁽ⁿ⁻²⁾ n (x) = 0;

C ₁ ⁰ (x)y ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₁ (x) + C ₂ ⁰ (x)y ₂ ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) + . . . + C _n ⁰ (x)y ⁽ⁿ⁻¹⁾ n (x) = _a ^{f (x)}

0

(x) .

(7)

Jest to algebraiczny niejednorodny ukªad liniowy wzgl¦dem C 1 ⁰ (x), . . . , C _n ⁰ (x). Rozwi¡zanie jego jest mo»liwe za pomoc¡ metody Cramera, poniewa» wyznacznik gªówny (Wro«skian) na mocy faktu, »e funkcje y 1 (x), y ₂ (x), . . . , y _n (x) s¡ liniowo niezale»ne jest niezerowy w caªym przedziale I.

Zatem wyliczamy

C _i ⁰ (x) = W _i (x)

W (x) , (8)

gdzie W (x) to Wro«skian, natomiast W i (x) to wyznacznik, który powstaje przez zast¡pienie i−tej kolumny Wro«skianu kolumn¡ prawych stron ukªadu (7). W nast¦pnym kroku dla wyznaczenia C _i ⁰ (x) caªkujemy (8):

C _i (x) =

Z W _i (x)

W (x) dx + c _i . (9)

Wybieraj¡c w (9) c i = 0 oraz wstawiaj¡c do (6) dostajemy rozwi¡zanie szczególne równania nie- jednorodnego (1).

Przykªad 1. Rozwi¡» równanie:

y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = xe ^2x . (10)

Rozwi¡zanie: Najpierw wyznaczamy (CORJ):

y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = 0.

Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne:

λ ² − 4λ + 4 = 0.

Wyró»nik ∆ = 0, wyznaczamy λ 1,2 = 2. Wobec tego (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ e ^2x + c ₂ xe ^2x . (11)

Caªkami szczególnymi rozwa»anego równania s¡ zatem e ^2x , xe ^2x , które na mocy Uwagi 1c) s¡

liniowo niezale»na, a zatem tworz¡ ukªad fundamentalny. Dlatego te» mo»emy zastosowa¢ metod¦

wariacji zmiennych. Zgodnie z (6) (CSRN) poszukujemy w postaci:

y(x) = c g ₁ (x)e ^2x + c ₂ (x)xe ^2x , (12) gdzie c 1 (x) i c 2 (x) wyznaczamy z ukªadu:

( c ⁰ ₁ (x)e ^2x + c ⁰ ₂ (x)xe ^2x = 0

c ⁰ (x) · 2e ^2x + c ⁰ (x) e ^2x + 2xe ^2x
= xe ^2x . (13)

Odpowiednie wyznaczniki wynosz¡:

W (x) =    

e ^2x xe ^2x 2e ^2x e ^2x + 2xe ^2x

= e ^4x + 2xe ^4x − 2xe ^4x = e ^4x ; W ₁ (x) =

0 xe ^2x

xe ^2x e ^2x + 2xe ^2x    

= −x ² e ^4x ; W ₂ (x) =

e ^2x 0 2e ^2x xe ^2x

= xe ^4x .

(14)

Zatem c ⁰ 1 (x) = ^W _{W (x)}

^(x) = −x ² oraz c ⁰ 2 (x) = ^W _{W (x)}

^(x) = x, a st¡d

c ₁ (x) = Z

c ⁰ ₁ (x)dx = − Z

x ² dx = − 1

3 x ³ + c, oraz

c ₂ (x) = Z

c ⁰ ₂ (x)dx = Z

xdx = 1

2 x ² + c.

Przyjmuj¡c w caªkach c = 0 i podstawiaj¡c tak otrzymane staªe c 1 i c 2 do (12) mamy

y(x) = − g 1

3 x ³ e ^2x + 1

2 x ² · xe ^2x ⇐⇒ y(x) = g 1 6 x ³ e ^2x . Ostatecznie na mocy zasady superpozycji rozwi¡zanie równania (10) ma posta¢

y(x) = y ₀ (x) + g y(x) = c ₁ e ^2x + c ₂ xe ^2x + 1 6 x ³ e ^2x .

W przykªadzie tym (prawa strona quasi-wielomian) caªki szczególnej mogliby±my równie» szuka¢

metod¡ przewidywa«. Prosz¦ spróbowa¢ samodzielnie.

Przykªad 2. Rozwi¡» równanie:

(x + 1)xy ⁰⁰ + (x + 2)y ⁰ − y = x + 1

x . (15)

Rozwi¡zanie: Oczywi±cie najpierw b¦dziemy rozwi¡zywa¢ równanie jednorodne:

(x + 1)xy ⁰⁰ + (x + 2)y ⁰ − y = 0. (16)

Tym razem nie jest to równanie o staªych wspóªczynnikach. B¦dziemy tutaj stosowa¢ wzór Ostogradskiego-Liouville'a (3), a raczej jego zmodykowan¡ posta¢ (4). W tym celu potrzebne jest nam jedno rozwi¡zanie równania jednorodnego. Rozwi¡zanie to mo»emy otrzyma¢ przewidu- j¡c rozwi¡zanie w jednej z postaci: x ⁿ , . . . , e ^ax , sin ax, cos ax, . . . Sprawd¹my, czy jedno z rozwi¡za«

b¦dzie wielomianem. Niech y 1 (x) = x ⁿ + . . . . Wówczas:

y ⁰ ₁ (x) = nx ⁿ⁻¹ + . . .

y ₁ ⁰⁰ (x) = n(n − 1)x ⁿ⁻² + . . . . Wstawiamy y 1 , y ₁ ⁰ , y ⁰⁰ ₁ do równania jednorodnego:

(n ² − n)(x ² + x)x ⁿ⁻² + n(x + 2)x ⁿ⁻¹ − x ⁿ + . . . = 0.

Nast¦pnie przyrównujemy wspóªczynniki przy najwy»szej pot¦dze x z prawej i lewej strony otrzy- muj¡c równanie: n ² − 1 = 0. Wówczas n = ±1 stopie« wielomianu wynosi 1. Szukamy teraz rozwi¡zania równania jednorodnego w postaci wielomianu stopnia pierwszego o nieoznaczonych wspóªczynnikach:

y 1 (x) = ax + b y ₁ ⁰ (x) = a y ₁ ⁰⁰ (x) = 0.

Ponownie wstawiaj¡c takie y 1 , y ₁ ⁰ , y ⁰⁰ ₁ do równania jednorodnego dostajemy:

(x + 2)a − ax − b = 0 ⇒ b = 2a.

Zatem jednym z rozwi¡za« równania jednorodnego (16) jest y 1 (x) = ax + b, gdzie b = 2a. Wybie- raj¡c a = 1 mamy

y ₁ (x) = x + 2.

Teraz w celu wyznaczenia y 2 (x) u»yjemy wzoru:

y ₂ (x) = y ₁ (x) Z 

1 y ₁ ² (x) exp



−

Z a ₁ (x) a ₀ (x) dx



dx.

Kolejno liczymy:

Z a ₁ (x) a ₀ (x) dx =

Z x + 2 x ² + x dx =

Z 2 x dx +

Z −1

x + 1 dx = 2 ln x − ln(x + 1) = ln x ² x + 1 ; exp



−

Z a ₁ (x) a ₀ (x) dx



= x + 1 x ² Z 

1 y ₁ ² (x) exp



−

Z a ₁ (x) a ₀ (x) dx



dx =

Z x + 1

x ² (x + 2) ² dx = 1 4

Z 1

x ² dx − 1 4

Z 1

(x + 2) ² dx

= − 1

4x + 1 4(x + 2) . Zatem

y ₂ (x) = (x + 2)



− 1

4x + 1 4(x + 2)



= (x + 2)  −x − 2 + x 4x(x + 2)



= − 1 2x . Wobec tego rozwi¡zani (CORJ) jest postaci:

y 0 (x) = C 1 x + C 2

1 x .

Teraz wyznaczymy (CSRN). tutaj mo»emy zastosowa¢ wyª¡cznie metod¦ uzmienniania!!! Roz- wi¡zanie przewidujemy w postaci:

y(x) = C e ₁ (x)x + C ₂ (x) 1

x , (17)

gdzie C 1 (x), C ₂ (x) wyznaczamy na podstawie ukªadu (7):

( C ₁ ⁰ (x)(x + 2) + C ₂ ⁰ (x) _x ¹ = 0;

Odpowiednie wyznaczniki wynosz¡:

W (x) =    

x + 2 _x ¹ 1 − _x ¹

= − x + 2 x ² − 1

x = − 2x + 2 x ² ; W ₁ (x) =

0 ¹ _x

x

+1 x

(x+1) − ¹ _x

= − x ² + 1 x ³ (x + 1) ; W ₂ (x) =

x + 1 0 1 _x

^x (x+1)

⁺¹

= (x ² + 1)(x + 2) x ² (x + 1) .

(18)

Zatem c ⁰ 1 (x) = ^W _{W (x)}

^(x) = _2(x+1) ^(x

⁺¹⁾

oraz c ⁰ 2 (x) = ^W _{W (x)}

^(x) = − ^(x

_(x+1) ^+1)(x+2)

, a st¡d

c ₁ (x) = Z

c ⁰ ₁ (x)dx = −

Z x ² + 1

2(x + 1) ² dx = − 1 2

Z 

1 − 2x

x ² + 2x + 1

 dx

= − 1 2

Z 

1 − 2x + 2

x ² + 2x + 1 + 2 (x + 1) ²



dx = − 1 2 x + 1

2 ln(x ² + 2x + 1) − 1 x + 1 + c oraz

c ₂ (x) = Z

c ⁰ ₂ (x)dx = Z

− (x ² + 1)(x + 2)

(x + 1) ² dx = − 1 2

Z 

x + 2

(x + 1) ²



dx = − 1

4 x ² + 1

x + 1 + c.

Przyjmuj¡c w caªkach c = 0 i podstawiaj¡c tak otrzymane staªe c 1 i c 2 do (17) mamy

y(x) = e



− 1 2 x + 1

2 ln(x ² + 2x + 1) − 1 x + 1



(x + 2) +



− 1

4 x ² + 1 x + 1

 1 x . Ostatecznie na mocy zasady superpozycji rozwi¡zanie równania (15) ma posta¢

y(x) = C ₁ x + C ₂ 1 x +



− 1 2 x + 1

2 ln(x ² + 2x + 1) − 1 x + 1



(x + 2) +



− 1

4 x ² + 1 x + 1

 1

x .